2010福建高考数学理科试卷和答案.pdf

2010 年普通高等学校招生统一考试 福建卷 2010 年普通高等学校招生统一考试 福建卷 数学试题 理工农医类 数学试题 理工农医类 第 卷 选择题 共 50 分 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 计算43 13 43 sin13 的结果等于 sincoscos A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 2 以抛物线 2 4yx 的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 A B 22 2xyx 0 22 0 xyx C D 22 0 xyx 22 20 xyx 3 设等差数列 前n项和为 n a n S 若 1 11a 46 6aa 则 当取最小值时 等于 n Sn A 6 B 7 C 8 D 9 4 函数 2 230 2ln0 xxx f x xx 的零点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 5 阅读右图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的i值等于 A 2 B 3 C 4 D 5 6 如图 若是长方体被平面截去几何体 1111 ABCDABC D EFGH 11 EFGHBC后得到的几何体 其中E为线段上异于 11 AB 1 B的点 F为线段 1 BB上异于 1 B的点 且EH 则下列结论中不 11 AD 正确的是 A EH B 四边形是矩形 FGEFGH C 是棱柱 D 是棱台 7 若点和点O 2 0 F 分别为双曲线 2 2 2 1 x y a 的中心和左 焦点 点为双曲线右支上的任意一点 则 0a Pop fp uu r uu r 的取值范围为 1 A 3 2 3 B 3 2 3 C 7 4 D 7 4 8 设不等式组 1 23 x xy yx 0 所表示的平面区域是 1 平面区域 2 与关于直线 对称 对于中的任意点 1 349xy 0 1 A与 2 中的任意点B AB的最小值等于 A 28 5 B 4 C 12 5 D 2 9 对于复数ab 若集合cd Sabcd 具有性质 对任意xyS 必有 xyS 则当时 2 2 1 1 a b cb bcd 等于 A 1 B 1 C 0 D i 10 对于具有相同定义域的函数D f x和 若存在函数 g x h xkxb k为常数 对 任 给 的 正 数m 存 在 相 应 的 b 0 xD 使 得 当xD 且 0 xx 时 总 有 0 f 0 xhm h xg xm 的四组函数如下 2 f xx g xx 102 x f x g x 23x x f x 2 1x x g x ln1 ln xx x 2 2 1 x f x x 2 1 x g xxe 其中 曲线 yf x 与存在 分渐近线 的是 yg x A B C D 第 卷 非选择题 共 100 分 第 卷 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 把答案填在答题卡的相应位置 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 把答案填在答题卡的相应位置 11 在等比数列 中 若公比 n a4q 且前 3 项之和等于 21 则该数列的通项公式 n a 12 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其表面积 等于 2 13 某次知识竞赛规则如下 在主办方预设的 5 个问题中 选手若能连续 正确回答出两个问 题 即停止答题 晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0 8 且每 个问题的回答结果相互独立 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等 于 14 已知函数 3sin 0 6 f xx 和 2cos 2 1g xx 的图像的对称轴完全 相同 若 0 2 x 则 f x的取值范围是 15 已知定义域为 0的函数 f x满足 1 对任意 0 x 恒有 2 2 fxf x 成立 2 当时 12 x 2f xx 给出结论如下 对任意 有 函数mZ 2 0 m f f x的值域为 0 存在n 使 得 函数 Z 21 9 n f f x在区间上单调递减 的充要条件是 存在 使得 ab kZ 1 2 2 kk ab 其中所有正确结论的序号是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 设是不等式的解集 整数 m nS 2 60 xx S 记 使得成立的有序数组 为事件0mn mn A 试列举A包含的基本 事件 设 求 2 m 的分布列及其数学期望E 17 本小题满分 13 分 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点 且点为其右焦点 2 3 A 2 0 F 求椭圆C的方程 是否存在平行于的直线 使得直线 与椭圆C有公共点 且直线与l的 距离等于 4 若存在 求出直线 的方程 若不存在 说明理由 OAllOA l 3 18 本小题满分 13 分 如图 圆柱内有一个三棱柱 1 OO 111 ABCABC 三棱柱的 底面为圆柱底面的内接三角形 且AB是圆的直径 O 证明 平面 平面 1 A ACC1 11 B BCC 设 在圆柱内随机选取一点 记该点取自于三棱柱 内的概率为 1 ABAA 1 OO 111 ABCABC p 当点C在圆周上运动时 求的最大值 p 记平面与平面 1 A ACC1 1 BOC所成的角为 0 90 当取最 大值时 求 p cos 的值 19 本小题满分 13 分 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船 位于港口北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处 并正以 30 海里 小时的航行速 度沿正东方向匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 O O 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 小时 试设计航行方案 即确定航行 方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 20 本小题满分 14 分 已知函数 3 f xx x 其图象记为曲线C 求函数 f x的单调区间 证明 若对于任意非零实数 1 x 曲线C与其在点处的切线交 于另一点 曲线与其在点处的切线交于另一点 线 段 与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S 111 P xf x 222 P xf x C 2 P 333 P xf x 12 PP 2 P P1 S2 则 1 2 S S 为定值 对于一般的三次函数 32 0 g xaxbxcxd a 请给出类似于 ii 的正确命题 并予以证明 21 本题设有 1 2 3 三个选考题 每题 7 分 请考生任选 2 题作答 满分 14 分 如果多做 则按所做的前两题记分 作答时 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑 并将所选题号填入括号中 1 本小题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 且 1 1 a M b 2c N od 20 20 MN 4 求实数的值 求直线abcd 3yx 在矩阵M所对应的线性变换作 用下的像的方程 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为 2 3 2 2 5 2 xt yt 为参数 在极坐标系 与直角坐标系 t xOy取相同的长度单位 且以原点O为极点 以x轴正半轴为极轴 中 圆C的方程为2 5sin 求圆C的直角坐标方程 设圆C与直线 交于点 若点的坐标为 3 lAB P5 求 PAPB 3 本小题满分 7 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f xxa 若不等式的解集为 3f x 1xx5 求实数的值 a 在 的条件下 若 5 f xf xm 对一切实数x恒成立 求实数的 取值范围 m 5 数学试题 理工农医类 参考答案 数学试题 理工农医类 参考答案 一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 50 分 一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 50 分 1 A 2 D 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 B 9 B 10 C 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 4 分 满分 20 分 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 4 分 满分 20 分 11 12 1 4 n 326 13 14 128 0 3 2 3 15 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题主要考查概率与统计 不等式等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 考查 分类与整合思想 必然与或然思想 化归与转化思想 满分 13 分 解 I 由得06 2 xx32 x 即 32 xxS 由于 且Znm Snm 0 nm 所以 A 包含的基本事件为 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 II 由于的所有不同取值为 2 1 0 1 2 3 m 所以的所有不同取值为 0 1 4 9 2 m 且有 6 1 0 P 3 1 6 2 1 P 3 1 6 2 4 P 6 1 9 P 故 的分布列为 0 1 4 9 P 6 1 3 1 3 1 6 1 所以 6 19 6 1 9 3 1 4 3 1 1 6 1 0 E 17 本小题主要考查直线 椭圆等基础知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查函数 与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 满分 13 分 解法一 I 依题意 可设椭圆 C 的方程为1 2 2 2 2 b y a x a b 0 且可知左焦点为 0 2 F 从而有 解得 2 c2 c 853 2 FAAFa 4 a 又 所以 故椭圆 C 的方程为 222 cba 12 2 b1 1216 22 yx 6 II 假设存在符合题意的直线 其方程为ltxy 2 3 由 txy 2 3 得 01233 22 ttxx 1 1216 22 yx 因为直线l与椭圆 C 有公共点 所以 012343 22 tt 解得3434 t 另一方面 由直线 OA 与l的距离4 d可得4 1 4 9 t 从而132 t 由于 34 34132 所以符合题意的直线 不存在 l 解法二 I 依题意 可设椭圆 C 的方程为1 2 2 2 2 b y a x a b 0 且有 1 94 22 ba 解得或 舍去 从而 12 2 b3 2 b16 2 a 4 22 ba II 同解法一 18 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 以及几何体的体积 几何概型等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查数形结 合思想 化归与转化思想 必然与或然思想 满分 13 分 解法一 I 平面 平面 AA1QABC BCABCBCAA 1 ABQ是圆 O 的直径 ACBC 又 AAAAC 1 I BC平面 11ACC A 而平面 BC 11BCC B 所以平面平面 11ACC A 11BCC B II i 设圆柱的底面半径为 r 则rAAAB2 1 故三棱柱的体积 111 CBAABC 7 rACV BCAC2rBC 2 1 1 又 2222 4rABBCAC Q 2 22 2 2 r BCAC BCAC 当且仅当rBCAC2 时等号成立 从而 3 1 2rV 而圆柱的体积 32 22rrrV 故 1 2 2 3 3 2 1 r r V V p 当且仅当 rBCAC2 即时等号成立 ABOC 所以 的最大值等于p 1 ii 由 i 可知 取最大值时 pABOC 于是 以O为坐标原点 建立空间直角坐标系xyzO 如图 则 0 0 rC 0 0 rB 2 0 1 rrB BCQ平面 11ACC A 0 BCrr uuu r 是平面的一个法向量 11ACC A 设平面的法向量 OCB1 zyxn 由得 1 nOC nBO uuur uuuu r 0 20 rx ryrz 故 0 2 x yz 取 得平面的一个法向量为1 zOCB1 1 2 0 n oo Q900 21 cos cos 5 52 n BCr n BC nBCr 0 uuu r uuu r uuuu r 解法二 I 同解法一 II i 设圆柱的底面半径为 则rrAAAB2 1 8 故三棱柱的体积 111 CBAABCrACV BCAC2rBC 2 1 1 设 900 oo BAC 则 cos2cosrABAC sin2sinrABBC 由于 当且仅当 222 22sin2cossin4rrrBCAC 12sin 即 时等号成立 故 o 45 3 1 2rV 而圆柱的体积 32 22rrrV 故 1 2 2 3 3 2 1 r r V V p 当且仅当12sin 即时等号成立 o 45 所以 的最大值等于p 1 ii 同解法一 解法三 I 同解法一 II i 设圆柱的底面半径r 则rAAAB2 1 故圆柱的体积 32 22rrrV 因为 V V p 1 所以当取得最大值时 1 Vp取得最大值 又因为点 C 在圆周上运动 所以当ABOC 时 ABC 的面积最大 进而 三棱柱 的体积最大 且其最大值为 111 CBAABC 3 222 2 1 rrrr 故的最大值等于p 1 ii 同解法一 19 本小题主要考查解三角形 二次函数等基础知识 绿茶推理论证能力 抽象概括能力 运算求解能力 英语意识 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 分 类与整合思想 满分 13 分 解法一 I 设相遇时小艇航行的距离为 S 海里 则 3090cos 20302400900 2oo ttS 400600900 2 tt 300 3 1 900 2 t 9 故当 3 1 t时 310 min S 此时330 3 1 310 v 即 小艇以330海里 小时的速度航行 相遇时小艇的航行距离最小 II 设小艇与轮船在 B 出相遇 则 3090cos 30202900400 222oo tttv 故 2 2 400600 900 tt v 300 AC 有 而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 小时 ACOCOP 故小艇与轮船不可能在 A C 之间 包含 C 的任意位置相遇 设 则在 900 oo CODCODRt 中 tan310 CD cos 310 OD 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为 30 tan31010 t和 cos 310 v t 所以 cos 310 30 tan31010 v 由此可得 30sin 315 o v 又 故30 v 2 3 30sin o 从而 oo 9030 由于时 o 30 tan取得最小值 且最小值为 3 3 于是 当时 o 30 30 tan31010 t取得最小值 且最小值为 3 2 解法三 I 同解法一或解法二 II 设小艇与轮船在 B 处相遇 依据题意得 3090cos 30202900400 222oo tttv 0400600 900 22 ttv 1 若 则由 300 v 900 1600360000 2 v 11 0 675 1600 2 v 得315 v 从而 900 67520300 2 2 v v t 30 315 v 当 900 67520300 2 2 v v t时 令675 2 vx 则 15 0 x 3 4 15 20 225 20300 2 xx x t 当且仅当即0 x 315 v时等号成立 当 900 67520300 2 2 v v t时 同理可得 3 4 3 2 t 2 若 则30 v 3 2 t 综合 1 2 可知 当30 v时 t 取最小值 且最小值等于 3 2 此时 在中 OAB 20 ABOBOA 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 o 30 20 本小题主要考查函数 导数 定积分等基础知识 考查抽象概括能力 推理论证能 力 运算求解能