数学北师大版八年级下册1.4.2角平分线.docx

第一章 三角形的证明角平分线（二） 授课人：兰州树人中学 徐婧晖 课型：新授课教学目标：1.经历“探索发现猜想证明”的过程，进一步体会证明的必要性2.掌握三角形三个内角的平分线的性质，进一步发展学生的推理证明意识和能力3.综合运用角平分线的性质定理和判定定理解决几何中的问题教学重点与难点：重点：三角形三个内角的平分线的性质难点：.综合运用角平分线的判定和性质定理解决几何中的问题教法与学法指导：充分发挥学生的主体作用，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与结论让学生归纳，采用启发式和讨论式教学，探索、归纳总结.课前准备：多媒体课件 第一环节：设置情境问题，搭建探究平台问题l 习题19的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” 当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。【设计意图】通过一道现实问题自然引出对三角形内角平分线性质的探究，通过类比线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，使学生初步感受到了数学中的和谐，对数学对象之间的相互联系有了感性的体验，从而找出解决问题方法第二环节：展示思维过程，构建探究平台【出示幻灯片】PCBADEFNM例2 求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等。问题2：请同学们类比三角形三边垂直平分线交于一点的证法写出已知、求证来，并尝试完成【学生活动】试着完成，学生感觉还是有难度，课堂陷入讨论的氛围中【教师活动】巡视课堂，参与学生的小组讨论，与学生一起完成论证过程【出示幻灯片】PCBADEFNM已知：如图，在ABC中，的角平分线BM、CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F求证：BAC的角平分线经过点P,且PD = PE = PF证明：BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PDPE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)同理：PEPFPD = PE = PF点P在BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)即BAC的角平分线经过点P且PD = PE = PF.于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，这一点成为三角形的内心，三角形内心到三角形三边距离相等，这些我们将在九年级继续研究，这里只要求同学们理解记住这个结论第三环节例题讲解，应用提升【出示幻灯片】例3如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E(1)已知CD=4 cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD【学生活动】积极动脑思考，讨论解题方法【教师活动】巡视课堂，参与讨论，引导个别学生思考问题（留给学生足够的时间，给学生自己动脑的机会）分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长第(2)问中，求证AB=AC+CD这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE【学生活动】在自己练习本上写出解题过程【教师活动】指导个别学生的书写格式，了解学生对本道例题的掌握情况。利用黑板板演一名学生的解题过程，师生共析。例4 如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?【教师活动】要求学生思考、交流。学生第一次大多数找到有一处在三条公路的交点A、B、C组成的ABC三条角平分线的交点处因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等这一点刚好符合学习程度较高的学生提出找到四处除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，认为在三角形外部还有三点作ACB、ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等同理还有BAC、BCA的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3教师讲评P1、P2、P3为旁心，提出指导学生们了解“三角形的五心”。第四环节提高练习【出示幻灯片】随堂练习1如图，在ABC中，B、C的角平分线交于点0，ODAB于D，OEAC于E，则OD与OE的大小关系是（）AODOE BODOE COD=OE D不能确定通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的.如图，P是ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，ABC的周长为10，求ABC的面积【学生活动】积极动脑，合作竞学，运用今日所学找到解题思路。【分析】第一题学生能马上说出答案第二题有难度，应该留给学生充分思考的时间，可以提示：SABC=SAPC+SAPB+SBPC.1、三角形三条角平分线相交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等。可得：OD=OE，故选C2、设P点到AB、BC、AC的距离分别为a、b、c，根据三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等得a=b=c=1， ABC的周长为10，即AB+BC+AC=10 又SABC=SAPC+SAPB+SBPC=ABa+BCb+ACc=(AB+BC+AC)a=101=5 ABC的面积为5【设计意图】此处内容的证明与前面探讨三角形三边的垂直平分线的位置关系相似，因此在证明结论时，引导学生类比三角形三边垂直平分线的位置关系的证明思路和方法进行思考，设计两道练习题目的是加深学生对定理的理解与应用第五环节 课堂小结盘点收获本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题板书设计1.4.2角平分线例2 求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等。例3（1）解：（2）证明：教学反思：本节实际上还是研究角平分线性质定理及判定定理的应用，通过类比的方法证明三角形三条角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等学生并不是很生疏，还是比较容易理解的值得