原创用初等数学评析2011年福建高考理综试卷第22题.doc

2011年，福建省高考理综卷第22题情境较为新颖，原题如下： 中国论文网 22（20分）如图甲，在x0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xoy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B一质量为m，带电量为q（q0）的粒子从坐标原点O处，以初速度0沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力 （1）求该粒子运动到y=h时的速度大小； （2）现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期T= 求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离S； 当入射粒子的初速度大小为0时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅Ay，并写出y-t的函数表达式 试题公布后，中学物理教学界对该题的讨论很多，主要围绕三个问题：该题中的带电粒子垂直入射正交的电磁场后做何运动，能否用初等数学进行分析；初速度大小不同粒子的运动轨迹（y-x曲线）是否如原题中图乙所示，能否用初等数学进行分析；本题作为压轴题利弊如何针对以上三个问题，谈谈笔者的看法 一、粒子入射后做何运动 要知道粒子入射后做何运动，一般方法是对粒子进行受力分析，再求合力，列牛顿方程，其后解方程求出粒子的速度和位移，但这一方法对于本题是有困难的，原因是电场力、洛伦兹力与粒子速度相互牵制，使牛顿方程的求解变得复杂如果，我们能将电场力与洛伦兹力分割开，使两者互不干扰，这一问题就会变得柳暗花明，具体如下： a将粒子的入射初速度0看成由两个分速度10、20合成的，且10、20的方向均与0同在x轴上即：0=10+20 b选取10的方向沿x轴正方向，大小为：10= c粒子以10、20两个分速度入射复合场后，受10、20对应的洛伦兹力fB1、fB2及电场力FE的作用（如图1），我们将这五个决定粒子运动状态的因素10、20、fB1、fB2、FE分成两组 第一组：粒子的初速度10及其对应的洛伦兹力fB1和电场力FE当粒子仅在这三个因素影响下，因其此时所受合力F=fB1-FE =Bq10-qE=Bq-qE=0，粒子的加速度a=0，此时粒子以10=的速度沿x轴方向做匀速直线运动其运动速度及位移在坐标轴x、y上的投影为： x1=10 x1=?t y1=0 y1=0 第二组：粒子的初速度20及其对应洛伦兹力fB2，当粒子仅在这两个因素的影响下，其运动为匀速圆周运动，fB2提供向心力，匀速圆周运动线速度大小为20，即： Bq20=m 据上式可求得圆周运动的半径r及周期T为： r= T= 将这一圆周运动在x、y轴上投影（如图2）为： x2=20 cost x2=rsint y2=20 sint y2=r（1-cost） d根据运动的独立性原理：物体在许多因素共同作用下的运动，可以看成由各因素独立作用下的分运动的合运动据此，本题中粒子的真实运动可以看成由上述第一组的直线运动和第二组的匀速圆周运动这两个分运动叠加而成，叠加后合运动的速度及位移在x、y轴上投影为： x=x1+x2=+20costx=x1+x2=?t+rsinty=y1+y2=20sinty=y1+y2=r（1-cost） 将、代入得： 综上可见，像本题中的带电粒子垂直入射正交的电磁复合场后，粒子会绕沿入射方向匀速前进的圆心C做匀速旋转（如图3） 两式显示，粒子在x轴上的运动为匀速直线运动和简谐运动的叠加，类似于固定在沿x轴匀速行驶的小车上振动着的弹簧振子相对地面的运动（如图4）显示粒子在y轴上的运动为简谐运动，且周期T= 二、粒子的运动轨迹是否如原题中图乙所示 一般说，要了解粒子的运动轨迹，可求出其轨迹方程（y-x方程）但本题中，要由两式消去参数t是有困难的不过，通过对式的分析，仍然可以看出粒子的运动轨迹会随0的大小改变而改变，轨迹形状不完全如原题中图乙 1当0=时，由式得：y=0；由式得：x=t此时，粒子沿x轴做匀速直线运动，其轨迹为沿x轴的一条直线（此时第二分运动的圆周半径为零） 2当0时，从式可见，粒子在y轴上做来回往复的运动；由式可见，无论t为何值，均有x0，这说明，粒子一直保持向右移动，其轨迹形状应是一条从0点开始一直向右延伸，且在延伸中上下波动的曲线，具体图像如图6与原题中图乙第一象限中的图线相似 3当0时，从式可见粒子在y轴方向做简谐运动，由式可见，t在某些时段，可以使x=+（0-）cos（t） 0，而x0时，意味着粒子会往左回拐，粒子在运动中时而向右，时而向左，上下方向又做波动，其轨迹形状应为螺旋状，不可能如原题中图乙所示 不仅如此，从式可见，当0足够大时，t在某些时段，可使：x=t+（0-）sin（t）0，而x0意味着粒子飞离y轴右边的电、磁场区域，粒子的轨迹不可能如原题图乙所示，也不可能具有空间周期性我们还可这样考虑，当0足够大时，粒子所受的洛伦兹力也足够大，使得Bq0Eq，以至电场力可以忽略不计，这时，粒子所做的运动接近只受洛伦兹力作用下的圆周运动，粒子也就会在t略超于T/2时飞出y轴右边的电、磁场区域 到底0何值时，可使x0呢？为研究这一问题，我们先依式，粗略画出x随t的变化图线如图5 从图5可见，x随t显周期性变化，其周期与第二分运动的周期T相同当t（，）时，x有最小值xmin，为方便，记x=xmin时t的值为t0，有t0=（+）T（其中0） 当x=xmin时，x0，由式得： cos（t0）=- 为方便，记0=（1+）E/B 将式代入式得：cos（t0）=- 将代入得：cos（2）= 当xmin=0时，粒子刚好可以拐回y轴，由得： t0+（0-）sin（t0）=0 将代入上式得： （+）+sin