2021高考数学一轮复习 第12章 选修4-4 第1节 坐标系教学案 文 北师大版.doc

第12章 选修4-4全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中考查1道解答题，分值10分.2.考查内容高考对本章内容的考查主要有以下两个方面(1)极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化；(2)极坐标、参数方程的应用.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化问题；极坐标的定义及应用问题；参数方程的定义及应用问题.(2)重视数形结合、转化与化归思想的应用.第一节坐标系最新考纲1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程(对应学生用书第204页)1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点p(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点p(x，y)对应到点p(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点o，叫做极点；从极点o引一条射线ox，叫做极轴；选定一个单位长度、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标极径：设m是平面内一点，极点o与点m的距离|om|叫做点m的极径，记为.极角：以极轴ox为始边，射线om为终边的角xom叫做点m的极角，记为.极坐标：有序数对(，)叫做点m的极坐标，记为m(，)一般不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设m是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：4常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(r) 或(r)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin_a(0)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)若点p的直角坐标为(1，)，则点p的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1若点p的直角坐标为(3，)，则点p的极坐标为()a.b.c.d.c因为点p(3，)在第二象限，与原点的距离为2，且op与x轴所成的角为，所以点p的极坐标为.2若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()a，0b，0ccos sin ，0dcos sin ，0ay1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.3在极坐标系中，a，b两点间的距离为_6法一：(数形结合)在极坐标系中，a，b两点如图所示，|ab|oa|ob|6.法二：a，b的直角坐标系为a(1，)，b(2,2)，|ab|6.4在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线c的极坐标方程为2sin ，则曲线c的直角坐标方程为_x2y22y0由2sin ，得22sin ，即x2y22y.(对应学生用书第205页)考点1平面直角坐标系下图形的伸缩变换伸缩变换后方程的求法平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程1.求双曲线c：x21经过：变换后所得曲线c的焦点坐标解由伸缩变换得到代入x21得1，化简得1.即曲线c的方程为1，则曲线c是双曲线，其焦点坐标为(5,0)和(5,0)2若函数yf(x)的图像在伸缩变换：的作用下得到曲线的方程为y3sin，求函数yf(x)的最小正周期解由题意，把变换公式代入曲线y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以函数f(x)的最小正周期为.3将圆x2y21变换为椭圆1的一个伸缩变换公式：(，0)，求，的值解将变换后的椭圆1改写为1，把伸缩变换公式：(，0)代入上式得：1，即x2y21，与x2y21比较系数得所以应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的点的坐标(x，y)考点2极坐标与直角坐标的互化1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式xcos 及ysin 直接代入直角坐标方程并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos ，sin ，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧2极角的确定由tan 确定角时，应根据点p所在象限取最小正角(1)当x0时，角才能由tan 按上述方法确定(2)当x0时，tan 没有意义，这时可分三种情况处理：当x0，y0时，可取任何值；当x0，y0时，可取；当x0，y0时，可取.一题多解(2019江苏高考)在极坐标系中，已知两点a，b，直线l的方程为sin3.(1)求a，b两点间的距离；(2)求点b到直线l的距离解(1)法一：(使用余弦定理)设极点为o，在aob中，a，b，由余弦定理得|ab|.法二：(化为直角坐标)点a的直角坐标为，点b的直角坐标为(0，)，则|ab|.(2)由sin3得sin cos 3，所以直线l的直角坐标方程为xy30，又点b的直角坐标为(0，)，则点b到直线l的距离d2.把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的知识解决问题，这是常用的方法教师备选例题在极坐标系中，直线l的方程为sin2，曲线c的方程为4cos ，求直线l被曲线c截得的弦长解因为曲线c的极坐标方程为4cos ，化成直角坐标方程为(x2)2y24，所以曲线c是圆心为(2,0)，直径为4的圆因为直线l的极坐标方程为sin2，化成直角坐标方程为y(x4)，则直线l过a(4,0)，倾斜角为，所以a为直线l与圆c的一个交点设另一个交点为b，则oab，如图，连接ob，因为oa为直径，从而oba，所以ab4cos2.所以直线l被曲线c截得的弦长为2.1.在极坐标系下，已知圆o：cos sin 和直线l：sin(0,02)(1)求圆o和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆o的公共点的极坐标解(1)圆o：cos sin ，即2cos sin ，故圆o的直角坐标方程为x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为xy10.(2)将两直角坐标方程联立得解得即圆o与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为即为所求2已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)求圆o1和圆o2的直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解(1)由2知24，所以圆o1的直角坐标方程为x2y24.因为22cos2，所以222，所以圆o2的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.考点3求曲线的极坐标方程求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点m(，)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|om|与的关系(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程(2019全国卷)如图，在极坐标系ox中，a(2,0)，b，c，d(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线m1是弧，曲线m2是弧，曲线m3是弧.(1)分别写出m1，m2，m3的极坐标方程；(2)曲线m由m1，m2，m3构成，若点p在m上，且|op|，求p的极坐标解(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以m1的极坐标方程为2cos ，m2的极坐标方程为2sin ，m3的极坐标方程为2cos .(2)设p(，)，由题设及(1)知若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，p的极坐标为或或或.本题易错点有二：一是第(1)问没有对圆的极坐标方程进行范围限制；二是写点p的极坐标时，当时，只得到一个结果在极坐标系中，圆c是以点c为圆心，2为半径的圆(1)求圆c的极坐标方程；(2)求圆c被直线l：(r)所截得的弦长解(1)圆c是将圆4cos 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆c的极坐标方程是4cos.(2)将代入圆c的极坐标方程4cos得2，所以圆c被直线l所截得的弦长为2.考点4曲线极坐标方程的应用利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小(2017全国卷)在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的极坐标方程为cos 4.(1)m为曲线c1上的动点，点p在线段om上，且满足|om|op|16，求点p的轨迹c2的直角坐标方程；(2)设点a的极坐标为，点b在曲线c2上，求oab面积的最大值解(1)设点p的极坐标为(，)(0)，点m的极坐标为(1，)(10)由题设知|op|，|om|1.由|om|op|16得c2的极坐标方程为4cos (0)因此c2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点b的极坐标为(b，)(b0)由题设知|oa|2，b4cos ，于是oab的面积s|oa|bsinaob4cos 22.当时，s取得最大值2.所以oab面积的最大值为2.在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性教师备选例题已知曲线c的极坐标方程为2，以极点为平面直角坐标系的原点o，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系(1)求曲线c的直角坐标方程；(2)a，b为曲线c上两点，若oaob，求的值解(1)由2得2cos292sin29，将xcos ，ysin 代入得到曲线c的直角坐标方程是y21.(2)因为2，所以sin2，由oaob，设a(1，)，则点b的坐标可设为，所以sin2cos21.在直角坐标系xoy中，直线c1：