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5 两个随机变量的函数的分布 主要内容 1 Z X Y的分布2 Z X Y的分布 Z XY的分布3 M max X Y 及N min X Y 的分布 5 两个随机变量的函数的分布 主要内容 1 Z X Y的分布2 Z X Y的分布 Z XY的分布3 M max X Y 及N min X Y 的分布 5 两个随机变量的函数的分布 主要内容 1 1 Z X Y的分布 例1设 X Y 是二维连续型随机变量 它具有的概率密度为f x y 求Z X Y的密度 解 Z X Y的分布函数是 FZ z P Z z P X Y z 这里积分区域D x y x y z 是直线x y z左下方的半平面 2 化成累次积分 得 固定z和y 对方括号内的积分作变量代换 令x u y 得 交换积分次序 3 由概率密度与分布函数的关系 即得Z X Y的概率密度为 由X和Y的对称性 fZ z 又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式 4 特别 当X和Y独立 设 X Y 关于X Y的边缘密度分别为fX x fY y 则上述两式化为 5 例2设X Y是相互独立的服从标准正态分布N 0 1 的随机变量 求Z X Y的概率密度 6 即Z服从N 0 2 分布 可得 7 一般来说 若 i 1 2 n 且他们相互独立 则他们的和Z X1 X2 Xn仍然服从正态分布 且有 这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之和的情况 8 这个事实可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 9 2 的分布 Z 的分布 10 同理可得 故有 11 由此可得分布密度为 同理可得 的分布函数 5 7 5 8 12 特别 当X和Y独立 设 X Y 关于X Y的边缘密度分别为fX x fY y 则上述两式分别化为 5 9 5 10 13 例3 14 得所求密度函数 得 15 3 M max X Y 及N min X Y 的分布 设X和Y是相独立的随机变量且它们的分布函数分别记为FX x 和FY y 上述结果容易推广到n个随机变量的情形 16 设X1 X2 Xn是n个相互独立的随机变量 它们的分布函数分别为 17 特别当X1 X2 Xn是相互独立且具有相同分布函数时 设它们的分布函数为F x 则 18 例4设某电路系统L由两个独立的子系统L1 L2组合而成 其联接的方式分别为 1 串联 2 并联 3 备用 当L1损坏时 L2开始工作 如图 1 2 3 已知L1和L2的寿命分别为X和Y 其概率密度分别为 19 1 串联的情况 20 于是Z min X Y 的概率密度为 21 2 并联的情况 由于当且仅当L1 L2都损坏时 系统L才停止工作 所以这时L的寿命Z为Z max X Y 于是Z max X Y 的概率密度为 22 3 备用情况 由于这时当L
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