【解析版】2013年广东省广州市高考数学二模试卷(理科).doc

2013年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2013广州二模）对于任意向量、，下列命题中正确的是（）A|=|B|+|=|+丨丨C（）= （）D=|2考点：平面向量数量积的运算；向量加减混合运算及其几何意义专题：平面向量及应用分析：根据向量数量积运算公式可判断A、D的正确性；根据向量加法的运算法则判断B是否正确；根据向量的数乘运算是向量，来判断C是否正确解答：解：=|cos，|，A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|+|+|，只有当，同向时取“=”，B错误；（）是向量，其方向与向量相同，（）与向量的方向相同，C错误；=|cos0=，D正确故选D点评：本题考查向量的数量积运算公式及向量运算的几何意义2（5分）（2013广州二模）直线y=kx+1与圆x2+y22y=0的位置关系是（）A相交B相切C相离D取决于k的值考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线y=kx+1的距离，再和半径作比较，可得直线与圆的位置关系解答：解：圆x2+y22y=0 即 x2+（y1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆圆心到直线y=kx+1的距离为=0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，故选A点评：本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题3（5分）（2013广州二模）若1i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、qR）的一个解，则p+q=（）A3B1C1D3考点：复数相等的充要条件专题：计算题分析：利用实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系即可得出解答：解：1i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、qR）的一个解，1+i是此方程的另一个解根据根与系数的关系可得，解得，p+q=1+2=1故选C点评：熟练掌握实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系是解题的关键4（5分）（2013广州二模）已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f（x）的图象可能是（）ABCD考点：函数的单调性与导数的关系专题：导数的概念及应用分析：根据原函数图象的单调性及极值点的情况，得到导函数的零点个数及导函数的正负取值，由此即可得到导函数的图象的大致形状解答：解：由函数f（x）的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴右侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状故选A点评：本题考查了函数的单调性与导函数的关系，考查原函数的极值点与导函数零点的关系，需要注意的是，极值点处的导数等于0，导数为0的点不一定是极值点，是基础题5（5分）（2013广州二模）若函数的一个对称中心是，则 的最小值为（）A1B2C4D8考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：三角函数的图像与性质分析：由题意可得cos（+）=0，故有+=k+，kz，再由为正整数可得 的最小值解答：解：函数的一个对称中心是，cos（+）=0，+=k+，kz，即=6k+2，kz再由为正整数可得的最小值为2，故选B点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，属于中档题6（5分）（2013广州二模）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示若一个平 行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为ABCD4考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：几何体中，体积比是相似比的立方，面积比是相似比的平方，直接求解即可解答：解：设小锥体的底面半径为r，大锥体的底面半径为3，利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，=，所以r=，截面的面积为=故选C点评：本题是基础题，考查几何体的体积比与相似比的关系，常用此法简化解题过程，同学注意掌握应用7（5分）（2013广州二模）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万 元年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年 限（即使用多少年的年平均费用最少）是（）A8 年B1O 年C12 年D15 年考点：数列的应用专题：应用题；等差数列与等比数列分析：设这辆汽车报废的最佳年限n年，第n年的费用为an，依题意，可求得前n年的总费用Sn及年平均费用，利用基本不等式即可求得这辆汽车报废的最佳年限解答：解：设这辆汽车报废的最佳年限n年，第n年的费用为an，则an=1.5+0.3n，前n年的总费用为：Sn=15+1.5n+=0.15n2+1.65n+15年平均费用：=0.15n+1.652+1.65=2+1.65=4.65当且仅当0.15n=即n=10时，年平均费取得最小值所以则这辆汽车报废的最佳年限10年故选B点评：本题考查数列的应用，求得前n年的总费用Sn及年平均费用是关键，考查分析运算能力，属于中档题8（5分）（2013广州二模）记实数x1，x2，xn中的最大数为maxx1，x2，xn，最小数为minx1，x2，xn则maxminx+1，x2x+1，x+6=（）AB1C3D考点：函数的最值及其几何意义专题：计算题；新定义分析：在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x2x+1与y=x+6的图象，依题意，即可求得maxminx+1，x2x+1，x+6解答：解：在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x2x+1与y=x+6的图象如图：由图可知，minx+1，x2x+1，x+6为射线AM，抛物线，线段BC，与射线CT的组合体，显然，在C点时，y=minx+1，x2x+1，x+6取得最大值解方程组得，C（，），maxminx+1，x2x+1，x+6=故答案为故选D点评：本题考查函数的最值及其几何意义，在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x2x+1与y=x+6的图象是关键，也是难点，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.9（5分）（2013广州二模）某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为 2：3：4现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n=54考点：分层抽样方法专题：计算题分析：由题意可得 n=12，解方程求得 n的值，即为所求解答：解：由n=12，求得 n=54，故答案为 54点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题10（5分）（2013广州二模）已知为锐角，且，则sin=考点：两角和与差的余弦函数专题：三角函数的求值分析：由为锐角求出+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值解答：解：为锐角，+（，），cos（+）=，sin（+）=，则sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=故答案为：点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键11（5分）（2013广州二模）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成216个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：可对有0与无0分类讨论，再利用分步乘法计数原理即可求得答案解答：解：用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数，当有0时，若0排在个位，可从1，2，3，4，5这5个数字中选4个排在其他四个位置，有=120种方法，若0不排在个位，它又不能排在万位，故有三个位置可排，有种方法，个位必排5，再从1，2，3，4中选三个在在其他三个位置自由排列，有种方法，所以共有=72种方法；若没有0，则5必排在个位，1，2，3，4，在其他四个位置自由排列，有=24种方法；综合得，共有120+72+24=216种方法；故答案为：216点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，对有0与无0分类讨论是关键，也可以按末位是0还是5分类，突出分类讨论思想的考查，属于中档题12（5分）（2013广州二模）已知函数f（x）=x22x，点集 M=（x，y）|f（x）+f（y）2，N=（x，y）|f（x）f（y）0，则MN所构成平面区域的面积为2考点：二元一次不等式（组）与平面区域专题：计算题分析：先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问题解答：解：因为f（x）=x22x，f（y）=y22y，则f（x）+f（y）=x2+y22x2y，f（x）f（y）=x2y22x+2y，M=（x，y）|（x1）2+（y1）24，N=（x，y）|y1|x1|故集合MN所表示的平面区域为两个扇形，其面积为圆面积的一半，即为=2故答案为：2点评：求限制条件（一般用不等式组来表示）所表示平面区域的面积，一般分为如下步骤：化简不等式分析不等式表示的平面区域画出草图分析可行域结合平面几何知识求出面积13（5分）（2013广州二模）数列an的项是由l或2构成，且首项为1，在第k个l和第k+1个l之间有2k1 个2，即数列an 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列 an的前n项和为Sn，则S20=36； S2013=3981考点：数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由f（k）=2k1，可确定数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，分组：第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为bk，则bk=2k，确定所要求解的和中2与1的项数即可求解解答：解：设f（k）=2k1，则数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1前20 项中共有16个24个1s20=14+216=36记第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为bk，则bk=2kb1+b2+bn=2+4+2n=n（n+1）2013，而4645=20802011，4746=21622013故n=45即前2011项中有45个1以及1968个2，所以S2013=45+19682=3981故答案为：36，3981点评：本题主要考查了数列的求和公式的应用，解题的关键是结合已知确定数列的项的特点14（5分）（2013广州二模）（几何证明选讲选做题）在BC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=BD，延长AE交 BC于点F，则的值为考点：平行线分线段成比例定理专题：计算题分析：利用平行线分线段成比例定理即可得出，再利用已知条件即可得出解答：解：如图所示，过点B作BMAC交BF的延长线于点M则=，=故答案为点评：正确作出辅助线和熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键15（2013广州二模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线sin2=4cos上任意一点，设点P到直线cos+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点A的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得丨PA丨+d=|PF|+|PA|AF|，当A，P，F三点共线时，其和最小，再求出|AF|的值即可解答：解：点A（1，）的直角坐标为A（0，1），曲线曲线sin2=4cos的普通方程为y2=4x，是抛物线直线cos+1=0的直角坐标方程为x+1=0，是准线由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点A（0，1）的距离，所以当A，P，F三点共线时，其和最小，最小为|AF|=，故答案为：点评：本小题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化、抛物线的简单性质，解题的关键是抛物线的定义解题三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）（2013广州二模）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到 三个工作点的距离相等已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m，BC=70m，CA=50m假定A、B、C、O四点在同一平面内（1）求BAC的大小；（2）求点O到直线BC的距离考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形分析：（1）ABC中，由余弦定理求得cosA 的值，即可求得 A 的值（2）过点O作ODBC，D为垂足，则OD即为所求由O为ABC的外心，可得BOC=120，故BOD=60，且D为BC的中点，BD=35在 RtBOD中，根据tanBOD=tan60=，求得OD的值解答：解：（1）ABC中，由于AB=80m，BC=70m，CA=50m，由余弦定理可得cosA=，故有 A=60，即BAC=60（2）过点O作ODBC，D为垂足，则O到直线BC的距离即为OD由于点O到、AB、C三点的距离相等，故O为ABC的外心由BAC=60可得BOC=120，故BOD=60，且D为BC的中点，BD=35RtBOD中，tanBOD=tan60=，解得 OD=即O到直线BC的距离点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题17（12分）（2013广州二模）已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点（1）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|的概率；（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的 距离为，求随机变量的分布列与数学期望E考点：离散型随机变量及其分布列；几何概型；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（1）根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足|PH|的正方形内部的点P的集合”的面积即可得出；（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到线段这些线段的长度的所有可能取值分别为，找出相应长度的线段条数，利用古典概型的概率计算公式即可得出解答：解：（1）如图所示，正方形的面积S正方形ABCD=22=4设“满足|PH|的正方形内部的点P的集合”为事件M，则S（M）=SDGH+SAEH+S扇形EGH=P（M）=故满足|PH|的概率为（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到线段其中长度等于1的有8条：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；长度等于的由4条：EF、FG、GH、HE；长度等于2的有6条：AB、BC、CD、DA、EG、FH；长度等于的有8条，AF、AG、BG、BH、CE、CH、DE、DF；长度等于的由2条AC、BD的所有可能的取值为1，2，则P（=1）=，P（=）=，P（=2）=，P（=）=，P（=）=随机变量的分布列为E=点评：本题考查了利用古典概型的概率计算公式求几何概率及其分布列和数学期望，正确求出试验的全部结果所构成的区域的面积和长度以及要求的事件的区域的面积和长度是解题的关键18（14分）（2013广州二模）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为600？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题：计算题；空间角；空间向量及应用分析：（1）等边ABC中，根据得到AD=1且AE=2，由余弦定理算出DE=，从而得到AD2+DE2=AE2，所以ADDE结合题意得平面A1DE平面BCDE，利用面面垂直的性质定理，可证出A1D丄平面BCED；（2）作PHBD于点H，连接A1H、A1P，由A1D丄平面BCED得A1D丄PH，所以PH平面A1BD，可得PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即PA1H=60设PB=x（0x3），分别在RtBA1H、RtPA1H和RtDA1H中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得12+（2x）2=（x）2，解之得x=，从而得到在BC上存在点P且当PB=时，直线PA1与平面A1BD所成的角为60解答：解：（1）正ABC的边长为3，且=AD=1，AE=2，ADE中，DAE=60，由余弦定理，得DE=AD2+DE2=4=AE2，ADDE折叠后，仍有A1DDE二面角A1DEB成直二面角，平面A1DE平面BCDE又平面A1DE平面BCDE=DE，A1D平面A1DE，A1DDEA1D丄平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60如图，作PHBD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D丄平面BCED，而PH平面BCED所以A1D丄PHA1D、BD是平面A1BD内的相交直线，PH平面A1BD由此可得PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即PA1H=60设PB=x（0x3），则BH=PBcos60=，PH=PBsin60=x在RtPA1H中，PA1H=60，所以A1H=，在RtDA1H中，A1D=1，DH=2x由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2x）2=（x）2解之得x=，满足0x3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，此时PB=点评：本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题19（14分）（2013广州二模）巳知a0，设命题p：函数f（x）=x22ax+12a在区间0，1上与x轴有两个不同 的交点；命题q：g（x）=|xa|ax在区间（0，+）上有最小值若（p）q是真命题，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假；函数的值域；函数的零点专题：函数的性质及应用分析：由抛物线的特点可知p成立需，解之可得a的范围，同理g（x）=，要满足题意需0a1，再由（p）q是真命题，可得p是假命题且q是真命题，进而可得，化简可得答案解答：解：函数f（x）=x22ax+12a在区间0，1上与x轴有两个不同的交点，必须，即，解得所以当时，函数f（x）=x22ax+12a在区间0，1上与x轴有两个不同的交点；由题意可得g（x）=|xa|ax=，因为a0，所以（1+a）0，所以函数y1=（1+a）x+a是单调递减的，要g（x）使在区间（0，+）上有最小值，必须使y2=（1a）xa在a，+）上单调递增或为常数，即1a0，解得a1，所以当0a1时，函数g（x）使在区间（0，+）上有最小值若（p）q是真命题，则p是假命题且q是真命题，所以，解得，或，故实数a的取值范围为：（0，（，1点评：本题考查复合命题的真假，涉及函数的值域和函数的零点，属基础题20（14分）（2013广州二模）经过点F （0，1）且与直线y=1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C（1）求轨迹M的方程；（2）证明：BAD=CAD；（3）若点D到直线AB的距离等于，且ABC的面积为20，求直线BC的方程考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设出动圆的圆心坐标，利用动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=1相切，列出方程化简即可得到所求轨迹方程（2）由（1）得y=x2，设D（x0，），由导数的几何意义，得直线l的斜率，又A（x0，），设C（x1，），B（x2，）利用斜率公式得到x1+x2=2x0从而有kAB=kBC，即可证得BAD=CAD（3）根据条件：点D到直线AB的距离等于，可知BAD=45，将直线AB的方程与x2=4y联立方程组，解得B点的坐标，求出|AB|，|AC|，最后根据ABC的面积列出方程，解得x0=3，从而得出直线BC的方程解答：解：（1）设圆心坐标为（x，y），由题意动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=1相切，所以 =|y+1|，即（y1）2+x2=（y+1）2，即x2=4y故轨迹M的方程为x2=4y（2）由（1）得y=x2，y=x，设D（x0，），由导数的几何意义 得直线l的斜率为kBC=，则A（x0，），设C（x1，），B（x2，）则kBC=x0，x1+x2=2x0kAC=，kAB=，kBC+AB=+=0，kAB=kBCBAD=CAD（3）点D到直线AB的距离等于，可