2014年广东省高考试题及2014年7月惠州市2015届高三第一.doc

广东省惠州市2015届高三第一次调研考试 试卷类型：A数 学 (理科) 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 .1复数（其中为虚数单位）的虚部是 （ ） 2已知集合，则下列结论正确的是（ ） 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) 4已知等差数列的前项和为，若，则 ( )43233正视图侧视图俯视图 5在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） 6若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） 7已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是（ ） 8已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，则（ ） 二、填空题：本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分.（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9 函数的定义域是 .10以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .11用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个.12设变量满足，则的最大值是 .13函数的定义域为，对任意，则的解集为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，分别是直线和APOB圆上的动点，则两点之间距离的最小值是 .15(几何证明选讲选做题)如图所示，是等腰三角形，是底边延长线上一点，且，则腰长= . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知. (1)求的值； (2)求的值17（本小题满分12分）去年2月29日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求的值； (2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值； （注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O51525354518.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(1) 求证：；BA1CAB1C1(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。19（本小题满分14分）已知数列中，前项和(1) 求数列的通项公式；(2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由20（本小题满分14分）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标F2OxyPABF1A2l21（本小题满分14分）已知关于的函数，其导函数为记函数 在区间上的最大值为(1) 如果函数在处有极值，试确定的值；(2) 若，证明对任意的，都有；(3) 若对任意的恒成立，试求的最大值广东省惠州市2015届高三第一次调研考试 数 学 (理科) 答题卡 试卷类型：A一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.请用2B铅笔将对应题号的选项涂黑. 正确填涂方法：1 3 5 7 2 4 6 8 三、解答题：本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分） 二、填空题：本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分.（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9、 10、 11、 12、 13、 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分. 请先用2B铅笔将对应题号涂黑，并在括号内填上所选题号. 正确填涂方法： 14 15 （ ） 本答题卡共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 第1页（共6页）17（本小题满分12分）第2页（共6页）18.（本小题满分14分）第3页（共6页）19.（本小题满分14分）第4页（共6页）20（本小题满分14分）第5页（共6页）21（本小题满分14分）第6页（共6页）广东省惠州市2015届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一选择题：题号12345678答案CCBDACAD7. 【解析】此题为几何概型，事件A的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选8.【解析】由题意，则，得，由定义知，故选二填空题：9 10 1112 12 13 14 1513【解析】设函数，则，得函数在上为增函数，且，所以当时，有，得，故不等式的解集为三、解答题：16（本小题满分12分）解：（1） ，则 -1分 -2分 -4分 -5分（2） 原式 -7分 -9分 -10分= -11分 -12分17（本小题满分12分） (1) 解：由题意，得， 1分 解得. 2分（2）解：个样本中空气质量指数的平均值为 3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. 5分 的取值为， 6分 ， ，. 10分 的分布列为： 11分. 12分 （或者）18（本小题满分14分）解：（1）证明：如右图，取的中点，连接， 1分因，则 2分由平面侧面，且平面侧面，3分得，又平面， BA1CAB1C1DE所以. 4分因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.又，从而侧面 ，又侧面，故. 7分（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影 即为直线与所成的角，则 8分在等腰直角中，且点是中点 ，且， 9分 过点A作于点，连由（1）知，则，且 即为二面角的一个平面角 10分且直角中：又， ，且二面角为锐二面角 ，即二面角的大小为 14分 解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则， ， ， ， ， ， 9分设平面的一个法向量由， 得： 令 ，得 ，则 10分设直线与所成的角为，则得，解得，即 12分又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得 锐二面角的大小为。 14分19（本小题满分14分）解：（1）（解法一） 3分 整理得 两式相减得 5分 即 ，即 7分 数列是等差数列 且，得，则公差 8分（解法二） 3分 整理得 等式两边同时除以得 ， 5分即 6分 累加得 得 8分（2） 由（1）知 10分 12分 则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要 存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为14分20（本小题满分14分）解：（1）由题： 左焦点 (c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：d = = 2分由可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2c 2 = 3 3分 OxyPABF1F2A2l所求椭圆 C 的方程为 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ，x1x2 = ， 6分且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mAB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 = 0 7分所以 (x12,y1)(x22,y2) = (x12) (x22) + y1y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)(km2)+ m 2 + 4 = 0 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m = k 或 m = 2k 都满足 012分若 m = 2k 时，直线 l 为 y = kx2k = k (x2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去13分若 m = k 时，直线 l 为 y = kxk = k (x)， 恒过定点 (,0) 14分21（本小题满分14分）解：（1） ，由在处有极值，可得 ，解得，或 2分 若，则，此时函数没有极值；3分 若，则,此时当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值 当时，有极大值，故，即为所求。 4分（2）证法一： 当时，函数的对称轴位于区间之外 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个 ，即 8分证法二（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外， 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个，假设，则，将上述两式相加得: 6分,得，产生矛盾， 8分（3） （i）当时，由（2）可知； 9分（ii）当时，函数的对称轴位于区间之内，此时，由，有 若，则，则， 于是 11分 若，则，则于是 13分综上可知，对任意的、都有而当，时，在区间上的最大值 ，故对任意的、恒成立的的最大值为。 14分2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学(理科) 试卷类型：B一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合则A B. C. D. 答案: B2.已知复数Z满足则Z=A B. C. D. 答案:A 3.若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=A8 B.7 C.6 D.54.若实数k满足则曲线与曲线的A离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量则下列向量中与成夹角的是A（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,107.若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是A. B. C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定 答案: D8.设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为A.60 B.90 C.120 D.130 答案: D 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9.不等式的解集为 . 10.曲线在点处的切线方程为 .11. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 . 12.在中，角所对应的边分别为，已知，则 . 13. 若等比数列的各项均为正数,且,则 . （二）选做题（1415题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为和1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为 15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16、（本小题满分12分）已知函数，且， （1）求的值； （2）若，求.17、（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35的概率. 18.（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC，AFPC于点F，FECD，交