高考数学导数题库.pdf

1第 1 页 共 50 页 一 选择题一 选择题 1 1 20201010 年广东卷年广东卷 文文 函数的单调递增区间是 x exxf 3 A B 0 3 C 1 4 D 2 2 答案D 解析 令 解得 故选 D 3 3 2 xxx fxxexexe 0fx 2x 2 2010 全国卷 理 已知直线 y x 1 与曲线相切 则 的值为 yln xa A 1B 2C 1D 2 答案B 解 设切点 则 又 00 P xy 0000 ln1 yxayx 0 0 1 1 x x y xa Q 故答案选 B 000 10 12xayxa 3 2010 安徽卷理 已知函数在 R 上满足 则曲线 f x 2 2 2 88f xfxxx 在点处的切线方程是 yf x 1 1 f A B C D 21yx yx 32yx 23yx 答案A 解析由得几何 2 2 2 88f xfxxx 2 2 2 2 8 2 8fxf xxx 即 切线方程 即 2 2 2 44f xfxxx 2 f xx 2fxx 12 1 yx 选 A210 xy 4 2010 江西卷文 若存在过点的直线与曲线和都相切 则等于 1 0 3 yx 2 15 9 4 yaxx a A 或B 或C 或D 或1 25 64 1 21 4 7 4 25 64 7 4 7 答案A 解析设过的直线与相切于点 所以切线方程为 1 0 3 yx 3 00 x x 32 000 3 yxxxx 2第 2 页 共 50 页 即 又在切线上 则或 23 00 32yx xx 1 0 0 0 x 0 3 2 x 当时 由与相切可得 0 0 x 0y 2 15 9 4 yaxx 25 64 a 当时 由与相切可得 所以选 0 3 2 x 2727 44 yx 2 15 9 4 yaxx 1a A 5 2010 江西卷理 设函数 曲线在点处的切线方程为 2 f xg xx yg x 1 1 g21yx 则曲线在点处切线的斜率为 yf x 1 1 f A B C D 4 1 4 2 1 2 答案A 解析由已知 而 所以故选 A 1 2g 2fxg xx 1 1 2 14fg 力 6 2009 全国卷 理 曲线在点处的切线方程为 21 x y x 1 1 A B C D 20 xy 20 xy 450 xy 450 xy 答案B 解解 111 22 2121 1 21 21 xxx xx y xx 故切线方程为 即故选故选 B B B B 1 1 yx 20 xy 7 2009 湖南卷文 若函数的导函数在区间上是增函数 yf x a b 则函数在区间上的图象可能是 yf x a b A B C D 解析因为函数的导函数在区间上是增函数 即在区间上各点处的斜率 yf x yfx a b a b 是递增的 由图易知选 A 注意 C 中为常数噢 kyk ababa o x o x y ba o x y o x y b y 3第 3 页 共 50 页 8 2009 辽宁卷理 若满足 2x 5 满足 2x 2 x 1 5 1 x2x 2 x 2 log 1 x 2 x A B 3C D 4 5 2 7 2 答案C 解析由题意 1 1 225 x x 222 22log 1 5xx 所以 1 1 252 x x 121 log 52 xx 即 2 121 2log 52 xx 令 2x1 7 2t 代入上式得 7 2t 2log2 2t 2 2 2log2 t 1 5 2t 2log2 t 1 与 式比较得 t x2 于是 2x1 7 2x2 9 2009 天津卷理 设函数则 1 ln 0 3 f xxx x yf x A 在区间内均有零点 1 1 1 e e B 在区间内均无零点 1 1 1 e e C 在区间内有零点 在区间内无零点 1 1 e 1 e D 在区间内无零点 在区间内有零点 1 1 e 1 e 考点定位 本小考查导数的应用 基础题 解析由题得 令得 令得 x x x x x x x x x x x x x x x xf f f f 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0 x x x xf f f f3 3 3 3 x x x x0 0 0 0 x x x xf f f f3 3 3 30 0 0 0 x x x x 得 故知函数在区间上为减函数 在区间0 0 0 0 x x x xf f f f3 3 3 3 x x x x x x x xf f f f 3 3 3 3 0 0 0 0 3 3 3 3 为增函数 在点处有极小值 又3 3 3 3 x x x x0 0 0 03 3 3 3lnln lnln1 1 1 1 1 2fxax x y 此时斜率为 问题转化为范围内导函数存在零点 00 x 1 2fxax x 解法1 图像法 再将之转化为与存在交点 当不符合题意 当 2g xax 1 h x x 0a 0a 时 如图 1 数形结合可得显然没有交点 当如图 2 此时正好有一个交点 故有应填0a 0a 0 或是 0a a 解 法 2 分 离 变 量 法 上 述 也 可 等 价 于 方 程在内 有 解 显 然 可 得 1 20ax x 0 2 1 0 2 a x 12 2009 江苏卷 函数的单调减区间为 32 15336f xxxx 解析考查利用导数判断函数的单调性 2 330333 11 1 fxxxxx 由得单调减区间为 亦可填写闭区间或半开半闭区间 11 1 0 xx a 命题立意 本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系 隐含着对指数函数的性质的考查 根据其底数 的不同取值范围而分别画出函数的图象解答 5第 5 页 共 50 页 14 2009福建卷理 若曲线存在垂直于轴的切线 则实数取值范围是 3 lnf xaxx ya 答案 0 解析由题意可知 又因为存在垂直于轴的切线 2 1 2fxax x y 所以 2 3 11 20 0 0 2 axaxa xx 15 2009 陕西卷理 设曲线在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 令 1 n yxnN n x 则的值为 lg nn ax 1299 aaa L 答案答案 2 2 2 2 1 1 1 12991299 1 11 1 1 1 1 298 991 lg lg lg2 2 399 100100 n nn x n yxnN yxynxynynx n x n aaax xx g g gg 解析 点 1 1 在函数的图像上 1 1 为切点 的导函数为切线是 令y 0得切点的横坐标 16 2009 四川卷文 设是已知平面上所有向量的集合 对于映射 记的象为VM f VV aV a 若映射满足 对所有及任意实数都有 f a f VV abV fabf af b 则称为平面上的线性变换 现有下列命题 fM 设是平面上的线性变换 则fMabV f abf af b 若是平面上的单位向量 对 则是平面上的线性变换 eM aVf aae 设fM 对 则是平面上的线性变换 aVf aa 设fM 设是平面上的线性变换 则对任意实数均有 fMaV k f kakf a 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 答案答案 解析解析 令 则故 是真命题1 bfafbaf 同理 令 则故 是真命题0 k akfkaf 则有aaf bbf 是线性变换 故 是真命题 bfafbababaf 6第 6 页 共 50 页 由 则有eaaf ebbf ebfafeebeaebabaf 是单位向量 0 故 是假命题ee 备考提示 备考提示 本小题主要考查函数 对应及高等数学线性变换的相关知识 试题立意新颖 突出创新能力和数学阅读能力 具有选拔性质 17 2009 宁夏海南卷文 曲线在点 0 1 处的切线方程为 21 x yxex 答案31yx 解析 斜率 k 3 所以 y 1 3x 即2 xx xeey20 0 e31yx 三 解答题 18 2009 全国卷 理 本小题满分 12分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 设函数在两个极值点 且 32 33f xxbxcx 12 xx 12 10 1 2 xx I 求满足的约束条件 并在下面的坐标平面内 画出满足这些条件的点的区域 bc b c II 证明 2 1 10 2 f x 分析 I 这一问主要考查了二次函数根的 分布及线性规划作可行域的能力 大 部 分 考 生 有 思 路 并 能 够 得 分 由 题 意 知 方 程 2 363fxxbxc 有两个根 0fx 12 xx 则有 1 10 x 且 2 1 2 x 10f 故有 00f 1020ff 右图中阴影部分 即是满足这些条件 的点的区域 b c II 这一问考生不易得分 有一定的区分度 主要原因是含字母较多 不易找到突破口 此题主要利用消 元的手段 消去目标中的 如果消会较繁琐 再利用的范围 并借 32 2222 33fxxbxcx b c 2 x 7第 7 页 共 50 页 助 I 中的约束条件得进而求解 有较强的技巧性 2 0 c 解析由题意有 2 222 3630fxxbxc 又 32 2222 33fxxbxcx 消去可得 b 3 222 13 22 c fxxx 又 且 2 1 2 x Q 2 0 c 2 1 10 2 f x 19 2009浙江文 本题满分 15 分 已知函数 32 1 2 f xxa xa axb a b R R R R I 若函数的图象过原点 且在原点处的切线斜率是 求的值 f x3 a b II 若函数在区间上不单调 求的取值范围 f x 1 1 a 解析 由题意得 2 1 23 2 aaxaxxf 又 解得 或 3 2 0 0 0 aaf bf 0 b3 a1 a 函数在区间不单调 等价于 xf 1 1 导函数在既能取到大于 0 的实数 又能取到小于 0 的实数 xf 1 1 即函数在上存在零点 根据零点存在定理 有 xf 1 1 即 0 1 1 ff0 2 1 23 2 1 23 aaaaaa 整理得 解得0 1 1 5 2 aaa15 a 20 2009 北京文 本小题共 14 分 设函数 3 3 0 f xxaxb a 若曲线在点处与直线相切 求的值 yf x 2 f x8y a b 求函数的单调区间与极值点 f x 解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解不等式等基础知识 考查综合分析和解 决问题的能力 2 33fxxa 曲线在点处与直线相切 yf x 2 f x8y 203 404 24 86828 faa b abf 2 30fxxaa 当时 函数在上单调递增 0a f x 8第 8 页 共 50 页 此时函数没有极值点 f x 当时 由 0a 0fxxa 当时 函数单调递增 xa 0fx f x 当时 函数单调递减 xaa 0fx f x 此时是的极大值点 是的极小值点 xa f xxa f x 21 2009 北京理 本小题共 13 分 设函数 0 kx f xxek 求曲线在点处的切线方程 yf x 0 0 f 求函数的单调区间 f x 若函数在区间内单调递增 求的取值范围 f x 1 1 k 解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解不等式等基础知识 考查 综合分析和解决问题的能力 1 01 00 kx fxkx eff 曲线在点处的切线方程为 yf x 0 0 fyx 由 得 10 kx fxkx e 1 0 xk k 若 则当时 函数单调递减 0k 1 x k 0fx fx 若 则当时 函数单调递增 0k fx 当时 函数单调递减 1 x k 0fx 1 1 k 即时 函数内单调递增 1k f x 1 1 9第 9 页 共 50 页 若 则当且仅当 0ka xf 0 1 ab 解 1 由已知得 令 得 2 21fxaxbx 0 xf 2 210axbx 要取得极值 方程必须有解 xf 2 210axbx 所以 即 此时方程的根为 2 440ba 2 ba 2 210axbx 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以 12 fxa xxxx 当时 0 a 所以在 x1 x2处分别取得极大值和极小值 xf 当时 0 xf 2 要使在区间上单调递增 需使在上恒成立 xf 0 1 2 210fxaxbx 0 1 x x1 x1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函数极大值减函数极小值增函数 x x2 x2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 减函数极小值增函数极大值减函数 10第 10 页 共 50 页 即恒成立 所以 1 0 1 22 ax bx x max 1 22 ax b x 设 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令得或 舍去 0g x 1 x a 1 x a 当时 当时 单调增函数 1 a 1 01 a 1 22 ax g x x 当时 单调减函数 1 1 x a 0g x 1 22 ax g x x 所以当时 取得最大 最大值为 1 x a g x 1 ga a 所以ba 当时 此时在区间恒成立 所以在区间上单调01aaba 01a1 32 1 1 424 3 f xxa xaxa 讨论 f x 的单调性 若当 x 0 时 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解析解析本题考查导数与函数的综合运用能力 涉及利用导数讨论函数的单调性 第一问关键是通过本题考查导数与函数的综合运用能力 涉及利用导数讨论函数的单调性 第一问关键是通过分分 析导函数 从而确定函数的单调性 第二问是利用导数及函数的最值 由恒成立条件得出不等式条件析导函数 从而确定函数的单调性 第二问是利用导数及函数的最值 由恒成立条件得出不等式条件从从 而求出的范围 而求出的范围 解析 I 2 2 4 1 2 2 axxaxaxxf 由知 当时 故在区间是增函数 1 a2 xf xf 2 11第 11 页 共 50 页 当时 故在区间是减函数 ax22 0 0 xf xf 2 a 综上 当时 在区间和是增函数 在区间是减函数 1 a xf 2 2 a 2 2 a II 由 I 知 当时 在或处取得最小值 0 x xfax2 0 x aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 由假设知 即解得1 a 0 0 0 2 1 f af a 0 24 0 6 3 3 4 1 a aaa a 故的取值范围是 1 6 a 23 2009 广东卷 理 本小题满分 14 分 已知二次函数的导函数的图像与直线平行 且在处取得极小值 yg x 2yx yg x 1x 设 1 0 mm g x f x x 1 若曲线上的点到点的距离的最小值为 求的值 yf x P 0 2 Q2m 2 如何取值时 函数存在零点 并求出零点 k kR yf xkx 解析 1 依题可设 则 1 1 2 mxaxg0 aaaxxaxg22 1 2 又的图像与直线平行 gx 2yx 22a 1a mxxmxxg 21 1 22 2 g xm f xx xx 设 则 oo P x y 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 x m xxyxPQ mmmmm x m x2 2222222 2 2 0 2 2 0 12第 12 页 共 50 页 当且仅当时 取得最小值 即取得最小值 2 0 2 2 0 2 x m x 2 PQ PQ2 当时 解得0 m2 222 m12 m 当时 解得0 若 0m 1 1k m 函数有两个零点 即 yfxkx 1 2 1 442 k km x 1 1 11 k km x 若 0m 1 1k m 0m 1 1k m 0m f x 本小题主要考查函数的定义域 利用导数等知识研究函数的单调性 考查分类讨论的思想方法和运算 求解的能力 本小题满分 12 分 13第 13 页 共 50 页 解析的定义域是 0 f x 2 22 22 1 axax fx xxx 设 二次方程的判别式 2 2g xxax 0g x 2 8a 当 即时 对一切都有 此时在上是增函数 2 80a 02 2a 0fx f x 0 当 即时 仅对有 对其余的都有 2 80a 2 2a 2x 0fx 0 x 此时在上也是增函数 0fx f x 0 当 即时 2 80a 2 2a 方程有两个不同的实根 0g x 2 1 8 2 aa x 2 2 8 2 aa x 12 0 xx 此 时在上 单 调 递 增 在是 上 单 调 递 减 在 f x 2 8 0 2 aa 22 88 22 aaaa 上单调递增 2 8 2 aa 25 2009安徽卷文 本小题满分 14 分 已知函数 a 0 讨论的单调性 设 a 3 求在区间 1 上值域 期中 e 2 71828 是自然对数的底数 思路 由求导可判断得单调性 同时要注意对参数的讨论 即不能漏掉 也不能重复 第二问就根据 第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域 f x 2 1 e 解析 1 由于 2 2 1 a f x xx 令 2 1 21 0 tytatt x 得 x 1 0 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 单调递增 Z 极 大 单调递 减 极 小 单调 递增 14第 14 页 共 50 页 当 即时 恒成立 2 80a 02 2a2 2a 由得或 2 210tat 2 8 4 aa t 或或 2 8 0 4 aa x 0 x 又由得 2 20tat 2222 8888 4422 aaaaaaaa tx 综上 当时 在上都是增函数 02 2a f x 0 0 及 当时 在上是减函数 2 2a f x 22 88 22 aaaa 在上都是增函数 22 88 0 0 22 aaaa 及 2 当时 由 1 知在上是减函数 3a f x 1 2 在上是增函数 2 2 e 又 1 0 2 23 20ffln 函数在上的值域为 f x 2 1 e 2 2 2 23 n2 5le e 26 2009 江西卷文 本小题满分 12 分 设函数 32 9 6 2 f xxxxa 1 对于任意实数 恒成立 求的最大值 x fxm m 2 若方程有且仅有一个实根 求的取值范围 0f x a 解析 1 2 3963 1 2 fxxxxx 因为 即恒成立 x fxm 2 39 6 0 xxm 15第 15 页 共 50 页 所以 得 即的最大值为81 12 6 0m 3 4 m m 3 4 2 因为 当时 当时 当时 1x12x 0fx 0fx 所以 当时 取极大值 1x f x 5 1 2 fa 当时 取极小值 2x f x 2 2fa 故当或时 方程仅有一个实根 解得或 2 0f 1 0f 0f x 2a 27 2009 江西卷理 本小题满分 12 分 设函数 x e f x x 1 求函数的单调区间 f x 1 若 求不等式的解集 0k 1 0fxkx f x 解析 1 由 得 22 111 xxx x fxeee xxx 0fx 1x 因为 当时 当时 当时 0 x 0fx 01x 0fx 0fx 所以的单调增区间是 单调减区间是 f x 1 0 0 1 2 由 2 2 1 1 x xkxkx fxkx f xe x 2 1 1 0 x xkx e x 得 1 1 0 xkx 故 当时 解集是 01k 1 1 xx k 1 1 xx k mRxxmxxxf其中 当曲线处的切线斜率时 1 m 在点 11 fxfy 求函数的单调区间与极值 已知函数有三个互不相同的零点 0 且 若对任意的 xf 21 x x 21 xx 16第 16 页 共 50 页 答案 1 1 2 在和内减函数 在内增函数 函数在 xf 1 m 1 m 1 1 mm xf 处取得极大值 且 mx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数在处取得极小值 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 解析解析当1 1 2 3 1 1 2 23 fxxxfxxxfm故时 所以曲线处的切线斜率为 1 在点 11 fxfy 2 解析 令 得到12 22 mxxxf0 xfmxmx 1 1 因为mmm 11 0 所以 当 x 变化时 的变化情况如下表 xfxf 在和内减函数 在内增函数 xf 1 m 1 m 1 1 mm 函数在处取得极大值 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数在处取得极小值 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 3 解析由题设 3 1 1 3 1 21 22 xxxxxmxxxxf 所以方程 0 由两个相异的实根 故 且 1 3 1 22 mxx 21 x x3 21 xx0 1 3 4 1 2 m 解得 2 1 2 1 xxxxxx故所以 若 而 不合题意0 1 1 3 1 1 1 2121 xxfxx则0 1 xf 若则对任意的有 1 21 xx 0 3 1 1 2 mf 3 3 3 3 综上 对任意的 b c 都有 1 2 M 而当 时 在区间上的最大值 1 0 2 bc 2 1 2 g xx 1 1 1 2 M 故对任意的 b c 恒成立的 k 的最大值为MK 1 2 31 2009四川卷文 本小题满分 12 分 已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是 32 22f xxbxcx x510yx I 求函数的解析式 f x 18第 18 页 共 50 页 II 设函数 若的极值存在 求实数的取值范围以及函数取得极值 1 3 g xf xmx g xm g x 时对应的自变量的值 x 解析解析 I 由已知 切点为 2 0 故有 即 2 0f 430bc 又 由已知得 2 34fxxbxc 2 1285fbc 870bc 联立 解得 1 1bc 所以函数的解析式为 4 分 32 22f xxxx II 因为 32 1 22 3 g xxxxmx 令 2 1 3410 3 g xxxm 当函数有极值时 则 方程有实数解 0 2 1 3410 3 xxm 由 得 4 1 0m 1m 当时 有实数 在左右两侧均有 故函数无极值1m 0g x 2 3 x 2 3 x 0g x g x 当时 有两个实数根1m 0g x 情况如下表 12 11 21 21 33 xmxm g x g x 所以在时 函数有极值 1 m g x 当时 有极大值 当时 有极小值 1 21 3 xm g x 1 21 3 xm g x 12 分 32 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 设函数有两个极值点 且 2 1f xxaInx 12 xx 12 xx x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x g x 0 0 g x 极大值 极小值 19第 19 页 共 50 页 解 I 2 22 2 1 11 axxa fxxx xx 令 其对称轴为 由题意知是方程的两个均大于的不 2 22g xxxa 1 2 x 12 xx 0g x 1 相等的实根 其充要条件为 得 480 1 0 a ga 1 0 2 a 1 1 x 当时 在内为减函数 12 xx x 0 fxf x 2 x II 由 I 2 1 0 0 0 2 gax 则 22 21 122 21 1h xxxlnxxxlnx 当时 在单调递增 1 0 2 x 0 hxh x 1 0 2 当时 在单调递减 0 x 0h x 当时 故 22 122 4 In f xh x 33 2009 湖南卷文 本小题满分 13 分 已知函数的导函数的图象关于直线 x 2 对称 32 f xxbxcx 求 b 的值 若在处取得最小值 记此极小值为 求的定义域和值域 f xxt g t g t 解 因为函数的图象关于直线 x 2 对称 2 32fxxbxc fx 所以 于是 2 2 6 b 6 b 由 知 32 6f xxxcx 22 3123 2 12fxxxcxc 当 c12 时 此时无极值 0fx f x 20第 20 页 共 50 页 ii 当 c f x 1 x 当 x 时 在区间内为减函数 1 x 2 x 0fx 0fx f x 2 x 所以在处取极大值 在处取极小值 f x 1 xx 2 xx 因此 当且仅当时 函数在处存在唯一极小值 所以 12c 于是的定义域为 由得 g t 2 2 3120f tttc 2 312ctt 于是 3232 626 2 g tf tttctttt 当时 所以函数2t 2 6126 2 0 g ttttt g t 在区间内是减函数 故的值域为 2 g t 8 35 2009福建卷理 本小题满分 14 分 已知函数 且 32 1 3 f xxaxbx 1 0f 1 试用含的代数式表示 b 并求的单调区间 a f x 2 令 设函数在处取得极值 记点 M N P 1a f x 1212 x x xx 1 x 1 f x 2 x 2 f x m f m 请仔细观察曲线在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势 并解释以下问题 12 xmx f x I 若对任意的 m x 线段 MP 与曲线f x 均有异于 M P 的公共点 试确定 t 的最小值 并证明 1 x 2 你的结论 II 若存在点 Q n f n xn1 时 121a 1x 0fx f x 增区间为 R 当时 同理可得 函数的单调增区间为和 单调减区间1a f x 1 12 a 为 1 1 2 a 综上 当时 函数的单调增区间为和 单调减区间为 1a f x 1 2 a 1 12 1 a 当时 函数的单调增区间为 R 1a f x 当时 函数的单调增区间为和 单调减区间为 1a 2 2 2 0gm 15 21 25 1 m mmm m 或解得 又因为 所以 m 的取值范围为 2 3 13m 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2 36 2009 辽宁卷文 本小题满分 12 分 设 且曲线 y f x 在 x 1 处的切线与 x 轴平行 2 1 x f xe axx 2 求 a 的值 并讨论 f x 的单调性 1 证明 当 0 f cos f sin 2 2 时 解析 有条件知 2 121 x fxe axxax 故 2 分于是 1 0f 3201aaa 2 2 2 1 xx fxexxexx 故当时 0 2 1 x fx 当时 0 2 1 x fx 从而在 单调减少 在单调增加 6 分 f x 2 1 2 1 由 知在单调增加 故在的最大值为 f x 0 1 f x 0 1 1 fe 最小值为 0 1f 从而对任意 有 10 分 1 x 2 x 0 1 12 12f xf xe 而当时 0 2 cos sin 0 1 从而 12 分 cos sin 2ff 1 讨论函数的单调性 f x 24第 24 页 共 50 页 2 证明 若 则对任意 x x xx 有 5a 解析 1 的定义域为 f x 0 2 分 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx i 若即 则11a 2a 2 1 x fx x 故在单调增加 f x 0 ii 若 而 故 则当时 1 1a 12a 1 1 xa 0fx 故在单调减少 在单调增加 f x 1 1 a 0 1 1 a iii 若 即 同理可得在单调减少 在单调增加 1 1a 2a f x 1 1 a 0 1 1 a II 考虑函数 g xf xx 2 1 1 ln 2 xaxaxx 则 2 11 1 2 1 1 1 1 aa g xxaxaa xx g 由于 1 a 12 0 xx 12 0g xg x 故 当时 有 1212 0f xf xxx 12 12 1 f xf x xx 12 0 xx 38 2009宁夏海南卷理 本小题满分 12 分 已知函数 32 3 x f xxxaxb e 1 如 求的单调区间 3ab f x 1 若在单调增加 在单调减少 证明 f x 2 2 25第 25 页 共 50 页 6 21 解析 当时 故3ab 32 333 x f xxxxe 322 333 363 xx fxxxxexxe 3 9 x exx 3 3 x x xxe 当3x 或 03 0 xfx 时 当303 0 xxfx 或时 从而单调减少 3 0 3 303f x 在单调增加 在 3223 3 36 6 xxx fxxxaxb exxa eexaxba 由条件得 从而 3 2 0 22 6 0 4 fababa 即故 3 6 42 x fxexaxa 因为所以 0 ff 3 6 42 2 xaxaxxx 2 2 xxx 将右边展开 与左边比较系数得 故2 2 a 2 4124 a 又由此可得 2 2 0 2 40 即6 a 39 2009陕西卷文 本小题满分 12 分 已知函数 3 31 0f xxaxa 求的单调区间 f x 若在处取得极值 直线 y my 与的图象有三个不同的交点 求m 的取值范围 f x1x yf x 26第 26 页 共 50 页 解析 1 22 333 fxxaxa 当时 对 有0a 当时 的单调增区间为0a 0fx xa 由解得 0fx axa f x aa f x aa 2 因为在处取得极大值 f x1x 所以 2 1 3 1 30 1 faa 所以 3 2 31 33 f xxxfxx 由解得 0fx 12 1 1xx 由 1 中的单调性可知 在处取得极大值 f x f x1x 1 1f 在处取得极小值 1x 1 3f 因为直线与函数的图象有三个不同的交点 又 ym yf x 3 193f 结合的单调性可知 的取值范围是 f xm 3 1 40 2009 陕西卷理 本小题满分 12 分 已知函数 其中 1 ln 1 0 1 x f xaxx x 0a 若在 x 1 处取得极值 求 a 的值 f x 求的单调区间 f x 若的最小值为 1 求 a 的取值范围 f x 解 2 22 22 1 1 1 1 aaxa fx axxaxx 在 x 1 处取得极值 解得 f x 2 1 0 120 faa g即1 a 2 2 2 1 1 axa fx axx 27第 27 页 共 50 页 0 0 xa 10 ax 当时 在区间 的单调增区间为2a 0 0 fx 上 f x 0 当时 02a 解得由解得 aa f x aa 2 2 的单调减区间为 0 单调增区间为 当时 由 知 2a 0 1 f xf 的最小值为 当时 由 知 在处取得最小值02a f x 2a x a 2 0 1 a ff a g x 28第 28 页 共 50 页 当时 有两个实数根情况如下1m1 证明对任意的 c 都有 M 2 若 M K 对任意的 b c 恒成立 试求 k 的最大值 本小题主要考察函数 函数的导数和不等式等基础知识 考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想 满分 14 分 I 解析 由在处有极值 2 2fxxbxc Q f x1x 4 3 可得 1 120 14 1 33 fbc fbcbc 解得或 1 1 b c 1 3 b c 若 则 此时没有极值 1 1bc 22 21 1 0fxxxx f x 若 则1 3bc 2 23 1 1 fxxxxx 当变化时 的变化情况如下表 x f x fx x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x g x 0 0 g x 极大值 极小值 x 3 3 3 1 1 1 29第 29 页 共 50 页 当时 有极大值 故 即为所求 1x f x 4 3 1b 3c 证法 1 22 g xfxxbbc 当时 函数的对称轴位于区间之外 1b yfx xb 1 1 在上的最值在两端点处取得 fx 1 1 故应是和中较大的一个M 1 g 1 g 即2 1 1 12 12 4 4 Mggbcbcb 2M 证法 2 反证法 因为 所以函数的对称轴位于区间之外 1b yfx xb 1 1 在上的最值在两端点处取得 fx 1 1 故应是和中较大的一个M 1 g 1 g 假设 则2M 1 1 2 2 1 12 2 gbc gbc 将上述两式相加得 导致矛盾 4 1 2 12 4 4bcbcb 2M 解法 1 22 g xfxxbbc 1 当时 由 可知 1b 2M 2 当时 函数 的对称轴位于区间内 1b yfx xb 1 1 此时 max 1 1 Mggg b 由有 1 1 4 ffb 2 1 1 0fbfb m 若则 10 b 1 1 1 max 1 fffbggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb fx 0 0 f x 极小值 12 Z 极大值 4 3 30第 30 页 共 50 页 若 则01b 综上 对任意的 都有bc 1 2 M 而当时 在区间上的最大值 1 0 2 bc 2 1 2 g xx 1 1 1 2 M 故对任意的 恒成立的的最大值为 Mk bck 1 2 解法 2 22 g xfxxbbc 1 当时 由 可知 1b 2M 2 当时 函数的对称轴位于区间内 1b yfx xb 1 1 此时 max 1 1 Mggg b 2 4 1 1 2 12 12 2 Mggg hbcbcbc 即 22 1 2 12 2 22 2bcbcbcb 1 2 M 下同解法 1 43 2009宁夏海南卷文 本小题满分 12 分 已知函数 3223 39f xxaxa xa 1 设 求函数的极值 1a f x 2 若 且当时 12a 恒成立 试确定的取值范围 1 4 a 1 4xa xf a 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 21 解析 当 a 1 时 对函数求导数 得 f x 2 369 fxxx 令 12 0 1 3 fxxx 解得 列表讨论的变化情况 f xfx 31第 31 页 共 50 页 所以 的极大值是 极小值是 f x 1 6f 3 26 f 的图像是一条开口向上的抛物线 关于 x a 对称 22 369fxxaxa 若上是增函数 从而 1 1 4 afx1 则不恒成立 2 1212 1 4 12faaaxafxa 故当时 所以使恒成立的 a 的取值范围是 12 1 4 fxa xa 1 4 4 5 44 2009天津卷理 本小题满分 本小题满分 12121212 分 分 已知函数其中 22 23 x f xxaxaa exR aR 1 当时 求曲线处的切线的斜率 0a 1 1 yf xf 在点 2 当时 求函数的单调区间与极值 2 3 a f x 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识 考查运 算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 I 解析 3 1 2 0 22 efexxxfexxfa xx 故 时 当 3 1 1 efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 II 42 2 22x eaaxaxxf 解 2 2 3 2 2 20 aaaaxaxxf知 由 或 解得令 x 1 1 1 3 3 3 fx 0 0 f x Z 极大值 6 极小值 26 Z 32第 32 页 共 50 页 以下分两种情况讨论 1 则 当变化时 的变化情况如下表 a若 3 2 a2 2 ax xfxf 22 2 2 内是减函数 内是增函数 在 在所以 aaaaxf 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且处取得极大值在函数 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且处取得极小值在函数 2 则 当变化时 的变化情况如下表 a若 3 2 a2 2 ax xfxf 内是减函数 内是增函数 在 在所以 22 2 2 aaaaxf 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且处取得极大值在函数 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且处取得极小值在函数 45 2009四川卷理 本小题满分 12 分 已知函数 0 1aa 且 log 1 x a f xa I 求函数的定义域 并判断的单调性 f x f x II 若 lim f n n n a nN aa 求 III 当 为自然对数的底数 时 设 若函数的极值存在 ae e 2 1 1 f x h xexm h x 求实数的取值范围以及函数的极值 m h x 本小题主要考查函数 数列的极限 导数应用等基础知识 考查分类整合思想 推理和运算能力 解析 由题意知10 x a 当01 01 0af xaf x 时 的定义域是 当时 的定义域是 a2 a2 22 aa 2 a 2a 0 0 极 大值 极 小值 2 a 2 a aa22 a2 a2 0 0 极 大值 极 小值 33第 33 页 共 50 页 ln log 11 a a e g xx xx aa f x aa 当01 0 10 0 xx axaa 时 因为故f x 0 因为 n 是正整数 故 0 a 1 1 n a 所以 11 limlim f nn nn nn aa aaaaa 22 1 0 21 xx h xexmxh xexxm 当时 有两个实根01m 0h x 12 1 1xm xm 当 x 变化时 的变化情况如下表所示 h x h x 的极大值为 的极小值为 h x 1 2 1 m em h x 1 2 1 m em 当时 在定义域内有一个实根 1m 0h x 1xm 同上可得的极大值为 h x 1 2 1 m em 综上所述 时 函数有极值 0 m h x 当时的极大值为 的极小值为01m h x 1 2 1 m em h x 1 2 1 m em 当时 的极大值为1m h x 1 2 1 m em 46 2009福建卷文 本小题满分 12 分 x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 0 x h x 0 0 h x 极大值 极小值 34第 34 页 共 50 页 已知函数且 32 1 3 f xxaxbx 1 0f I 试用含的代数式表示 ab 求的单调区间 f x 令 设函数在处取得极值 记点 证明 1a f x 1212 x x xx121a 当变化时 与的变化情况如下表 x fx f x 由此得 函数的单调增区间为和 单调减区间为 f x 12 a 1 12 1 a 由时 此时 恒成立 且仅在处 故函数的单1a 121a 0fx 1x 0fx f x 调区间为 R 当时 同理可得函数的单调增区间为和 单调减区间1a f x 1 12 a 为 1 1 2 a 综上 当时 函数的单调增区间为和 单调减区间为 1a f x 1 2 a 1 12 1 a 当时 函数的单调增区间为 R 1a f x 当时 函数的单调增区间为和 单调减区间为1a 0 x yf x 1 1 f 线 210 xy 求的值 a b 若函数 讨论的单调性 x e g x f x g x 解 因 2 0 2f xaxbxk kfxaxb 故 又在 x 0 处取得极限值 故从而 f x 0 fx 0b 由曲线 y 在 1 f 1 处的切线与直线相互垂直可知 f x210 xy 该切线斜率为 2 即 1 2 f 有2a 2 从而a 1 由 知 2 0 x e g xk xk 2 22 2 0 x exxk g xk xk 令 2 0 20g xxxk 有 1 当440 k 1时 g x 0在R上恒成立 故函数g x 在R上为增函数 2 当440 k 即当k 1时 2 22 1 0 0 x ex g xx xk 37第 37 页 共 50 页 K 1 时 g x 在 R 上为增函数 3 方程有两个不相等实根440 k 即当0 k 是故在 上为增 当时 故上为减函数11 11xkk 0 g x 11g xk 在 50 2009 重庆卷文 本小题满分 12分 问 7分 问 5 分 已知为偶函数 曲线过点 2 f xxbxc yf x 2 5 g xxa f x 求曲线有斜率为 0 的切线 求实数的取值范围 yg x a 若当时函数取得极值 确定的单调区间 1x yg x yg x 解 为偶函数 故即有Q 2 f xxbxc fxf x 解得 22 xbxcxbxc 0b 又曲线过点 得有 yf x 2 5 2 25 c 1c 从而 曲线有斜率为 0 的Q 32 g xxa f xxaxxa 2 321g xxax Q yg x 切线 故有有实数解 即有实数解 此时有解得 0g x 2 3210 xax 2 4120a V 所以实数的取值范围 33 a a 33 a 因时函数取得极值 故有即 解得1x yg x 1 0g 3210a 2a 又令 得 2 341 31 1 g xxxxx 0g x 12 1 1 3 xx 当时 故在上为增函数 1 x 0g x g x 1 当时 故在上为减函数 1 1 3 x 0g x g x 1 3 38第 38 页 共 50 页 B B B B 组组组组 2005200520052005 2008200820082008 年高考题年高考题年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 2008 年全国一 7 设曲线在点处的切线与直线垂直 1 1 x y x 3 2 10axy 则 a A 2B C D 1 2 1 2 2 答案答案D 2 2008 年 湖北卷 7 若上是减函数 则的取值 2 1 ln 2 2 f xxbx 在 1 b 范围是 A B 1 1 C D 1 1 答案答案C 3 2008 年福建卷 12 已知函数 y f x y g x 的导函数的图象如下图 那么 y f x y g x 的图象 可能是 答案答案D 4 2008 年辽宁卷 6 设 P 为曲线 C 上的点 且曲线 C 在点 P 处切线倾 2 23yxx 斜角的取值范围为 则点 P 横坐标的取值范围为 0 4 A B C D 1 1 2 10 01 1 1 2 答案答案A 5 2007 年福建理 11 文 已知对任意实数 有 且x fxf xgxg x 0 x 时 则时 0 0fxg x 0 x 0 0fxg x C D 0 0fxg x 0 0fxg x x 0f x 则的最小值为 1 0 f f A B C D 3 5 2 2 3 2 答案答案C 8 2007 年江西理 9 设在内单调递增 则是的 2 eln21 x pf xxxmx 0 5q m pq A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案答案B 9 2007 年辽宁理 12 已知与是定义在上的连续函数 如果与仅 f x g xR R R R f x g x 当时的函数值为 0 且 那么下列情形不可能出现的是 0 x f xg x A 0 是的极大值 也是的极大值 f x g x B 0 是的极小值 也是的极小值 f x g x C 0 是的极大值 但不是的极值 f x g x D 0 是的极小值 但不是的极值 f x g x 答案答案C 10 20062006 年天津卷 年天津卷 函