2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷及答案.pdf

2014 全国全国高中数学联赛高中数学联赛安徽安徽省省初初赛试卷赛试卷 考试时间 考试时间 2014 年年 7 月月 5 日日上午上午 9 00 11 30 题号题号 一 二二 总分总分 9 10 11 12 得分得分 评卷人评卷人 复核人复核人 注意 注意 1 1 本试卷共 本试卷共 1 12 2 小题 满分小题 满分 1 15 50 0 分 分 2 2 请请用钢笔 签字笔或圆珠笔作答 用钢笔 签字笔或圆珠笔作答 3 3 书写不要超过装订线 书写不要超过装订线 4 4 不 不得得使用计算器使用计算器 一 填空题 每一 填空题 每题题 8 8 分 共分 共 6 64 4 分 分 1 函数 54 32 2 2 R x xx xx y的值域是 2 函数 2015tan 2014tan 2013tan xxxy 在 0中的零点个数是 3 设定点 1 2 A 动点B在x轴上 动点C在直线xy 上 则ABC 的周长的最小值 是 4 设 21 P P是平面上两点 12 k P是 k P2关于 1 P的对称点 22 k P是 12 k P关于 2 P的对称点 N k 若1 21 PP 则 20142013P P 5 已知四面体 ABCD的侧面展开图如下图所示 则其体积是 6 设复数 z满足2 1 z z 则z的取值范围是 7 设动点 1 0 tQtP 其中参数 1 0 t 则线段PQ扫过的平面区域的面积 是 8 从正 12 边形的顶点中取出 4 个顶点 它们两两不相邻的概率是 二 解答题 二 解答题 第第 9 10 题每题题每题 21 分分 第第 11 12 题题 22 分 共分 共 86 分分 9 已知正实数zyx 满足1 zyx 求证 0 222 xz xy zy zx yx yz 10 设数列 n a满足1 2 3 1 2 11 n a a aa n n n 求证 1 当2 n时 n a严格单调递减 2 当1 n时 n n r r an 2 2 1 1 323 这里32 r 11 已知平面凸四边形ABCD的面积为 1 求证 224 CDBDBCADACAB 12 求证 1 方程01 3 xx恰有一个实根 并且 是无理数 2 不是任何整数系数二次方程 0 0 2 acbacbxaxZ的根 填空题填空题答案答案 22 22 2014 10 4024 3 2 12 12 6 1 33 7 填空题填空题解答解答 1 54 32 2 2 xx xx y关于x的方程0 35 24 1 2 yxyxy有实根 0 35 1 12 2 yyy 化简得024 2 yy 2222 y 2 2015tan 2014tan 2013tan xxxy 2015cos 2014cos 2013cos 2015sin 2013sin 1 2014sin 2015cos 2014cos 2013cos 2015cos 2013cos 4028cos 1 2014sin 2015cos 2014cos 2013cos 2015cos 2013cos 2014 cos2 2014sin 2014cos 2014sin 2015cos 2013cos 2014cos 2014sin 2 2014cos 2014sin 2015cos 2013cos 4028sin 2014cos 2014sin 2015cos 2013cos 2015sin 2013cos 2015cos 2013sin 2 xxx xxx xxx xxxx xxx xxxx x x xx xx x x xx x x x xx xxxx 由y的定义域可知1 2015sin 2013sin xx 因此y的零点为 2014 1 0 2014 k k x 但 当 k 1007 时函数无定义 因此 y 在 0中共有 2014 个零点 3 设 1 2 P是A关于x轴的对称点 2 1 Q是A关于直线xy 的对称点 则ABC 的 周长等于10 PQCQBCPB 4 22112 21222 21222 12222 2112 2 2 2 2 2 PPPkP PPPkP PPPP PPP PPP k k kk kk kk 从而 212212 4PPkPP kk 特别 4024 20142013 PP 5 以图示坐标系为Oxy平面 建立空间直角坐标系 根据展开图及其对称性 可设 3 zyA 0 4 3 B 0 2 2 C 0 2 4 D 由 22 22 2 12 4 5 zyAC zyAB 解得 1 2 z y 因此 3 2 3 zS V BCD ABCD 6 设rz 则有rzr211 22 即 222 4 1 rr 由此解得223223 2 r 1212 r 7 直线PQ的方程为 1 tx t t y 固定 1 0 x 当 0 xt 变化时 t t x xy1 1 1 2的取值范围是xxy 1220 所求平面区域的面积 6 1 122 1 0 dxxx 8 从 12 个顶点中取出 4 个顶点的取法总数为 4 12 C 把正 12 边形的顶点依次编号 1 12 设被取出的 4 个顶点的编号从小到大为dcba 若它们两两不相邻 则有 020202 cdzbcyabx 当1 a时 满足11 d即4 zyx的 zyx共有15 3 7 C个 当2 a时 满足12 d即azyx 6的 zyx共有 3 9 a C 个 因此 两两不相邻的概率为 33 7 495 105 4 12 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 7 C CCCCCC 9 12 题解答题解答 9 根据均值 或柯西 不等式 xzzyyx xzzyyx 2 1 2 1 2 1 2 2 2 9 2 1 2 1 2 1 2 2 2 93 3 xzzyyx xzzyyx 10 分 从而 3 2 1 2 1 2 1 xzzyyx zyx 15 分 因此 0 3 222222 xz zyx zy zyx yx zyx xz xy zy zx yx yz 21 分 注 本题条件 注 本题条件1 zyx是多余的 是多余的 10 1 当2 n时 根据平均不等式 3 2 3 1 2 1 n n n a a a 5 分 由于 n a都是有理数 故3 n a 从而0 2 3 2 1 n n nn a a aa 即 n a严格单调递减 10 分 2 由 n n n a a a 2 3 2 1 可得 2 1 1 3 3 3 3 n n n n a a a a 16 分 由此得 n r a a n n2 1 1 3 3 其中32 3 3 1 1 a a r 解得 n n r r an 2 2 1 1 1 3 n n r r an 2 2 1 1 323 21 分 11 假设凸四边形ABCD满足 CDBDBCADACABL 最小 此时 ABCD一定是菱形 否则如图所示 可固定两对角 点 不妨设是DB 过 A C 分别做 BD 的平行线 调整另外两点CA 的位置 使它们分别位于两平行 线上 则ABD 和CBD 的面积都不变 但L变大 从而 AB AD BC CD 类似地 AB BC CD DA 即 ABCD 是菱形 12 分 设菱形ABCD的两条对角线长度分别是yx 则2 xy 22 2yxyxL 根 据平均不等式 2242222 22 xyxyyxyxL 当2 yx时 L取得最小值224 22 分 12 1 设1 3 xxxf 则13 2 xxf xf在 3 1 单调增 在 3 1 x 处取得极大值01 33 2 在 3 1 3 1 单调减 在 3 1 x处取得极小值 01 33 2 ff 知 方程0 xf有唯一的实根 2 1 8 分 假设 n m 其中nm 是互素的正整数 则1 3223 nmnnmnm 即 是整数 这与 2 1 矛盾 因此 是无理数 13 分 2 假设 还满足 0 0 2 acbacbaZ 则有 2 01 1 0 3 2 cba 将第