大一高数考试题库资料 另附 高数学习方法+高数公式库(.doc

学年第二学期期末考试试卷（同济大学版）附答案 一、单选题（共15分，每小题3分）1设函数在的两个偏导， 都存在，则 ( )A在连续 B在可微 C 及 都存在 D存在2若，则等于（ ） 3设是圆柱面及平面所围成的区域，则） 4 4若在处收敛，则此级数在处（ ） A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定5曲线在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1设，则 .2交 换的积分次序后，_3设，则在点处的梯度为 .4. 已知，则 .5. 函数的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6-7分）1.（本小题满分6分）设, 求,.2.（本小题满分6分）求椭球面的平行于平面的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数在点处沿向量方向的方向导数。4. （本小题满分7分）将展开成的幂级数，并求收敛域。5（本小题满分7分）求由方程所确定的隐函数的极值。6（本小题满分7分）计算二重积分及围成.7.（本小题满分7分）利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）.8.（本小题满分7分）计算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.四、综合题（共16分，每小题8分）1（本小题满分8分）设级数都收敛，证明级数收敛。2（本小题满分8分）设函数在内具有一阶连续偏导数，且，证明曲线积分与路径无关若对任意的恒有，求的表达式参考答案及评分标准一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A二、填空题（共15分，每小题3分）1.-1 2. 3. 4 5. (2,2)三、解答题（共54分，每小题6-7分）1解：; (3分) =+ ( 6分).2. 解：记切点 则切平面的法向量为满足： ，切点为：或 (3分)，切平面： ( 4分)， 法线方程分别为：或者 ( 6分)3. 解： ( 3分), ( 7分)4. 解：=, ( 2分)因为 ，,所以=,其中 ，即.( 5分)当时，级数为发散；当时，级数为发散,故=， ( 7分)5. 解：由, 得到与, ( 2分) 再代入，得到即。 由此可知隐函数的驻点为与。 ( 4分)由，可知在驻点与有。( 5分)在点，因此 ，所以为极小值点，极小值为；( 6分)在点，因此 ，所以为极大值点，极大值为， ( 7分)6. 解：记，则.（2分） 故 ( 4分) （7分）7. 解：所围区域：,由格林公式，可得= =.(7分)OOOOO装O订O线OOOOOxyz118. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，所以 ( 4分)=. (7分)四、综合题（共16分，每小题8分）1证明：因为，（2分）故存在N，当时，因此收敛。（8分）2证明：因为，且，故曲线积分与路径无关（4分）因此设，从而，（5分），（6分）由此得对任意成立，于是，即（8分）大一学年第一学期期末考试试卷11、 极限概念：=_ 。2、连续（与可导）。 设，若在处连续,则 = _；若不连续，则是第_ 类间断点。3、极限， ？设 ，求常数 。已知，求。 存在，求。4、等价无穷小： 当时，和等价求常数 。5、设，函数是否可微？6、高阶导数：7、导数定义：（1）已知 ，则：（2）可导函数有，对任何均满足，则（3）已知，是连续的函数，求。（4）讨论函数 在处的导数。8、求导数：（1）、，求 （2）、 求 （3）、函数由方程所确定，求（4）、（5）、，求 9、导数的几何意义、物理意义、经济含义。（1）设商品的需求函数为，求时的需求价格弹性和收益价格弹性，并说明其经济意义。（2）设有周期函数 ，周期为5，可导，如果：，求曲线在点处的切线方程。（4）设曲线和相切，求。大一学年第一学期期末考试试卷2一、填空题1 函数的极小值为 。2. 曲线在点（1，2）处的切线方程是 。3. 函数f (x)=1x3x5,则f (x3x5)= 4ex dx= 。 5、微分方程的通解为 。6、通解为的微分方程是 。二、选择题7 设函数，则（ ） （A）为无穷间断点； （B）为可去间断点； （C）为跳跃间断点； （D）为非无穷第二类间断点。8. 设函数可微，则的微分=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）9. 设函数y = f (x)可导，且，则当时，该函数在x0处的微分是 .（A）x的等阶无穷小； （B）x的同阶无穷小；（C）x的高阶无穷小； （D）x的低阶无穷小10. 对于不定积分，在下列等式中正确的是 .（A）； （B）；（C）； （D）11. 的间断点类型是（ ） （A）可去； （B）跳跃； （C）无穷； （D）A、B、C都有.12、微分方程的通解为（ ）A、; B、; C、; D、;13、设,则( ) A、; B、; C、; D、;14、方程的特解形式为（ ）A、; B、;C、;D、;三、解答题15、设，且存在，求16、17、求（用两种方法）18. 设： 求 19. 已知函数，试求：（1）的单调区间；（2）的凹凸区间及拐点；（3）曲线的渐近线.20.设函数在a,b上连续，在(a, b)上可导且，试证明存在，使得21、设，求。22. 设非负函数在上满足 ，曲线与直线及坐标轴围成图形的面积为2，求函数大一学年第一学期期末考试试卷3一、选择题1. 下列函数中,奇函数是（ ） ; ; ; 2. 当时,下列哪个是的高阶无穷小（ ）; ; . （ ） ; ; ; . （ ） ; ; ; .5. 下列论断正确的是（）A、 可导极值点必为驻点B、 极值点必为驻点 C、 驻点必为可导极值点D、 驻点必为极值点6、已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而 满足微分方程，则曲线的方程为（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。7、下列方程中，设是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ） (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。二、填空题 . . . 13. 若，则f(x)=_。14、微分方程的特解可设为 。15、函数在点处具有任意阶导数，则在处的Taylor展开式中的Taylor系数 三、计算题 20. 设函数f(x)，g(x)在a,b上连续且f(a)g(a)，f(b)g(b)，求证：在（a,b）内，曲线y=f(x)与y=g(x)至少有一个交点。北京邮电大学高等数学综合练习题一、填空：1. 函数的定义域为_.1. 函数的定义域为_.2. 若的定义域为，则的定义域为_. 3. 若的定义域为，则的定义域为_.4. 若的定义域为，则的定义域为_.5. 若，则=_.6. 若，则=_.7. 若，则=_.8. 若，则=_.9. 若，则=_.10. 设为偶函数，为奇函数，定义域均为. 若.则=_, =_.11. 若，则=_.12. 函数的反函数为_.13. 函数的反函数为_.14. 若，则=_.15. ln(x+1)与x是当_时的等价无穷小.16. 与是当_时的等价无穷小.17. 若 在=0处连续，则=_. 18. 若在定义区间内连续，则=_.19. 若在定义区间内连续，则=_.20. 若在处连续，则=_.21. 的间断点为_.22. 若=0，=-3，则=_.23. 若，则=_.24. 若=2，则=_.25. 若=3，则=_.26. 设存在二阶导数且，若，则_.27. 曲线在（e，e）点处的切线方程为_.28. 函数的单调增加区间为_.29. 若在点处有极大值且存在，则=_.30. 曲线的拐点为_.31. 若是的一个原函数，则=_.32. 若，则=_.33. 若，则_.34. 设是上的连续函数，则=_.35. 设是上的连续函数，则=_.36. 微分方程的通解为_.二、单项选择：1. 函数的定义域为（ ）.A. (1, 4) B. -4, -1 C. (-4, -1) D. 1, 42. 函数与相同的区间是（ ）.A. (-, 0) B. (0, +) C. (-, +) D. (-1, 1)3. 下列四组函数中与表示同一函数的是（ ）.A. ， B. ，C. ， D. ，4. 若，则=（ ）.A. 64 B. 16 C. D. 5. 下列函数中是奇函数的是（ ）.A. B. C. D. 6. 若，则=（ ）.A. B. C. D. 7. 函数的反函数y =（ ）.A. B. C. D. 8. 函数的反函数（ ）. A. B. C. D. 9. 是当（ ）时的无穷小. A. B. 1 C. 0 D. -110. 是当（ ）时的无穷小. A. - B. + C. -1 D. 111. 当=（ ）时， 在=0处连续.A. 2 B. -2 C. 0 D. -412. 设在的某邻域内有定义，若，则=（ ）.A. 1 e B. e C. 1 D. 013. 若=3，则=（ ）.A. 3 B. 3 C. 6 D. 614. 若 存在，则=（ ）. A . B. C. D. 015. 若，则（ ）.A. 2 B. C. 1 D. 1 16. 设曲线在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为（ ）.A . (0, 1) B. (1, 1) C. (1, 0) D. (0, 0)17. 函数的单调减少区间为（ ）. A. B. C. (-, 0) D. (0, +)18. 设存在二阶导数，如果在区间内恒有（ ），则在内曲线上凹.A. B. C. D. 19. 若，=（ ）.A. B. C. D. 20. 若是的一个原函数，则=（ ）. A. B. C. D. 21. =（ ）.A. 0 B. C. D. 22. 若，则=（ ）. A. B. C. D. 23. 若，则=（ ）. A. B. C. D. 24. 微分方程是（ ）阶微分方程.A. 2 B. 3 C. 4 D. 525. 微分方程的通解为（ ）. A. B. C. D. （c为任意常数）三、计算下列极限： 1. 2.3. 4.5. 6.7. 8.9. 10.11. 12.13. 14.15. 16.17. 18.19. 20. 21. 22.23. 24. 25. 26.27. 28.29. 30.31. 32. 四、求下列导数或微分： 1. 设，求.2. 设，求.3. 设，求.4. 设，求.5. 设，求.1. 设，求.2. 设，求.3. 设，求.4. 设，求.5. 设，求.6. 设，求.7. 设，求.8. 设，求.9. 设，求.10. 设，求.11. 设，求.12. 设，求.13. 设，求.14. 设，求.15. 设，求.16. 设，求、.17. 设，存在且不为零，求、.18. 设，求、.19. 设，求、.20. 设，求.21. 设，求.22. 设，求.23. 设，求.五、求下列各积分：1. 2.3. 4.5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.25. 26.27. 28. 29. 30.六、求解下列各题：1. 求函数的极值.2. 求函数的极值.3. 求函数的极值.4. 求曲线的凹凸区间及拐点.5. 求函数的图形的凹凸区间及拐点.6. 证明：当时，有成立.7. 证明：当时，有成立.8. 设是内的可导函数，若令，用导数定义证明：是奇函数.9. 若是奇函数且连续，证明：是偶函数.10. 求由曲线和所围成的平面图形的面积.11. 求由曲线和所围成的平面图形的面积.12. 求由曲线与所围成的图形的面积.13. 求由曲线、和所围成的平面图形的面积.14. 求由曲线、和所围成的平面图形的面积.15. 求由曲线、和所围成的平面图形的面积.16. 求由与和x轴所围成的平面图形的面积.17. 求由曲线、和所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的立体的体积.18. 求由曲线和所围成的平面图形绕y轴旋转一周所成的立体的体积.19. 求微分方程的通解. 20. 求微分方程的通解.1、当时，与相比较是 无穷小。2、 3、曲线在处的切线斜率为 4、当满足条件_时，积分收敛5、曲线的极值点是 6、设函数则 7、若，则 8、 9、若，则 10、微分方程的通解为_1、当时，与相比较是 无穷小.2、设函数，则 .3、设，则方程有 个实根.4、当满足条件_时，积分收敛.5、设函数，则 .6、函数的极值点是 .7、 .8、若，则 .9、 .10、微分方程的通解为_.一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、函数的定义域为（ ）A B C D 2、函数在处是在处连续的( )A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 无关条件3、函数在处（ ）A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义4、 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D.5、设，则_. A B. C. D. 二、单项选择题（每小题2分，共10分）1函数的定义域为（ ）.A； B. ； C. ； D. 2、若在的邻域内有定义，且，则（ ）.A 在处有极限，但不连续； B 在处有极限，但不一定连续;C 在处有极限，且连续； D在处极限不存在，且不连续。3、函数在处（ ）.A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义4、若，则（ ）. A 3； B 5; C 2； D 15、若是的原函数，则（ ）. A ; B C ; D 二、 计算题（每小题8分，共32分）1、求2、设方程确定隐函数，求3、设 求4、求解微分方程三、计算题（每小题8分，共32分）1、求2、设由确定，求3、求曲线在点（0，1）处的法线方程4、求解微分方程四、计算题（每小题10分，共20分）1、求2、求四、计算题（每小题10分，共20分）1、求2、求五、应用题（12分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？五、应用题（12分）要建造一个体积为的圆柱形封闭容器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材料最省？六、证明题（6分）证明不等式 .六、证明题（6分） 若在时连续且单调增加，试证也单调增加。经济数学微积分复习提纲第一章函数1、函数的定义域及分段函数的求值。2、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。3、常用的经济函数(需求函数、供给函数、总成本函数、总收益函数、总利润函数、库存函数)第二章极限与连续1、无穷小的定义与性质。 1）极限为零的变量称为无穷小量。注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数. （2）零是常数中唯一的无穷小量。 2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。 3）函数极限与无穷小的关系： 的充要条件是 ，其中A为常数，。2、无穷大的定义。 在某一变化过程中，若f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)为此变化过程中的无穷大量。 注：无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。3、无穷大与无穷小互为倒数。4、极限的运算法则。 见教材P48 定理1、2、3、4及推论1、25、两个重要极限。 会用重要极限求函数极限。6、会用等价无穷小代替求极限7、连续的定义。见教材P66函数f(x) 在点x0处连续，必须同时满足三个条件：1) 在点x0处有定义；2）存在 ；3）极限值等于函数值，即 。8、函数在点连续的充分必要条件是：既左连续又右连续。9、函数在点处连续与该点处极限的关系： 函数在点处连续则在该点处必有极限，但函数在点处有极限并不一定在该点连续。10、如何求连续函数的极限 连续函数极限必存在，且极限值等于函数值，即 111、对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。12、如何求连续区间？ 基本初等函数在其定义域内是连续的； 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。13、间断点的定义。14、间断点的类型。（一）第一类间断点 1、可去间断点（1）在处无定义，但存在。（2）在处有定义，在处左右极限存在且相等，但是 。 2、跳跃间断点： 在点处左右极限都存在，但不相等 。 第一类间断点的特点:函数在该点处左右极限都存在.（二）第二类间断点(若左右极限中至少有一个不存在，称为第二类间断点。) 1、无穷间断点。 2、振荡间断点。有关习题如下：P47 3 P53 2,3,4 P62 1,2 P65 1,2,3 P73 2,3,5,6第三章导数、微分、边际与弹性1、函数在点处可导的充要条件是： 在点处的左右导数都存在且相等，2、判断分段点处是否可导：在分段点处应按定义求出左右导数，在分段点处左右导数都存在且相等，则分段点可导。3、连续与可导的关系：若函数在点可导，则函数在点连续。反之不然4、函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。5、切线方程、法线方程6、隐函数的求导法、参数方程所表示函数导数 。7、对数求导法8、可微的定义。9、函数在点可微的充要条件是函数在点可导有关习题如下：P91 7,11,12,15 P100 2,3,5,6,7,10 P105 1,2 P112 1,4,6 P122 3, 4第四章中值定理及导数的应用10、中值定理的内容。11、洛必达法则。12、函数单调性判别法：求极值步骤：13、求最大（小）值的步骤：14、函数的凹凸性及拐点的定义及判断方法15、导数在经济中的应用(最大利润问题、最大收益问题、经济批量问题、最大税收问题等)有关习题如下：P142 2 P147 1 P162 1,2,4,5 P168 3第五章不定积分1、原函数与不定积分的关系：全体原函数构成不定积分。即 。积分运算与微分运算有如下互逆关系：1)或 .2) 或 .2、不定积分的换元法和分部积分法。第一类换元法（凑微分法） 。第二类换元法分部积分法有关习题如下：P183 1 P197 1 P203 1第六章定积分1、定积分的性质。2、定积分中值定理。3、为积分上限的函数（或变上限的定积分）。 它的导数是 4、牛顿莱布尼兹公式，又叫微积分基本公式。5、定积分的换元法、分部积分法6、定积分的经济应用