数学人教版八年级上册课题学习-最短路径问题教学设计.docx

13.4 课题学习 最短路径问题授课教师：重庆市第七中学校 王 浪教学目标（1）让学生进一步熟悉轴对称作图等基本技能，体会如何以这些素材为载体，利用本章所学的轴对称等知识解决实际问题中的最短路径问题；使学生体会“数学来源于生活，并可以指导生活”的数学观。 （2）通过学生观察、操作、想象、论证、交流的过程，获得解决此类问题的基本套路及经验；进而培养学生的探索与创造性精神，发展空间观念，激发内在兴趣。（3）体会化归思想。学情分析通过初中学段一年多的学习，学生已经研究过“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等最短路径问题以及有关平移的基本知识，而这节课要求学生利用轴对称等知识解决实际问题中的最短路径问题，渗透化归思想，难度较大。而我这次借用的班级为平行班，学生水平参差不齐，学困生面较大。教学重点与难点重点：运用轴对称解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。教学方法探究发现法。在教学中教师采用“问题情境-操作-论证-应用与拓展”的模式进行教学。教学过程：一.创设情境，引入新知师：同学们，今天早上到学校的时候，碰到了小卖部的阿姨们，他们正在讨论这样一个和她们息息相关的数学问题，我们一起来看看：问题1：如图，直线l是一条平直的人行道，A是学校小卖部，B是学校教学楼，位于人行道两旁，他们想在在人行道l上找一点作为货物中转站C，使点A、B 到点C的距离之和最小。同学们，你能帮帮阿姨们，找出点C的位置吗？说明理由生：直接连接A、B.师：依据是什么？生：两点之间线段最短.师：非常好，当A、B在l异侧的时候，大家利用“两点之间线段最短”这个公理，通过直接连接AB，轻轻松松就帮阿姨们找到了C点的位置，从而使得距离最短.非常棒！师：今天，我们就要来研究像这样的最短路径问题。【设计意图】以生活中的素材作为问题情境，使学生感受到生活中处处有数学，思考将现实问题数学化的过程，体验到数学的应用价值，对即将要研究的问题产生强烈的学习动机，同时也为问题2搭梯子、做铺垫。二问题引领，层层递进同学们，你们知道吗？早在古罗马时期，一位身经百战的将军在作战时也遇到了一个最短距离的问题，我们来看看：问题2：将军要从图中的军营地出发，到一条笔直的河边去饮马，然后到敌营到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短呢？将军百思不得其解，你能解决这个问题吗？追问1：我们首先要将这个实际问题转化成数学问题。如图，将我方军营和敌方军营抽象成两个点A、B，将河边l抽象成一条直线，那这个实际问题就可转化成什么数学问题？生：点C在直线l上的什么位置时，AC与BC的和最小？追问2：这仍然是一个距离最短问题，那它和小卖部最短问题有何不同呢?生：小卖部问题A、B在l的异侧，这个是A、B在同侧。师：很明显，同侧更难解决，那能不能把同侧问题转化成这样的异侧问题来解决呢？怎么转化呢？ （学生先独立思考，画图分析，然后同桌合作交流，最后全班展示。）师：接下来，哪个小组上台展示，派两名同学，一名负责画，一人负责讲解。生画完图后，师做如下追问：追问：你是用什么方法把点A，B转化在在直线异侧的？为什么此时的AB是最短的？依据是什么？AB+AC跟AB有何关系呢？依据是什么？追问：为什么要做A点的对称点？用意是什么？ 为什么这样做出来的AB就是最短的？你们的依据是什么？ AB+AC跟AB有何关系呢？依据是什么？)师：恩，有道理。你们也是用的这个方法吗？还有没有其他方法？生：展示方法2师：我们发现这两种方法找到的C点是同一个点，这两种方法都非常巧妙地通过找其中一个点关于l的对称点，从而转化成小卖部问题来解决的，它们本质上完全一样，那这两种方法是正确的吗？此时找到的C点，一定使得AC与BC的和最短吗？师：这就需要我们通过严密的数学逻辑推理来证明。师：要证明最短问题，最短最短，那是不是要有比较才有最短？那怎样才会有比较呢？生：再选一个点师：那这个点选在哪里呢？对C点的位置有没有要求?生：在l上，不能与C重合就可师：选这可不可以？选这儿呢。接下来，连接AC，BC师：要证明AC + BC最短，就需证明AC + BC AC+ BC（学生先独立思考，画图分析，然后小组合作交流，最后全班展示。）师：看来，刚才两种方法都是正确的，这两种方法都巧妙的利用轴对称，通过找其中一个点关于l的对称点，从而将A、B在l的同侧问题转化成了A、B在l的异侧问题来解决，也就是把我们不熟悉的较难的问题转化成了熟悉的简单的问题来解决，这体现了数学中的转化思想。师：同学们，你们知道吗？这个问题就是传说中的著名的将军饮马问题，它最后是在一位精通数学和物理的学者海伦的帮助下才解决的，海伦的方法也和大家刚才想到的方法完全一样所以孩子们，你们能在这么短的时间内就解决了这个问题，真的非常棒！师：同学们，将军饮马问题虽然解决了，但将军的思考并没有停止，一年以后，将军又遇到了一个新的问题，我们来看看。【设计意图】 此环节以数学史中的典型问题将军饮马问题展开对最短路径问题的探索，通过问题串引领学生经历将实际问题数学化的过程，借助轴对称变换将难以解决的“同侧线段和”问题转化为容易解决的“异侧线段和”问题，体会转化思想的优势化难为易、化繁为简三反观课题，提炼总结同学们，通过今天的学习，你学到了什么？感受到了什么？（小组讨论）最短路径问题的依据：两点之间线段最短最短问题的解决方法：利用轴对称，将异侧问题转化成同侧问题，体现转化思想。数学来源于生活，也服务于生活。【设计意图】课堂总结时，教师留给学生足够的“悟”的时间与空间，引导学生去总结经验、把握规律并感悟方法，促使学生真正做到举一反三，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础四拓展提高，变式练习如图，将军要从大桥AB的P处前往山脚下的Q处视察军情,然后再到笔直的河岸边BC饮马，再回到P处,请画出将军的最短路径。（学生先独立思考、画图分析，展台展示两种方法。）【设计意图】此环节重点引导学生运用类比的方法，自主探索造桥选址问题，进一步明确运用平移变换将“两定点+ 两动点”的最短路径问题转化为“两定点+一动点”的最短路径问题的方法，体会类比学习和转化思想的价值和精髓 五.作业布置必做：数学书93页拓广探索15题。 选做：反思探索最短路径问题的全过程，将研究心得写成报告或小论文。【设计意图】课堂总结时，教师留给学生足够的“悟”的时间与空间，引导学生去总结经验、把握规律并感悟方法，促使学生真正做到举一反三，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础必做题目的是为了巩固和运用今天所学的知识，选做题，在学生已有的认知基础上，提出新的问题，激发学生的想像能力