2009年八校联合考试数学试卷(文科).doc

中小学1对1课外辅导专家2009年上海市八校联合考试数学试卷（文科）（考试时间120分钟，满分150分）一填空题（本大题共有11题，满分60分）只要求直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。1若，且，则_。2已知全集，集合，那么集合_。3满足方程的实数解x为_。4在数列中，且，_。5已知实数，直线过点，且垂直于向量，若直线与圆相交，则实数的取值范围是_。6已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为_。7是无穷数列，已知是二项式的展开式各项系数的和，记，则_。8在中，的面积为，则_。9已知集合，（可以等于)，从集合中任取一元素，则该元素为实数的概率为_。10某同学在研究函数 时，分别给出下面几个结论：等式对恒成立；函数的值域为；若，则一定有； 函数在上有三个零点。其中正确结论的序号有_。（请将你认为正确的结论的序号都填上）11将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”。（1）直角三角形具有性质：“两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方”。仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质： 。（2）直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”。仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质： 。二选择题（本大题共有题，满分16分）每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确的结论的代号写在题后的圆括号内，选对得分，否则一律得零分。12已知、为实数，则是的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件13已知点，直线，点B是l上的动点， 过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是（）（A）抛物线 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）直线ABCEFA1B1C1xyOxyOxyOxyO（A）（B）（C）（D）14已知正三棱柱的底面边长为，高为1，过顶点A作一平面与侧面交于（如右图），且若，四边形面积为y，则函数的图象大致是（ ）15已知，若为满足的整数，则是直角三角形的整数的个数为（ ）（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）7个 三解答题（本大题共有小题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤。16（本题满分12分，题（1）、（2）各6分）已知函数.（1）求的最小正周期，并求的最小值；（2）若，且，求的值。17（本题满分14分）随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（1402a420，且a为偶数，每人每年可创利10万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，若裁员人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年4万元的生活费，并且该公司正常运转情况下，所裁人数不超过50人，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？18（本题满分14分，题（1）6分，题（2）8分）已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为，原点到直线的距离是（1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。19（本题满分16分，题（1）4分，题（2）6分，题（3）6分）对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。 对任意的，总有； 当时，总有成立。已知函数与是定义在上的函数。（1）试问函数是否为函数？并说明理由；（2）若函数是函数，求实数组成的集合；（3）在（2）的条件下，方程有两个不同的解，求实数的取值范围。20（本题满分18分，题（1）4分，题（2）6分，题（3）8分）已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、构成以为顶点的等腰三角形。（1）证明:数列是等差数列；（2）求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；（3）对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）2009年上海市八校联合考试数学试卷（文科答案）（考试时间120分钟，满分150分）一 填空题：；2；4 2550 ；7 ；9；(1) 直角三棱锥中，三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；(2) 直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一 二选择题：B；A；14； B 三解答题：1（本题满分1分）解：（1） =. 分 因此的最小正周期为,最小值为. 分 (2)由得=2，即， 而由，得. 分 故， 解得. 1分17.（本题满分14分）解：，设裁员x （）人，可获得的经济效益为y万元，则 分 6分当取到最大值；9分当取到最大值；12分答：当 时，公司应裁员人，经济效益取到最大值当，公司应裁员50人， 经济效益取到最大值1分18(本题满分14分)已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为L,原点到直线L的距离是（1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在m，使。若存在,求出m的值；若不存在，请说明理由。. 解：（1）2分原点到直线AB：的距离，分. 故所求双曲线方程为 6分（2）把中消去y，整理得 .8分设，则 因为 ，所以 10分把 代入上式， 解得 13分解，得，满足，14分（本题满分分）已知定义在的函数同时满足以下二条： 对任意的，总有；当时，总有成立称函数为函数。（1）问：函数是否为函数，并说明理由；（2）若函数是函数，求的集合。（3）在（2）的条件下，方程有二个不同解，求实数的范围。解：（1）当时，总有，满足，1分当时，满足4分（2）为增函数，分由 ，得，即分因为 所以 与不同时等于1 ；分当时，；分综合上述：1分（3）根据（）知：b=1，方程为， 1分令 方程为2分 14分由图形可知： 当 时，有二不同解； 16分20.(本题满分分)解: (1)依题意有,于是.所以数列是等差数列. .4分(2)由题意得,即 , () 所以又有. 由得：,所以是常数分由都是等差数列. ，那么得 ,. ( 分故 1分(3) 提出问题：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数 提出问题：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数解：问题 1分当为奇数时,所以当为偶数时,所以 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：. 分当为奇数时,有,即 ， 当,不合题意15分当为偶数时,有 ，,同理可求得 .当时，不合题意 1分综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或. 1分解：问题 1分