参数导数极坐标.doc

2已知函数(1)若在点处的切线方程；(2)若，在上的最小值为，求实数的值；(3)证明：当时，1.已知函数(其中)（）当时，求函数的图象在处的切线方程；（）若恒成立，求的取值范围；（）设，且函数有极大值点，求证：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）当a=1时，2，由此利用导数的几何意义能求出函数f（x）的图象在x=1处的切线方程（）由不等式f（x）1，得2a恒成立，令（x）=（x0），则（x）=，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围（）由g（x）=f（x）+x2=，得，分类讨论求出a=，由x0f（x0）+1+ax02=，令h（x）=，x（0，1），则，利用构造法推导出h（x）0，由此能证明x0f（x0）+1+ax020【解答】解：（）当a=1时，f（x）=lnx2x，则2，x0，f（1）=2，f（1）=1，函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y（2）=（x1），即x+y+1=0（）不等式f（x）1，即lnx2ax1，2axlnx1，x0，2a恒成立，令（x）=（x0），则（x）=，当0xe2时，（x）0，（x）单调递增，当xe2时，（x）0，（x）单调递减，当x=e2时，（x）取得极大值，也为最大值，故（x）max=（e2）=，由2a，得a，实数a的取值范围是，+）（）证明：由g（x）=f（x）+x2=，得，当1a1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意；当a1或a1时，令g（x）=0，设x22ax+1=0的两根为x0和x，x0为函数g（x）的极大值点，0x0x，由=1，知a1，0x01，又由g（x0）=0，得a=，=，0x01，令h（x）=，x（0，1），则，令，x（0，1），则，当时，（x）0，当时，（x）0，（x）max=（）=ln0，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1）=0，x0f（x0）+1+ax020请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系中，双曲线的参数方程为(为参数),设的右焦点为,经过第一象限的渐进线为以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线的极坐标方程；（2）设过点与垂直的直线与轴相交于点,点是上异于原点的点,当四点在同一圆上时,求这个圆的极坐标方程及点的极坐标【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为（2，），由此能求出点P的极坐标【解答】解：（1）双曲线E的参数方程为（为参数），=1，双曲线E的普通方程为直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，l的极坐标方程为（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），AOOF，线段AF为圆C的直径，由（）知，|OF|=2，又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，AFO=，|AF|=4，于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为（2，），圆C的极坐标方程为，此时，点P的极坐标为（4cos（），），即（2，）选修4-5：不等式选讲23.已知函数,其中（1）当时,求不等式的解集；（2）若,不等式恒成立,求的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（1）当a=2时，分类讨论，即可求不等式f（x）2x+1的解集；（2）若xR，不等式f（x）|x+1|恒成立，|a+a|x+1|2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）2x+1为|x2|2x+30x2时，不等式化为x22x+30，即x1，x2；x2时，不等式化为x+22x+30，即x，x2，综上所述，不等式的解集为x|x；（2）xR，不等式f（x）|x+1|恒成立，即|a+a|x+1|2a恒成立，|a+a|x+1|a1|，|a1|2a，21已知曲线在处的切线方程为.（）求的极值；（）证明：时，(为自然对数的底数)【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出f（x）的导数，计算f（1），f（1），求出切线方程，根据系数对应相等，求出a，b的值，从而求出函数的极值即可；（）问题等价于xln xxex，分别令g（x）=xlnx，h（x）=xex，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）f（x）=aex1，f（1）=ae1+b，f（1）=ae1，故切线方程是：yae+1b=（ae1）（x1），即y=（ae1）+b=（e1）x1，故a=1，b=1，故f（x）=exx1，f（x）=ex1，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，故f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，故f（x）极小值=f（0）=0；（）证明：由（）f（x1）+x=ex1，故问题等价于xln xxex设函数g（x）=xln x，则g（x）=1+ln x，所以当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，从而g（x）在（0，+）上的最小值为g（）=，设函数h（x）=xex，则h（x）=ex（1x）所以当x（0，1）时，h（x）0；当x（1，+）时，h（x）0故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，从而h（x）在（0，+）上的最大值为h（1）=；因为gmin（x）=h（1）=hmax（x），所以当x0时，g（x）h（x），故x0时，exlnx+2选修4-4：坐标系与参数方程22已知在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数),在以原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的方程为.（）求曲线C的极坐标方程；（）求直线被曲线C截得的弦长【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（）求出曲线C的普通方程，即可求曲线C在极坐标系中的方程；（）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求直线l被曲线C截得的弦长【解答】解：（）曲线C的参数方程为（为参数），普通方程为x2+（y2）2=4，即x2+y24y=0，曲线C在极坐标系中的方程为=4sin；（）直线l的方程为cos（）=2，即x+y4=0，圆心到直线的距离d=，直线l被曲线C截得的弦长=2=2选修4-5：不等式选讲23已知函数（）当时，求不等式的解集；（）证明：.【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）当a=1时，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质证明即可【解答】（）解：a=1时，f（x）=|x+1|+|x2|5，x2时，x+1+x25，解得：x3，1x2时，x+1+2x5，无解，x1时，x1x+25，解得：x2，故不等式的解集是x|x3或x2（）证明：f（x）=|x|+|x+2a|x+2a+x|=|2a|+|2，当且仅当|2a|=|，即a=时”=“成立（21）（本小题满分12分）已知函数且.（I）若，求函数的单调区间；（其中是自然对数的底数）（II）设函数，当时，曲线与有两个交点，求的取值范围. 请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，参数，为上的动点，满足条件的点的轨迹为曲线（I）求的普通方程；（II）在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线与分别交于两点，求（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，关于的不等式的解集记为.（I）求；（II）已知，求证：.（21）解：（I）定义域时， 1分由得增区间为， 2分由得减区间为 3分（II）联立与得=， 令则 4分（1） 当时， 由得，在上单调递增由得，在上单调递减 5分由题意得 6分令，则，单调递增， 7分令单调递增，时，合题意8分（2） 当时， 由得，在上单调递增由得，在上单调递减 9分由题意得 10分令单调递减， 11分令，