数学北师大版八年级下册同分母的加减.doc

3分式的加减法1.会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力.2.会进行同分母分式、异分母分式加减的简单运算. 1.经历类比、猜想、归纳、探索分式加减运算法则的过程.2.经历探索分式加减运算法则的过程,理解其算理.1.能解决一些简单的实际问题,进一步体会分式的模型思想.2.使学生体会分式的加减法在实际生活中的应用价值.【重点】探索分式加减法法则,会进行分式的加减运算.【难点】异分母分式的加减运算.第课时1.类比同分母分数的加减法法则归纳出同分母的分式加减法法则.2.理解同分母的分式加减法法则,能进行同分母的分式加减法运算及分母互为相反式的分式加减法运算.1.经历类比、猜想、归纳、探索同分母的分式加减运算法则的过程.2.经历探索分式加减运算法则的过程,理解其算理.通过学习认识到分数与分式的联系,理解事物拓延的内在本质,丰富数学情感与思想.【重点】理解同分母的分式加减法的运算法则,能进行同分母的分式加减运算.【难点】分母互为相反数的分式加减法运算.【教师准备】推导法则所用的题板.【学生准备】复习同分母分数的加减法.导入一:计算下列各题:13+23=17-27=18+38=712-512=猜想下列各式的结果:1a+2a=2x-1x=32b+52b=73y-43y=设计意图通过做一做,可以使学生很快进入状态又不觉得困难.后两个的运算结果要约分化为最简分数,学生极有可能说出没有约分的答案.因此,类比时注意引导学生正确猜想,注意约分,使法则的提出顺理成章,也为后面的学习做好铺垫.导入二:计算下列各题:13+23=17-27=18+38=712-512=【学生活动】同桌互相配合,一个出题,一个答题.【问题】你能否把这一数学事实用字母表示出来?会用语言叙述吗?用式子表示为:baca=bca.同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.设计意图通过复习同分母的分数加减法的题,引导学生用类比的思想,猜一猜同分母的分式的加减法如何运算,并试图让学生认识其合理性.从而给出同分母的分式加减法的运算法则,点明本节课的主要内容.过渡语学习了同分母的分式加减法法则,大家会运用法则计算吗?一、法则应用思路一(教材例1)计算:(1)a+bab-a-bab;(2)x2x-2-4x-2;(3)m-2nm+n-4m+nm+n;(4)x-3x+1+x+2x+1-x-1x+1.解析这四个题均可以直接利用法则进行计算,四个小题由简单到复杂,分母由单项式到多项式,分式的个数由2个到3个,结果由简单约分到需要因式分解后再约分,但都属于简单的分式运算.解:(1)a+bab-a-bab=a+b-(a-b)ab=2bab=2a.(2)x2x-2-4x-2=x2-4x-2=(x+2)(x-2)x-2=x+2.(3)m-2nm+n-4m+nm+n=m-2n-(4m+n)m+n=-3m-3nm+n=-3(m+n)m+n=-3.(4)x-3x+1+x+2x+1-x-1x+1=x-3+x+2-(x-1)x+1=xx+1.设计意图通过这4道小题的讲解,让学生掌握如何运用法则进行运算,并注意运算时可能出现的问题.教学提醒本例教学,每小题都应帮助学生理解算理,清楚每一步运算的依据,在进行运算时若分子是多项式的,分子要先添括号,再去括号,最后合并同类项;运算结果也要类比分数加减法的结果,化成最简形式,即约去分子与分母的所有公因式化简.思路二请计算1a+3a,x2x-3 - 9x-3,并分别取a=3,x=9,检验你的结果是否正确.解析利用同分母的分式加减法法则,可以计算出结果,分别代入具体值加以验证.解:1a+3a=4a;x2x-3 - 9x-3=x2-9x-3=(x+3)(x-3)x-3=x+3.当a=3时,1a+3a=13+33=43;4a=43.当x=9时,x2x-3-9x-3=929-3-99-3=12;x+3=9+3=12.所以1a+3a=4a;x2x-3-9x-3=x+3均正确.设计意图利用求代数式的值加深对同分母的分式加减法的理解.二、例题讲解过渡语对同分母的分式加减法法则,我们做到深刻领会了吗?请看下面例题.(教材例2)计算:(1)xx-y+yy-x;(2)a2a-1-1-2a1-a.解析本例教学中,可以先让学生观察两个分式的分母,再提问,以启发学生思考:问题1:这两个分式的分母相同吗?有什么关系?问题2:用什么方法可以将它们化成同分母分式?问题3:分子的符号、分母的符号、分式的符号之间有何关系?解:(1)xx-y+yy-x=xx-y-yx-y=x-yx-y=1.(2)a2a-1-1-2a1-a=a2a-1+1-2aa-1=a2-2a+1a-1=(a-1)2a-1=a-1.(补充例题)计算:(1)5x+3yx2-y2-2xx2-y2;(2)x+3yx2-y2-x+2yx2-y2+2x-3yx2-y2.解析同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.解:(1)原式=5x+3y-2xx2-y2=3(x+y)x2-y2=3x-y.(2)原式=x+3y-(x+2y)+2x-3yx2-y2=2(x-y)(x+y)(x-y)=2x+y.方法技巧同分母的分式加减法的运算,当分子为多项式时,应把多项式看成一个整体添上括号再运算,结果要化成最简分式.知识拓展分母互为相反数的分式加减法.计算:(1)2a2a-b+bb-2a;(2)2x-1+x-11-x;(3)m+2nn-m+nm-n-2nn-m.解析这是一组分母互为相反数的分式加减运算的题目,旨在初现异分母分式的加减运算,实质是化成同分母的分式再运算,这要求学生能够熟练掌握,并为下节课要学习的异分母的分式加减法做好准备.解:(1)2a2a-b+bb-2a=2a2a-b-b2a-b=2a-b2a-b=1.(2)2x-1+x-11-x=2x-1-x-1x-1=2-(x-1)x-1=3-xx-1.(3)m+2nn-m+nm-n-2nn-m=m+2nn-m-nn-m-2nn-m=m+2n-n-2nn-m=m-nn-m=-1.1.同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.2.学会用转化的思想将分母互为相反数的分式加减运算转化成同分母分式的加减运算.3.分子是多项式时,一定记得添括号后再进行加减运算.4.学会用类比的方法去分析和解决问题.1.(2015绍兴中考)化简x2x-1+11-x的结果是()A.x+1B.1x+1C.x-1D.xx-1解析:x2x-1+11-x=x2-1x-1=(x+1)(x-1)x-1=x+1.故选A.2.计算:a+2ba+b-a-ba+b+a-2ba+b=.解析:a+2ba+b-a-ba+b+a-2ba+b=a+2b-(a-b)+(a-2b)a+b=a+ba+b=1.故填1.3.计算:(m-n)2mn-m2+n2mn=.解析:(m-n)2mn-m2+n2mn=(m-n)2-(m2+n2)mn=-2mnmn=-2.故填-2.4.计算:(1)m-1x+n-mx;(2)a2a+b+2ab+b2a+b; (3)x-2y2x+y-7x+y2x+y.解:(1)m-1x+n-mx=m-1+n-mx=n-1x.(2)a2a+b+2ab+b2a+b=a2+2ab+b2a+b=(a+b)2a+b=a+b.(3)x-2y2x+y-7x+y2x+y=x-2y-(7x+y)2x+y=-3(2x+y)2x+y=-3.第1课时同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用式子表示为:baca=bca.一、法则应用二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第118页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第118页习题5.4的1,2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.化简x2x+y-y2x+y的结果是()A.-x-yB.y-xC.x-yD.x+y2.计算3xx-4y+x+y4y-x-7yx-4y得()A.-2x+6yx-4yB.2x+6yx-4yC.-2D.23.计算:(1)m-5nn-9m-6n9m-n+m9m-n;(2)x-2yx+y-x-yx+y+-x-4yx+y.【能力提升】4.计算:(1)3a+2b5a2b+a+b5a2b-b-a5a2b;(2)m+2nn-m-nm-n+2mn-m.5.(2015湖州中考)计算:a2a-b-b2a-b.【拓展探究】6.计算:5x+3yx2-y2-3x+4yx2-y2+2x-3yx2-y2.7.化简求值:2b2a2-b2-2aba2-b2,其中a=-2,b=13.【答案与解析】1.C(解析:原式=x2-y2x+y=(x+y)(x-y)x+y=x-y.故选C.)2.D(解析:原式=3x-(x+y)-7yx-4y=2(x-4y)x-4y=2.故选D.)3.解:(1)m-5nn-9m-6n9m-n+m9m-n=5n-m-6n+m9m-n=nn-9m.(2)x-2yx+y-x-yx+y+-x-4yx+y=x-2y-(x-y)+(-x-4y)x+y=-x-5yx+y=-x+5yx+y.4.解:(1)3a+2b5a2b+a+b5a2b-b-a5a2b=3a+2b+a+b-(b-a)5a2b=5a+2b5a2b.(2)m+2nn-m-nm-n+2mn-m=m+2n+n+2mn-m=3m+3nn-m.5.解:原式=a2-b2a-b=(a+b)(a-b)a-b=a+b.6.解:原式=5x+3y-(3x+4y)+(2x-3y)x2-y2=4x-4yx2-y2=4(x-y)(x+y)(x-y)=4x+y.7.解:原式=2b2-2aba2-b2=2b(b-a)(a+b)(a-b)=-2ba+b.当a=-2,b=13时,原式=-213-2+13=25.教材为我们提供了最基本有效的教学素材,我们应该充分挖掘这些素材,把它们转化成本节课的实质内容,并明确教学目标,让学生通过对这些素材的把握,做到举一反三、灵活运用.作为运算,课后还是应该多加练习,扎实基本功,毕竟课堂时间有限.1.因势利导,由浅入深,鼓励学生通过与同分母的分数的加减法类比,给出同分母的分式加减运算法则后,应该先讲如何应用,再让学生练习,自然引出例题.2.应该讲练结合,注意对关键点的引导.随堂练习(教材第118页)1.解:(1)不正确,am+bm=a+bm.(2)不正确,ax-y-ay-x=2ax-y.(3)不正确,1+1a=a+1a.(4)正确.2.解:(1)-3a.(2)2bx.(3)1.习题5.4(教材第118页)1.解:(1)n-1x.(2)-1m.2.解:(1)a+b.(2)-3y2x-y.(3)n+mn-m或-m+nm-n.(4)x+2.3.解:原式=x-1,当x=1100时,原式=-99100.4.解:3000a-30003a=3000a-1000a=2000a(h).历史上的分数运算法则1.最早的分数运算法则我们伟大的祖国,作为世界四大文明古国之一,在世界数学发展的历史长河中,曾作出过许多杰出的贡献,远远走在世界的前列.许多光辉的成就,在世界数学史上享有崇高的荣誉.分数运算法则的出现就是我们引以为荣的成就.早在西汉时期,张苍、耿寿昌等学者在整理、删补自秦代以来的数学知识的基础上,编成了数学的经典九章算术.后来,魏晋时代伟大的数学家刘徽对此书作了注解,于魏景元四年写成了九章算术注.在九章算术的方田章中,提出了完整的分数运算法则,讲到了约分、合分(分数的加法)、减分(分数的减法)、乘分(分数的乘法)、经分(分数的除法)的法则,这些与我们现在的分数运算法则完全相同.另外,还记载了课分(比较分数的大小)、平分(求分数的平均值)等关于分数的知识,是世界上最早的系统表述分数的著作.分数运算,大约15世纪才在欧洲流行.欧洲人普遍认为,这种算法起源于印度.实际上,印度到7世纪婆罗门笈多的著作中才开始出现分数的运算法则,即使与刘徽的时代相比,印度也要比我国迟400年左右.2.中国最早的约分九章算术中的算法是在假设读者已具备了正整数四则运算方法的基础上展开的.方田一章中讲述了分数运算,“约分术”是第一个算法,其述文是:“可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”意思是:分母、分子若都是偶数,先同被2除;若不都是偶数,则用“更相减损术”求其“等数”(即最大公约数).再用最大公约数去同除分母与分子.所谓“更相减损”,就是辗转相减.例如,求91与49的“等数”方法是:于是有497917=713.上述求等数的更相减损法,即从多的一边筹码数中将另一边较少的筹码数减去,如此反复进行,直到两边所剩数相等.这也是“等数”名称的由来.如果我们定义f(x)=xx+1,如f(2)=22+1=23,f12=1212+1=13.根据定义请你计算下面式子的值:f(2014)+f(2013)+f(1)+f(0)+f(1)+f12013+f12014.解:依题意设n是整数,则f(n)=nn+1,f1n=1n1n+1=1n+1,所以f(n)+f1n=nn+1+1n+1=n+1n+1=1,则f(2014)+f(2013)+f(1)+f(0)+f(1)+f12013+f12014=f(2014)+f12014+f(2013)+f12013+f(1)+f(1)+f(0)=1+1+12014个1+0=2014.问题:若我们定义g