利用放缩法证明数列型不等式.doc

利用放缩法证明数列型不等式处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列的前项的和，。设，证明：。证明：易得， =点评： 此题的关键是将裂项成，然后再求和，即可达到目标。（2）先放缩通项，然后将其裂成项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。例2 已知数列和满足，数列的前和为，； （I）求证：； （II）求证：当时，。证明：（I） （II）由（I）可知递增，从而，又，即当时，。点评：此题（II）充分利用（I）的结论，递增，将裂成的和，从而找到了解题的突破口。2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。例3 已知数列的首项为点在直线上。若证明对任意的 ，不等式恒成立证明： ，所以，即。点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，而通项式为的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。例4 已知数列满足，证明：。 证明：当时，结论成立。当时，易知 点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。例5已知数列的各项均为正数，且满足记，数列的前项和为，且（I）数列和的通项公式；（II）求证： 略解：（I） ，。证明：（II）反思：右边是，感觉是个的和，而中间刚好是项，所以利用；左边是不能用同样的方式来实现，想到，试着考虑将缩小成是等比数列），从而找到了此题的突破口。二、放缩法的注意问题以及解题策略1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：；（2）在分式中放大或缩小分子或分母：；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如；（3）应用基本不等式放缩：；（4）舍掉（或加进）一些项，如：。4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。再看例2，若构造函数，则前后不等号不一致，不能确定的单调性，此时放缩过当，此题不适宜用单调函数放缩法。若要证明，则，所以，从而递增，所以成立，此时用单调函数放缩法可行。同样的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同。5、放缩法的策略以及精度的控制例 已知数列的前项和为，且满足。（I）数列是否为等差数列？并证明你的结论； （II）求和；（III）求证：。简解：（1）（2）；（3）证法一：当时，成立；当，= 综上所述，。证法二：。点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将放大成，需从第二项起，要分类讨论；而方法二是将放大成。明显比大很多，比更接近。从中可以