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全国通用2020版高考数学二轮复习第二层提升篇专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题讲义202001080645.docx
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第1讲直线与圆全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019直线与圆的位置关系t21(1)双曲线的性质、圆与圆的位置关系t12直线与圆及抛物线的位置关系t21(2)2018直线与圆的弦长问题t15直线方程、圆的方程、点到直线的距离t82017直线与圆相切、椭圆的离心率t11(1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注.此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现.(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时会出现在第11题或第15题位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.直线的方程例1(1)已知0k4，直线l1：kx2y2k80和直线l2：2xk2y4k240与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为()a.b.c.d.2(2)若直线l1：ykxk2与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点()a.(3，1) b.(3，0)c.(0，1) d.(2，1)解析(1)直线l1，l2恒过点p(2，4)，直线l1在y轴上的截距为4k，直线l2在x轴上的截距为2k22，因为0k4，所以4k0，2k220，所以四边形的面积s2(4k)4(2k22)4k2k84，故当k时，面积最小.(2)ykxk2k(x1)2，l1：ykxk2过定点(1，2).设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x，y)，则得直线l2过定点(3，0).故选b.答案(1)a(2)b解题方略1.两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断.2.轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点p1(x1，y1)与p2(x2，y2)关于直线l：axbyc0对称，则线段p1p2的中点在对称轴l上，而且连接p1，p2的直线垂直于对称轴l.由方程组可得到点p1关于l对称的点p2的坐标(x2，y2)(其中b0，x1x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.一般转化为点关于直线的对称来解决跟踪训练1.若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为()a.b.4c.d.2解析：选c因为l1l2，所以，解得a1，所以l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2的距离d.2.在平面直角坐标系内，过定点p的直线l：axy10与过定点q的直线m：xay30相交于点m，则|mp|2|mq|2()a.b.c.5d.10解析：选d由题意知p(0，1)，q(3，0)，过定点p的直线axy10与过定点q的直线xay30垂直，mpmq，|mp|2|mq|2|pq|29110，故选d.圆的方程例2(1)已知点a是直角三角形abc的直角顶点，且a(2a，2)，b(4，a)，c(2a2，2)，则三角形abc外接圆的方程是()a.x2(y3)25b.x2(y3)25c.(x3)2y25d.(x3)2y25(2)圆心在直线y4x上，并且与直线l：xy10相切于点p(3，2)的圆的方程为_.解析(1)(42a，a2)，(2，0)，84a0，解得a2.a(4，2)，b(4，2)，c(2，2)，|bc|2，又bc的中点坐标为(3，0)，三角形abc外接圆的圆心为(3，0)，半径为，三角形abc外接圆的方程为(x3)2y25.(2)设圆心m为(x，4x)，kmp，kl1，所以kmpkl1，所以x1，所以m(1，4)，所以r|mp|2所以所求圆的方程为(x1)2(y4)28.答案(1)d(2)(x1)2(y4)28解题方略求圆的方程的2种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程跟踪训练1.已知圆c1：(x2)2(y3)25与圆c2相交于a(0，2)，b(1，1)两点，且四边形c1ac2b为平行四边形，则圆c2的方程为()a.(x1)2y25b.(x1)2y2c.5d.解析：选a法一：(常规求解法)设圆c2的圆心坐标为(a，b)，连接ab，c1c2.因为c1(2，3)，a(0，2)，b(1，1)，所以|ac1|bc1|，所以平行四边形c1ac2b为菱形，所以c1c2ab且|ac2|.可得解得或则圆心c2的坐标为(1，0)或(2，3)(舍去).因为圆c2的半径为，所以圆c2的方程为(x1)2y25.故选a.法二：(特值验证法)由题意可知，平行四边形c1ac2b为菱形，则|c2a|c1a|，即圆c2的半径为，排除b、d；将点a(0，2)代入选项a、c，显然选项a符合.故选a.2.若不同两点p，q的坐标分别为(a，b)，(3b，3a)，则线段pq的垂直平分线l的斜率为_，圆(x2)2(y3)21关于直线l对称的圆的方程为_.解析：kpq1，故直线l的斜率为1，由点斜式可知l的方程为yx3，圆心(2，3)关于直线yx3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x2(y1)21.答案：1x2(y1)21直线与圆的位置关系题型一圆的切线问题例3(1)过点p(2，4)作圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为()a.3x4y40b.4x3y40c.x2或4x3y40d.y4或3x4y40(2)设点m(x0，y0)为直线3x4y25上一动点，过点m作圆x2y22的两条切线，切点为b，c，则四边形obmc面积的最小值为_.解析(1)当斜率不存在时，x2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，则1，解得k，则切线方程为4x3y40，故切线方程为x2或4x3y40.(2)圆心o到直线3x4y25的距离d5，则|om|d5，所以切线长|mb|，所以s四边形obmc2sobm2.答案(1)c(2)变式1本例(2)变为：过点a(1，3)，作圆x2y22的两条切线，切点为b，c，则四边形obac的面积为_.解析：由相切可得s四边形obac2soba，因为oab为直角三角形，且|oa|，|ob|，所以|ab|2，即soba22，所以s四边形obac2soba4.答案：4变式2本例(2)变为：设点m(x0，y0)为直线3x4y25上一动点，过点m作圆x2y22的两条切线l1，l2，则l1与l2的最大夹角的正切值是_.解析：设一个切点为b，圆心o到直线3x4y25的距离为d5，则tanomb，所以tan2omb.故所求最大夹角的正切值为.答案：解题方略直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.题型二圆的弦长问题例4已知圆c经过点a(2，0)，b(0，2)，且圆心c在直线yx上，又直线l：ykx1与圆c相交于p，q两点.(1)求圆c的方程；(2)过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆c交于m，n两点，求四边形pmqn面积的最大值.解(1)设圆心c(a，a)，半径为r，因为圆c经过点a(2，0)，b(0，2)，所以|ac|bc|r，即r，解得a0，r2，故所求圆c的方程为x2y24.(2)设圆心c到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形pmqn的面积为s.因为直线l，l1都经过点(0，1)，且l1l，根据勾股定理，有dd21.又|pq|2，|mn|2，所以s|pq|mn|，即s2222227，当且仅当d1d时，等号成立，所以四边形pmqn面积的最大值为7.解题方略求解圆的弦长的3种方法关系法根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式l|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解跟踪训练1.已知过点a(0，1)且斜率为k的直线l与圆c：(x2)2(y3)21交于m，n两点，若|mn|，则直线l的方程为_.解析：直线l的方程为ykx1，圆心c(2，3)到直线l的距离d，由r2d2，得1，解得k2或，故所求直线l的方程为y2x1或yx1.答案：y2x1或yx12.(2019山东枣庄期末改编)若点p(1，1)为圆x2y26x0中弦ab的中点，则弦ab所在直线的方程为_，|ab|_.解析：圆x2y26x0的标准方程为(x3)2y29.又因为点p(1，1)为圆中弦ab的中点，所以圆心与点p所在直线的斜率为，故弦ab所在直线的斜率为2，所以直线ab的方程为y12(x1)，即2xy10.圆心(3，0)与点p(1，1)之间的距离d，圆的半径r3，则|ab|24.答案：2xy1043.已知从圆c：(x1)2(y2)22外一点p(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为m，o为坐标原点，且有|pm|po|，则当|pm|取最小值时点p的坐标为_.解析：如图所示，连接cm，cp.由题意知圆心c(1，2)，半径r.因为|pm|po|，所以|po|2r2|pc|2，所以xy2(x11)2(y12)2，即2x14y130.要使|pm|的值最小，只需|po|的值最小即可.当po垂直于直线2x4y30时，即po所在直线的方程为2xy0时，|pm|的值最小，此时点p为两直线的交点，则解得故当|pm|取最小值时点p的坐标为.答案：数学建模直线与圆最值问题的求解典例已知圆o：x2y29，过点c(2，1)的直线l与圆o交于p，q两点，则当opq的面积最大时，直线l的方程为()a.xy30或7xy150b.xy30或7xy150c.xy30或7xy150d.xy30或7xy150解析当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，则p(2，)，q(2，)，所以sopq222，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，则圆心到直线l的距离d，所以|pq|2，sopq|pq|d2d，当且仅当9d2d2，即d2时，sopq取得最大值，因为2，所以sopq的最大值为，此时，解得k1或k7，此时直线l的方程为xy30或7xy150，故选d.答案d素养通路本题考查了直线与圆的最值问题，结合题目的条件，设元、列式、建立恰当的函数，利用基本不等式模型解决相关的最值问题.考查了数学建模这一核心素养.专题过关检测a组“633”考点落实练一、选择题1.“ab4”是“直线2xay10与直线bx2y20平行”的()a.充要条件b.充分不必要条件c.必要不充分条件d.既不充分也不必要条件解析：选c因为两直线平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又当a1，b4时，满足ab4，但是两直线重合，故选c.2.圆o1：x2y22x0和圆o2：x2y24y0的位置关系是()a.相离b.相交c.外切d.内切解析：选b圆o1：x2y22x0，即(x1)2y21，圆心是o1(1，0)，半径是r11，圆o2：x2y24y0，即x2(y2)24，圆心是o2(0，2)，半径是r22，因为|o1o2|，故|r1r2|o1o2|r1r2|所以两圆的位置关系是相交.3.已知直线l1过点(2，0)且倾斜角为30，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()a.(3，) b.(2，)c.(1，) d.解析：选c直线l1的斜率k1tan30，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2，所以直线l1的方程为y(x2)，直线l2的方程为y(x2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，).4.(2019江苏徐州期末)若圆(x1)2y2m与圆x2y24x8y160内切，则实数m的值为()a.1b.11c.121d.1或121解析：选d圆(x1)2y2m的圆心坐标为(1，0)，半径为；圆x2y24x8y160，即(x2)2(y4)236，故圆心坐标为(2，4)，半径为6.由两圆内切得|6|，解得m1或m121.故选d.5.在平面直角坐标系中，o为坐标原点，直线xky10与圆c：x2y24相交于a，b两点，若点m在圆c上，则实数k的值为()a.2b.1c.0d.1解析：选c法一：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，则4k212(k21)0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因为，故m，又点m在圆c上，故4，解得k0.法二：由直线与圆相交于a，b两点，且点m在圆c上，得圆心c(0，0)到直线xky10的距离为半径的一半，为1，即d1，解得k0.6.(2019广东省广州市高三测试)已知圆c：x2y21，点a(2，0)及点b(2，a)，若直线ab与圆c没有公共点，则a的取值范围是()a.(，1)(1，)b.(，2)(2，)c.d.(，4)(4，)解析：选c由点a(2，0)及点b(2，a)，得kab，所以直线ab的方程为y(x2)，即ax4y2a0.因为直线ab与圆c没有公共点，所以1，解得a或a，所以a的取值范围是，故选c.二、填空题7.(2019贵阳市第一学期监测)已知直线l1：y2x，则过圆x2y22x4y10的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为_.解析：由题意，圆的标准方程为(x1)2(y2)24，所以圆的圆心坐标为(1，2)，所以所求直线的方程为y2(x1)，即x2y30.答案：x2y308.已知直线l过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点，且点p(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_.解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1，2).显然直线x1不满足p(0，4)到直线l的距离为2.设直线l的方程为y2k(x1)，即kxy2k0，因为p(0，4)到直线l的距离为2，所以2，所以k0或k.所以直线l的方程为y2或4x3y20.答案：y2或4x3y209.(2019广东六校第一次联考)已知点p(1，2)及圆(x3)2(y4)24，一光线从点p出发，经x轴上一点q反射后与圆相切于点t，则|pq|qt|的值为_.解析：点p关于x轴的对称点为p(1，2)，如图，连接pp，pq，由对称性可知，pq与圆相切于点t，则|pq|qt|pt|.圆(x3)2(y4)24的圆心为a(3，4)，半径r2，连接ap，at，则|ap|2(13)2(24)252，|at|r2，所以|pq|qt|pt|4.答案：4三、解答题10.已知圆(x1)2y225，直线axy50与圆相交于不同的两点a，b.(1)求实数a的取值范围；(2)若弦ab的垂直平分线l过点p(2，4)，求实数a的值.解：(1)把直线axy50代入圆的方程，消去y整理，得(a21)x22(5a1)x10，由于直线axy50交圆于a，b两点，故4(5a1)24(a21)0，即12a25a0，解得a或a0，b0)，即bxayab0，由直线l与圆o相切，得，即，则|de|2a2b22(a2b2)48，当且仅当ab2时取等号，此时直线l的方程为xy20.12.已知a(2，0)，直线4x3y10被圆c：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为4，且p为圆c上任意一点.(1)求|pa|的最大值与最小值；(2)圆c与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.解：(1)直线4x3y10被圆c：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为4，圆心到直线的距离d1.m3，m2，|ac|，|pa|的最大值与最小值分别为，.(2)由(1)可得圆c的方程为(x3)2(y2)213，令x0，得y0或4；令y0，得x0或6，圆c与坐标轴相交于三点m(0，4)，o(0，0)，n(6，0)，mon为直角三角形，斜边|mn|2，mon内切圆的半径为5.b组大题专攻强化练1.已知点m(1，0)，n(1，0)，曲线e上任意一点到点m的距离均是到点n的距离的倍.(1)求曲线e的方程；(2)已知m0，设直线l1：xmy10交曲线e于a，c两点，直线l2：mxym0交曲线e于b，d两点.当cd的斜率为1时，求直线cd的方程.解：(1)设曲线e上任意一点的坐标为(x，y)，由题意得，整理得x2y24x10，即(x2)2y23为所求.(2)由题意知l1l2，且两条直线均恒过点n(1，0).设曲线e的圆心为e，则e(2，0)，设线段cd的中点为p，连接ep，ed，np，则直线ep：yx2.设直线cd：yxt，由解得点p，由圆的几何性质，知|np|cd|，而|np|2，|ed|23，|ep|2，所以3，整理得t23t0，解得t0或t3，所以直线cd的方程为yx或yx3.2.已知点a(1，a)，圆x2y24.(1)若过点a的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2)若过点a且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值.解：(1)由过点a的圆的切线只有一条，得点a在圆上，故12a24，解得a.当a时，a(1，)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为xy40；当a时，a(1，)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为xy40.综上所述，当a时，切线方程为xy40；当a时，切线方程为xy40.(2)设直线方程为xyb，由于直线过点a，则1ab，即ab1，又圆心(0，0)到直线xyb的距离d.所以4，则b，因此ab11.3.在平面直角坐标系xoy中，点a(0，3)，直线l：y2x4，设圆c的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心c也在直线yx1上，过点a作圆c的切线，求切线的方程；(2)若圆c上存在点m，使|ma|2|mo|，求圆心c的横坐标a的取值范围.解：(1)因为圆心在直线l：y2x4上，也在直线yx1上，所以解方程组得圆心c(3，2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x3)2(y2)21，又因为点a(0，3)，显然过点a，圆c的切线的斜率存在，设所求的切线方程为ykx3，即kxy30，所以1，解得k0或k，所以所求切线方程为y3或yx3，即y30或3x4y120.(2)因为圆c的圆心在直线l：y2x4上，所以设圆心c为(a，2a4)，又因为圆c的半径为1，则圆c的方程为(xa)2(y2a4)21.设m(x，y)，又因为|ma|2|mo|，则有2，整理得x2(y1)24，其表示圆心为(0，1)，半径为2的圆，设为圆d，所以点m既在圆c上，又在圆d上，即圆c与圆d有交点，所以2121，解得0a，所以圆心c的横坐标a的取值范围为.4.在直角坐标系xoy中，曲线yx2mx2与x轴交于a，b两点，点c的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现acbc的情况？说明理由；(2)证明过a，b，c三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解：(1)不能出现acbc的情况，理由如下：设a(x1，0)，b(x2，0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又c的坐标为(0，1)，故ac的斜率与bc的斜率之积为，所以不能出现acbc的情况.(2)证明：由(1)知bc的中点坐标为，可得bc的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以ab的中垂线方程为x.联立可得所以过a，b，c三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过a，b，c三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.17第2讲圆锥曲线的方程与性质全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019双曲线的渐近线与离心率的关系t10抛物线和椭圆的焦点t9双曲线的标准方程及几何性质t10椭圆的定义及标准方程t12圆、双曲线的标准方程和几何性质t12椭圆的方程及性质t152018椭圆的几何性质t4双曲线的几何性质t6双曲线的几何性质及点到直线的距离t10椭圆的定义及几何性质t112017双曲线的性质、三角形的面积公式t5双曲线的几何性质t5双曲线的标准方程、渐近线方程t14(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容，多以选择题的形式考查，常出现在第411题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中等.(2)圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查，常出现在第20题的位置，一般难度较大.圆锥曲线的定义及标准方程例1(1)(2019重庆市学业质量调研)已知抛物线y24x的准线l过双曲线1(a0，b0)的一个焦点f，且该双曲线的一条渐近线过点p(1，2)，则该双曲线的方程为()a.y21b.x21c.1d.1(2)(2019全国卷)已知椭圆c的焦点为f1(1，0)，f2(1，0)，过f2的直线与c交于a，b两点.若|af2|2|f2b|，|ab|bf1|，则c的方程为()a.y21b.1c.1d.1解析(1)由题意知，抛物线y24x的准线l：x，因为抛物线y24x的准线l过双曲线1的一个焦点f，所以f(，0)，所以a2b25，因为该双曲线的一条渐近线过点p(1，2)，所以2，所以b2a，可得a1，b2，所以该双曲线的方程为x21，故选b.(2)设椭圆的标准方程为1(ab0).由椭圆的定义可得|af1|ab|bf1|4a.|ab|bf1|，|af2|2|f2b|，|ab|bf1|af2|，|af1|3|af2|4a.又|af1|af2|2a，|af1|af2|a，点a是椭圆的短轴端点，如图.不妨设a(0，b)，由f2(1，0)，2，得b.由点b在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆c的方程为1.故选b.答案(1)b(2)b解题方略1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|mf1|mf2|2a(2a|f1f2|)；(2)双曲线：|mf1|mf2|2a(2a|f1f2|)；(3)抛物线：|mf|d(d为m点到准线的距离).2.圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”.(1)定型.就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程.(2)计算.即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0且mn)，双曲线常设为mx2ny21(mn0). 跟踪训练1.(2019陕西西安八校联考)如图，抛物线w：y24x与圆c：(x1)2y225交于a，b两点.点p为劣弧上不同于a，b的一个动点且不在x轴上，与x轴平行的直线pq交抛物线w于点q，则pqc的周长的取值范围是()a.(10，12) b.(12，14)c.(10，14) d.(9，11)解析：选a法一：(常规法)设p(x1，y1)，q(x2，y2)，由题意得，圆c：(x1)2y225的圆心为c(1，0)，半径为5.抛物线w的准线l：x1，焦点为c(1，0).由抛物线的定义可得|qc|x21，则pqc的周长为|qc|pq|pc|x21(x1x2)56x1.由得a(4，4)，则x1(4，6)，所以6x1(10，12)，于是pqc的周长的取值范围是(10，12).故选a.法二：(临界点法)平移直线pq，当点a在直线pq上时，属于临界状态，此时结合|ca|5可知pqc的周长趋于2510；当直线pq与x轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1，0)及圆的半径为5，可知pqc的周长趋于2(15)12.综上可知，pqc的周长的取值范围是(10，12).故选a.2.(2019江西七校第一次联考)已知f1，f2为双曲线c：x2y22的左、右焦点，点p在c上，|pf1|2|pf2|，则cosf1pf2_.解析：化双曲线的方程为1，则ab，c2，因为|pf1|2|pf2|，所以点p在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|pf1|pf2|2a2，解得|pf1|4，|pf2|2，根据余弦定理得cosf1pf2.答案：3.如图，已知椭圆c的中心为原点o，f(5，0)为c的左焦点，p为c上一点，满足|op|of|且|pf|6，则椭圆c的方程为_.解析：由题意可得c5，设右焦点为f，连接pf(图略)，由|op|of|of|知，pfffpo，ofpopf，pffofpfpoopf，所以fpoopf90，即pfpf.在rtpff中，由勾股定理得，|pf|8，由椭圆的定义得，|pf|pf|2a14，解得a7，a249，b2a2c224，所以椭圆c的方程为1.答案：1圆锥曲线的几何性质例2(1)(2019天津高考)已知抛物线y24x的焦点为f，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点a和点b，且|ab|4|of|(o为原点)，则双曲线的离心率为()a.b.c.2d.(2)已知f1，f2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点p使得pf1pf2，则该椭圆的离心率的取值范围是()a.b.c.d.解析(1)由已知易得，抛物线y24x的焦点为f(1，0)，准线l：x1，所以|of|1.又双曲线的两条渐近线的方程为yx，不妨设点a，b，所以|ab|4|of|4，所以2，即b2a，所以b24a2.又双曲线方程中c2a2b2，所以c25a2，所以e.故选d.(2)f1，f2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，f1(c，0)，f2(c，0)，c2a2b2.设点p(x，y)，由pf1pf2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组整理得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，e1.答案(1)d(2)b解题方略1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值.2.双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得.(2)用法：可得或的值.利用渐近线方程设所求双曲线的方程.跟踪训练1.(2019兰州市诊断考试)若双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为()a.8b.4c.2d.解析：选b由题意知2a4，所以a2.因为e，所以c2，所以b2，所以2b4，即该双曲线的虚轴长为4，故选b.2.(2019福建省质量检查)已知双曲线c的中心在坐标原点，一个焦点(，0)到渐近线的距离等于2，则c的渐近线方程为()a.yxb.yxc.yxd.y2x解析：选d设双曲线c的方程为1(a0，b0)，则由题意，得c.双曲线c的渐近线方程为yx，即bxay0，所以2，又c2a2b25，所以b2，所以a1，所以双曲线c的渐近线方程为y2x，故选d.3.以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a，b两点，交c的准线于d，e两点.已知|ab|4，|de|2，则c的焦点到准线的距离为()a.2b.4c.6d.8解析：选b设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|ab|4，|de|2，抛物线的准线方程为x，不妨设a，d.点a，d在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去).c的焦点到准线的距离为4.直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例3(1)已知直线x1过椭圆1的焦点，则直线ykx2与椭圆至多有一个交点的充要条件是()a.kb.kc.kd.k(2)若直线xym0与双曲线x21交于不同的点a，b，且线段ab的中点在圆x2y25上，则m的值为()a.b.2c.1d.解析(1)由题意可得4b21，即b23，所以椭圆方程为1.由可得(34k2)x216kx40.由(16k)216(34k2)0，解得k.故选a.(2)设a，b两点的坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，线段ab的中点为m(x0，y0).由得x22mxm220(0)，x0m，y0x0m2m，点m(x0，y0)在圆x2y25上，m2(2m)25，m1.答案(1)a(2)c解题方略1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.2.直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切.题型二直线与圆锥曲线的弦长例4已知椭圆e：1(ab0)的离心率为，其左、右焦点f1，f2间的距离为4，过动点p的直线pf1和pf2与椭圆e的交点分别为a，b和c，d.(1)求椭圆e的标准方程；(2)设直线ab，cd的斜率分别为k1，k2，若|ab|cd|6，求k1k2的值.解(1)由题意得易知c2，所以a2，bc2.所以椭圆e的标准方程为1.(2)因为直线ab的斜率为k1，且直线ab过f1(2，0)，所以直线ab的方程为yk1(x2).由消去y并整理，得(2k1)x28kx8k80.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|ab|4.同理可得|cd|4.因为|ab|cd|6，所以446，即23，去分母得2(k1)(2k1)2(k1)(2k1)3(2k1)(2k1)，化简得kk，即k1k2.解题方略直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为a(x1，y1)，b(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，则弦长|ab|y1y2|(k为直线的斜率且k0)，当a，b两点坐标易求时也可以直接用|ab|求之.跟踪训练已知点m在椭圆g：1(ab0)上，且点m到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆g的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆g交于a，b两点，以ab为底作等腰三角形，顶点为p(3，2)，求pab的面积.解：(1)2a4，a2.又点m在椭圆上，1，解得b24，椭圆g的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x10)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()a.2b.3c.4d.8解析：选d抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为.由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选d.2.一个焦点为(，0)且与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程是()a.1b.1c.1d.1解析：选b设所求双曲线方程为t(t0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|26.又焦点在x轴上，所以t2，即双曲线方程为1.3.已知两圆c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，动圆m在圆c1内部且与圆c1内切，与圆c2外切，则动圆圆心m的轨迹方程为()a.1b.1c.1d.1解析：选d设圆m的半径为r，则|mc1|13r，|mc2|3r，|mc1|mc2|16|c1c2|，所以点m的轨迹是以点c1(4，0)和c2(4，0)为焦点的椭圆，且2a16，a8，c4，则b2a2c248，所以点m的轨迹方程为1.4.(2019全国卷)已知f是双曲线c：1的一个焦点，点p在c上，o为坐标原点.若|op|of|，则opf的面积为()a.b.c.d.解析：选b由f是双曲线1的一个焦点，知|of|3，所以|op|of|3.不妨设点p在第一象限，p(x0，y0)，x00，y00，则解得所以p，所以sopf|of|y03.故选b.5.(2019石家庄市模拟(一)已知椭圆1(ab0)，点f为左焦点，点p为下顶点，平行于fp的直线l交椭圆于a，b两点，且ab的中点为m，则椭圆的离心率为()a.b.c.d.解析：选bfp的斜率为，fpl，直线l的斜率为.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得，即.ab的中点为m，a22bc，b2c22bc，bc，ac，椭圆的离心率为，故选b.6.(2019全国卷)设f为双曲线c：1(a0，b0)的右焦点，o为坐标原点，以of为直径的圆与圆x2y2a2交于p，q两点.若|pq|of|，则c的离心率为()a.b.c.2d.解析：选a设双曲线c：1(a0，b0)的右焦点f的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|pq|of|可知，pq是以of为直径的圆的直径，且pqof.设垂足为m，连接op，如图，则|op|a，|om|mp|.由|om|2|mp|2|op|2得a2，故，即e.故选a.二、填空题7.(2019北京通州区三模改编)抛物线y22px(p0)的准线与双曲线x21的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p_，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为_.解析：抛物线y22px(p0)的准线方程为x，双曲线x21的两条渐近线方程分别为y2x，y2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为，因此2p2，解得p2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y2x和y2x的距离相等，均为.答案：28.设直线l：2xy20关于原点对称的直线为l，若l与椭圆x21的交点为a，b，点p为椭圆上的动点，则使pab的面积为的点p的个数为_.解析：直线l的方程为2xy20，交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|ab|，由pab的面积为，得点p到直线ab的距离为，而平面上到直线2xy20的距离为的点都在直线2xy10和2xy30上，而直线2xy10与椭圆相交，2xy30与椭圆相离，满足题意的点p有2个.答案：29.已知m(x0，y0)是双曲线c：y21上的一点，f1，f2是双曲线c的两个焦点.若0，则y0的取值范围是_.解析：由题意知a，b1，c，设f1(，0)，f2(，0)，则(x0，y0)，(x0，y0).0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点m(x0，y0)在双曲线c上，y1，即x22y，22y3y0，y0.答案：y0b0)的中心是坐标原点o，左、右焦点分别为f1，f2，设p是椭圆c上一点，满足pf2x轴，|pf2|，椭圆c的离心率为.(1)求椭圆c的标准方程；(2)过椭圆c左焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆c相交于a，b两点，求aob的面积.解：(1)由题意知，离心率e，|pf2|，得a2，b1，所以椭圆c的标准方程为y21.(2)由条件可知f1(，0)，直线l：yx，联立直线l和椭圆c的方程，得消去y得5x28x80，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|y1y2|x1x2|，所以saob|y1y2|of1|.11.(2019全国卷)已知抛物线c：y23x的焦点为f，斜率为的直线l与c的交点为a，b，与x轴的交点为p.(1)若|af|bf|4，求l的方程；(2)若3，求|ab|.解：设直线l：yxt，a(x1，y1)，b(x2，y2).(1)由题设得f，故|af|bf|x1x2.又|af|bf|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13.代入c的方程得x13，x2.故|ab|.12.(2019成都市第二次诊断性检测)已知椭圆c：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆c的标准方程；(2)设椭圆c的左、右焦点分别为f1，f2，左、右顶点分别为a，b，点m，n为椭圆c上位于x轴上方的两点，且f1mf2n，直线f1m的斜率为2，记直线am，bn的斜率分别为k1，k2，求3k12k2的值.解：
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