数学试卷 南京市2009—2010学年度第一学期期末测试样题.doc

南京市20092010学年度第一学期期末样题高二数学（理科）参考公式：样本数据，的标准差：，其中为样本平均数一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）1命题“xR，xx10”的否定是 YNA1，S0SS+AAA+1Print S开始结束A92.已知f(x)xsinx，则f（） .3. 将一根木条随意折成2段，则较长的一段与较短的一段的长度之比大于2的概率为 .4.焦点在x轴上，焦距为2，长轴长为4的椭圆的标准方程是 5. 如图，所示程序框图运行后输出的结果为 .频率/组距0.00040.00050.00030.00020.0001月收入(元)35003000250020001500100040006. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人， 并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2500，3000）（元）/月收入段应抽出 人7双曲线x1上的一点P到其左准线的距离为，则P到右焦点F的距离为 .8. 将一颗骰子先后抛掷两次，朝上的面的点数分别为x，y，则在平面直角坐标系Oxy内，点 (x，y)在直线xy5的下方的概率为 .9. A为椭圆C：1(ab0)的长轴一个端点，P为椭圆C上的一点，O为坐标原点，若P AO为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .10. 一盒子中有5只球，其中有2只红球，则从中任取2只球，至少有一只为红球的概率为 .11. 点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），若动点P到点A的距离是P到点B的距离的，则动点P的轨迹方程为 12已知f(x)lg，且f(a)=2，则实数a 13.已知命题p：xx0，命题q：2xa x 0，若p是q的充分条件不必要条件，则实数a的取值范围 .14.如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，其容积为80cm.水以20cm/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，水杯中水升高的瞬时变化率 cm/s二、解答题（本题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本题满分14分）某急诊中心关于其病人等待急诊的时间部分记录如下等待时间(分钟)频数频率 0,5)50.25,10)100.4 10,15)6x 15,20)3y 20,25)10.04合计z1求：（1）x，y，z； （2）计算病人平均等待时间的估计值；（3）病人等待时间的方差16. （本题满分14分）设命题p：xmx10有两个不相等的实数根，命题q： 4x4(m2)x10 没有实数根若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围17. （本题满分15分）顶点在坐标原点的抛物线C以双曲线1的左准线l为准线，F为抛物线C的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，AFBF. （1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB的倾斜角为，求AF的长度18（本题满分15分）已知曲线C：yxax8在x2处的切线的方程为y15x+b （1）求实数a，b的值；（2）若曲线C的切线l经过点P(，4)，求直线l的方程19（本小题满分16分）如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，P是AC与BD的交点，M是CC的中点CABDA1B1C1MPD1（1）求证：AP平面MBD；（2）求直线BM与平面MBD所成角的余弦值；（3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值20（本小题满分16分）ABNHQPyxOF1F2已知P为椭圆C：1（0b2）上异于长轴端点A、B的任意一点，PHx轴，H为垂足，延长HP到Q，使，此时Q恰好在以AB为直径的圆上 （1）求椭圆C的方程； （2）若F1、F2为椭圆C的左、右焦点，N(0，3)在椭圆C上是否存在一点M，使MNMF1最小，若存在，求出最小值及此时M点的坐标；若不存在，说明理由参考答案一、填空题1$xR，xx+10； 2. 1； 3.； 4.1； 5. 45；625； 77或3； 8. ； 9. ； 10； 11x2y24； 12.(其他等价结果皆可)； 13. a2； 14. 二、解答题15. 解：1）z=25， x+y=0.36，由频数知：x=2y，所以x0.24，y=0.12（2）由于每组中的病人等待时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示所以=(2.55+7.510+12.56+17.53+22.51)=9.5(分钟)答：估计病人平均等待时间为9.5(分钟)（3）s(2.59.5)0.2(7.59.5)0.4(12.59.5)0.24(17.59.5)0.12(22.59.5)0.04=28答：病人等待时间的方差约为2816.解：xmx10有两个不相等的实数根m240m2或m2 所以命题p: m2或m24x4(m2)x10 没有实数根16(m2)21601m3所以命题q: 1m3因为命题“p或q”为真，“p且q”为假 “p真q假，或p假q真”，所以m2或 m3或1m217. 解：（1）因为双曲线1的左准线的左准线为x3，所以抛物线C的方程为y12x （2）由（1）可知，抛物线C的焦点为F(3，0)方法1：因为A在x轴的上方，故设A(x，2)则2(x3)，即x230，解得3所以x9，所以AF9312 方法2：设AFm作AMl，M为垂足，作FHAM，H为垂足则AH6由抛物线的定义可知，AMAF在RtFHA中，因为AFm，HAF，AHm6，m2(m6)，解得AFm1218.解：（1）设f(x)xax8，则f(x)3xa由条件可知，f(2)15，即12a15，解得a3因为f(x)x3x8，所以f(2)6将(2，6)代入y15xb，解得b24 （2）设直线l与曲线C切于点Q(m，n).由（1）可知，f(x)x3x8，f(x)3x3所以直线l的斜率kf(m)3m3直线l的方程为yn(3m3)(xm)因为直线l经过点P(，4)，所以4n(3m3)(m)，即n3m4m3m8 因为Q(m，n)在曲线C上，所以nf(m)m3m8 由、解得或. 当Q(0，8)时，直线l的方程为y3x8当Q(2，6)时，直线l的方程为y15x24 综上，所求直线l的方程为y3x8或y15x2419解：如图，以D为坐标原点，向量，为单位正交基向量，建立空间直角坐标系Dxyz则P(，0)，M(0，1，)（1）=(，1)，(1，1，0)，(0，1，)，所以0，0 所以，又因为BDDMD，所以AP平面MBD；（2）由（1）可知，可取n=(1，1，2)为平面MBD的一个法向量又(1，1，)，所以cos 所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为所以直线AM与平面MBD所成角的余弦值为 （3）=(0，1，0)，=(1，0，)设n1(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，则 解得 即可取n1(1，0，2)由（1）可知，可取n=(1，1，2)为平面MBD的一个法向量所以cos 所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为20.解：（1）设P(x，y)，则Q(x，2y)由题意可知，点Q在圆O：x2y212上，所以x24y212