2019届天津市河西区下学期高三年级总复习质量调查（一） 数学（理）试题（解析版）

2019届天津市河西区下学期高三年级总复习质量调查（一） 数学（理）试题一、单选题1设集合S=x|x2，T=x|x2+3x40，则（RS）T=（ ）A（2，1B（，4C（，1D1，+）【答案】C【解析】集合S=x|x2，RS=x|x2由x2+3x40得：T=x|4x1，故（RS）T=x|x1故选C2若变量满足约束条件，ABCD【答案】C【解析】试题分析：作出表示的平面区域如图所示：由图可知，直线过点时，取最大值.【考点】线性规划.3某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意可知流程图的功能为计算：的值，据此裂项求和确定输出值即可.【详解】由题意可知，流程图的功能为计算：的值，故输出的值为.本题选择A选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证4设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先解含绝对值不等式以及分式不等式，再根据两解集包含关系判断充要关系.【详解】因为，所以，因为，所以或，因为，所以是的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件5设，则ABCD【答案】D【解析】先判断三个数取值范围，再根据范围确定大小.【详解】因为，所以，选D.【点睛】比较大小：一般根据函数的单调性，确定各数取值范围，再根据范围判断大小.6以下关于的命题，正确的是A函数在区间上单调递增B直线需是函数图象的一条对称轴C点是函数图象的一个对称中心D将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象【答案】D【解析】利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案.【详解】A选项，函数先增后减，错误B选项，不是函数对称轴，错误C选项，不是对称中心，错误D选项，图象向左平移需个单位得到，正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.7已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是ABCD【答案】A【解析】先根据抛物线定义求，再代人求，最后根据条件列方程，解得结果.【详解】因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，即，因为，所以，选A.【点睛】凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理即若为抛物线上一点，则由定义易得.8如图梯形，且，在线段上，则的最小值为ABCD【答案】B【解析】先建系解得坐标，再设坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，因此，因此，设所以当时，最小值为选B.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.二、填空题9是虚数单位，若复数满足，则_.【答案】 .【解析】分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出详解：（34i）z=5，（3+4i）（34i）z=5（3+4i），25z=5（3+4i），化为z= iz的虚部为故答案为.点睛：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10二项式的展开式中常数项为_【答案】【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第项为，令，则，【考点】二项式定理11如图，在长方体中，则四棱锥的体积为_cm3【答案】6【解析】如图，过作于，可证平面，利用体积公式计算即可.【详解】如图，过作于，长方体底面是正方形，中，又由，平面，【考点】棱锥体积的计算【点睛】本题考查四棱锥体积的计算，关键是高的计算，需利用线面垂直来求，本题属于基础题.12已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则的长度为_.【答案】【解析】先将极坐标化为直角坐标，再根据两点间距离公式得结果.【详解】因为圆的极坐标方程为，所以,因为点的极坐标为，所以，【点睛】极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.13已知，且，则的最小值为_.【答案】64【解析】根据基本不等式解得取值范围，再结合等号确定最值取法.【详解】，当且仅当时取等号，所以的最小值为【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意等号取得的条件，否则会出现错误.14已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为_.【答案】【解析】【详解】作函数图象，由图象得【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.三、解答题15在中，对应的边为.已知.（）求；（）若，求和的值.【答案】（）（）【解析】（）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（）根据余弦定理求，代入条件求得，解得，最后根据两角和余弦定理得结果.【详解】（）解：由条件，得，又由，得.由，得，故. （）解：在中，由余弦定理及，有，故.由得，因为，故.因此，.所以.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.虽然只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响.我国标准如下表所示.我市环保局从市区四个监测点2018年全年每天的监测数据中随机抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示.（）求这天数据的平均值；（）从这天的数据中任取天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望；（）以天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.【答案】（）25（）分布列见解析，（）一年中平均有天的空气质量达到一级.【解析】（）根据平均数公式求结果，（）先求随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果，（）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布期望公式得结果.【详解】（）解：随机抽取天的数据的平均数为： （）依据条件，的可能值为，当时，当时，当时，当时，所以其分布列为：数学期望为： （）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，一年中空气质量达到一级的天数为，则，（天）所以一年中平均有天的空气质量达到一级.【点睛】本小题主要考查茎叶图、平均数的概念、超几何分布、离散型随机变量的分布列与数学期望以及二项分布等基础知识.考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力.属中档题.17如图，已知四边形的直角梯形，,，为线段的中点，平面，为线段上一点（不与端点重合）.（）若，（i）求证：平面；（ii）求直线与平面所成的角的大小；（）否存在实数满足，使得平面与平面所成的锐角为，若存在，确定的值，若不存在，请说明理由.【答案】（）（i）见解析（ii）（）【解析】（）（i）先根据平行四边形性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（ii）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得平面的法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角关系得结果.（）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得两平面法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（）（i）证明：连接交于点，连接，依题意易证四边形为平行四边形.又，又平面，平面，平面. （ii）解：如图，在平行四边形中，以为原点建立空间直角坐标系则，设为平面的法向量则，得，不妨设又，即直线与平面所成的角的大小为. （）设设为平面的法向量，则得，不妨设，又平面的法向量为，.，. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18已知数列的前n项和，是等差数列，且.（）求数列的通项公式；（）令.求数列的前n项和.【答案】（）;（）【解析】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.试题解析：（1）由题意知当时，当时，所以设数列的公差为，由，即，可解得，所以（2）由（1）知，又，得，两式作差，得所以考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.19如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若求椭圆离心率的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程的关系式，求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）求出点的坐标，利用建立斜率之间的关系，解方程即可求出的值.试题解析：设椭圆的焦距为，则.（1），又,故,点在椭圆上，解得,故所求椭圆的方程为.（2）在直线上，直线的方程为,解方程组得点的坐标为,又垂直于轴，由椭圆的对称性，可得点的坐标为，直线的斜率为，直线的斜率为，且，,又，整理得,故，因此.【考点】椭圆的定义及标准方程；椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程、椭圆的简单的几何性质的求解，熟练掌握椭圆的标准方程的求解及直线垂直和斜率间的关系是解答问题的关键，试题运算量大，需要认真、细致运算，平时注意积累和总结，属于中档试题，本题的解答中，把直线的方程为，与椭圆的方程联立，求解点的坐标是试题的一个难点.20已知函数，.（）当时，求函数的单调区间；（）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；（）若恒成立，求的最大值.【答案】（）见解析；（）（）【解析】【详解】（） ，则.令得，所以在上单调递增.令得，所以在上单调递减.（）因为，所以，所以的方程为.依题意， ， .于是与抛物线切于点，由得.所以 - （）设,则恒成立.易得（1）当时，因为，所以此时在上单调递增.若，则当时满足条件，此时；若，取且此时，所以不恒成立不满足条件；（2）当时，令，得由，得；由，得所以在上单调递减，在上单调递增.要使得“恒成立”，必须有“当时， ”成立.所以.则令