大学物理授课教案第十九章原子的量子理论.doc

第十九章 原子的量子理论19-1 玻尔的氢原子理论自1897年发现电子并确定是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题之一就是探索原子内部的奥秘。人们逐步弄清了原子的结构及其运动变化的规律，认识了微观粒子的波粒二向性，建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系量子力学。量子力学是近代物理学中一大支柱，有力地推动了一些学科（如化学、生物、）和技术（如半导体、核动力、激光、）的发展。本章介绍量子理论的一些基本概念。一、原子光谱的实验规律光谱分为下面三类：线光谱：谱线是分明、清楚的，表示波长的数值有一定间隔。（所有物质的气态原子（而不是分子）都辐射线光谱，因此这种原子之间基本无相互作用。）带状光谱：谱线是分段密集的，每段中相邻波长差别很小，如果摄谱仪分辨本领不高，密集的谱线看起来并在一起，整个光谱好象是许多段连续的带组成。 （ 它是由没有相互作用的或相互作用极弱的分子辐射的。）连续光谱：谱线的波长具有各种值，而且相邻波长相差很小，或者说是连续变化的。（如：太阳光是连续光谱。实验表明，连续光谱是由于固态或液态的物体发射的，而气体不能发射连续光谱。液体、固体与气体的主要区别在于它们的原子间相互非常强烈。）1氢原子光谱19世纪后半期，许多科学家测量了许多元素线光谱的波长，大家都企图通过对线光谱的分析来了解原子的特性，以及探索原子结构。人们对氢原子光谱做了大量研究，它的可见光谱如下图。其中从光波向短波方向数的前4个谱线分别叫做、，实验测得它们对应的波长分别为：、。在1885年从某些星体的光谱中观察到的氢光谱谱线已达14条。这年，瑞士数学家巴尔末(J.J.Balmer)，发现氢原子光谱在可见光部分的谱线，可归结于下式：式中为波长，称为里德伯常数。我们把可见光区所有谱线的总体称为巴尔末系。巴尔末是第一个发现氢原子光谱可组成线系的。1896年，里得伯用波数来代替巴尔末公式中德波长，从而得到光谱学中常见的形式：波数=单位长度内含有完整波的数目， （19-1）在氢原子光谱中，除了可见光的巴尔末系之外，后来又发现在紫外光部分核红外光部分也有光谱线，氢原子谱线系如下： （19-2）以上各谱线系可概括为： （19-3）式中依次代表赖曼系、巴尔末系、帕邢系、布喇开系、普丰特系。讨论：(1) 式（19-3）的意义：氢原子中电子从第个状态向第状态跃迁时发光波长德倒数。(2) 值不同，对应不同线系；同一不同值，和对应同一线系不同谱线。2里兹并合原理：对氢原子、波数可表示为 （19-4）式中，,它们均称为谱项。可见，波数可用两个谱项差表示，式（19-4）称为里兹并合原理。结论：对氢原子光谱情况可以总结出：(1)光谱是线状的，谱线有一定位置。(2)谱线间有一定的关系，如可构成谱线系。同一谱线系可用一个公式表示。(3)每一条谱线的波数可以表示为二光谱项差。说明：不同原子有不同形式的光谱项。二、玻尔的氢原子理论1808年，道尔顿为了阐述化学上的定比定律和倍比定律创立原子论，认为原子是组成一切元素的最小单位，是不可分的。1897年，汤姆孙通过阴极射线实验反县电子，这个实验以及其它实验证实了电子是一切原子的组成部分。原子是可分的。但是电子是带负电的，而正常原子是中性的，所以在正常原子中一定还有带正电的物质，这种带正电的物质在原子中是怎样分布的呢？这个问题成了19世纪末，20世纪初物理学的重要研究课题之一，它也困扰了许多物理学家。1903年，英国物理学家汤姆孙首先提出原子的模型来回答了这个问题。此模型称为汤姆孙模型。内容简述如下：原子是球形的，带正电的物质电荷和质量均匀分布在球内，而带负电的电子浸泡在球内，并可在球内运动，球内电子数目恰与正电部分的电荷电量值相等，从而构成中性原子。但是，此模型存在许多问题，如：电子为什么不与正电荷“融洽”在一起并把电荷中和掉呢？而且这个模型不能解释氢原子光谱存在的谱线系。不仅为此，汤姆孙模型与许多实验结果不符，特别是粒子的散射实验(见图)。1909年，卢瑟福进行了粒子散射模型，实验发现，绝大多数粒子穿透金属箔后沿原来方向（即散射角）或沿散射角很小的方向（一般为）运动，但是，也有1/8000的粒子，其散射角大小为，甚至接近，即被弹回原入射方上。如果按汤姆孙模型来分析，不可能有粒子的大角散射，因此此模型与实验不符。因此此模型就很快被人们放弃。1911年，卢瑟福在粒子散射的基础上提出了原子的核式结构，它被人们所公认。（一）原子的核式结构1、原子核型结构：原子中心有一带电的原子核，它几乎集中了原子的全部质量，电子围绕这个核转动，核的大小与整个原子相比很小。对氢原子，电子质量占原子质量的1/1873倍。原子线度，原子核线度。原子核式模型的实验基础：粒子散射实验。2、原子核式结构能解释实验结果按此模型，原子核是很小的，在粒子散射实验中，绝大多数粒子穿过原子时，因受核作用很小，故它们的散射角很小。只有少数粒子能进入到距原子核很近的地方。这些粒子受核作用（排斥）较大，故它们的散射作用也很大，极少数粒子正对原子核运动，故它们的散射角接近。3、原子核模型与经典电磁理论的矛盾如果核式模型正确的话，则经典电磁理论不能解释下列问题：（1）原子的稳定性问题按照经典电磁理论，凡是作加速运动的电荷都发射电磁波，电子绕原子核运动时是有加速度的，原子就应不断发射电磁波（即不断发光），它的能量要不断减少，因此电子就要作螺旋线运动来逐渐趋于原子核，最后落入原子核上（以氢原子为例，电子轨迹半径为，大约只要经过的时间，电子就会落到原子核上），这样，原子不稳定了，但实际上原子是稳定的，这是一个矛盾。（2）原子光谱的分立性问题按经典电磁理论，加速电子发射的电磁波的频率等于电子绕原子核转动的频率，由于电子作螺旋线运动，它转动的频率连续地变化，故发射电磁波的频率亦应该是连续光谱，但实验指出，原子光谱是线状的，这又是一个矛盾。新思想原子核模型与经典电磁理论的矛盾不是说明原子核模型不正确，因为原子核模型是以粒子散射实验为基础的，而是说明经典电磁理论不适用于原子内部的运动，这是可以理解的。因为，经典电磁理论是从宏观现象的研究中给出来的规律，这种规律一般不适用于原子内部的微观过程，因此，我们必须建立适用于原子内部微观现象的理论。（二）玻尔理论的基本假设玻尔根据卢瑟福原子核模型和原子的稳定性出发，应用普朗克的量子概念，于1913年提出了关于氢原子内部运动的理论，成功的解释了氢原子光谱的规律性。基本假设：1o 定态假设：电子在原子中可在一些特定的圆周轨迹上运动，不辐射光，因为具有恒定的能量，这些状态称为稳定状态或定态。2o 量子化假设：电子绕核运动时，只有电子角动量的整数倍的那些轨道上才是稳定的，即 (19-5)或 (19-6)式中，h为普郎克常数，r为轨道半径，n称为量子数。3o 频率条件：光电子从高能态向低能态轨道跃迁时，发射单色光的频率为： (19-7)说明：(1) 假设1o是经验性的，它解决了原子的稳定性问题；假设2o表述的角动量量子化原先是人为加进去的，后来知道它可以从德布罗意假设得出；假设3o是从普朗克量子假设引申来的，因此是合理的，它能解释线光谱的起源。(2) 此假设提出了与经典理论不相容的概念：定态概念： 虽然电子做加速运动，但不辐射能量；量子化概念：角动量及能量不连续，是量子化的；频率条件：频率是由初终二态原子的能级差决定的，这与经典理论中原子发射光的频率等于电子绕核运动的效率相违背。（三）用玻尔理论计算氢原子轨道半径及能量1、氢原子轨道半径设电子速度为，轨迹半径为，质量为，可知：即 (19-8)由量子化条件： 得 ，代式(19-8)中有如此得电子轨迹半径为： （） （19-9）时，称为玻尔半径。电子轨迹半径可表示为 （19-10）可见，电子轨迹只能取分立值，。如图19-2。结论：电子运动轨迹半径是量子化的，即电子运动轨道量子化。2、氢原子能量氢原子能量等于电子动能与势能之和，当电子处于第个轨迹上时，有： （19-11）由式（19-8）知，代入上式中有 （） （19-12）时，是氢原子最低能量，称为基态能量。时称为激发态。电子在第个轨道上时，氢原子能量为 （19-13）可知，氢原子的能量只能取下列分立值：，这些不连续能量称为能级。讨论：原子的能量是量子化的。（时，能量连续）（四）玻尔理论解释了氢原子光谱的规律性1、能级图（能级与谱线对应关系）可解释谱线系问题。2、里德伯常数理论值与实验值相符按玻尔理论，电子从态向态跃迁时，根据频率公式有波长倒数为： （19-14）式中，。又知（见里德伯公式中值），可见，与符合。这样，玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的规律性。（五）对玻尔理论的评价1、玻尔理论建立的基础与成功之处（1）光谱的实验资料和经验规律；（2）以实验为基础的原子的核式结构模型；（3）从黑体辐射发展出来的量子论。玻尔在以上基础上研究了原子内部的情况，在原子物理学中跨出了一大步。它成功在于圆满地解释了氢原子及类氢类系的谱线规律。玻尔理论不仅讨论了氢原子的具体问题，这还包含着关于原子的基本规律，玻尔的定态假设和频率条件不仅对一切原子是正确的，而且对其它微观客体也是适用的，因而是重要的客观规律。2、玻尔理论的缺陷玻尔理论不能解释结构稍微复杂一些的谱线结构（如碱金属结构的情况），也不能说明氢原子光谱的精细结构和谱线在匀强磁场中的分裂现象。1915年1916年，索末菲和威尔逊，各自独立地把玻尔理论推广到更一般的椭圆轨迹，考虑到相对论校正，并考虑到在磁场中轨迹平面的空间取向，推出一般的量子化条件，对这些理论，虽然能够得出初步的解释，但对复杂一点的问题，如氦和碱土元素等光谱，以及谱线强度、偏振、宽度等问题，仍无法处理。这一系列突出地暴露了玻尔索末菲理论的严重局限性。在玻尔索末菲理论中，一方面把微观粒子（电子、原子等）看作经典力学的质点，用坐标和轨迹等概念来描述其运动，并用牛顿定律计算电子的规律；另一方面，又人为地加上一些与经典理论不相容的量子化条件来限定稳定状态的轨迹，但对这些条件提出适当的理论解释。所以，玻尔索末菲理论是经典理论对量子化条件的混合体，理论系统不自给。这些成了玻尔索末菲理论的缺陷。尽管如此，玻尔索末菲理论对学电子系统和碱金属问题，在一定程度上还是可以得到很好的结果。这在人们在原子结构的探索中是重要的里程碑。例19-1：氢原子从n=10、n=2的激发态跃迁到基态时发射光子的波长是多少？解：，依题意知：，所以：，n=10：；n=2：。例19-2：求出氢原子巴尔末系的最长和最小波长？解：巴尔末系波长倒数为 （n=3,4,5,）（1）n=3时，（2）时，例19-3：求氢原子中基态和第一激发态电离能。解：氢原子能级为 （n=1,2,3,）（1）基态电离能=电子从n=1激发到时所需能量；（2）第一激发态电离能=电子从n=2激发到时所需能量。19-2实物粒子的波粒二象性一、德布罗意假设根据所学过的内容，我们可以说，光的干涉和衍射等现象为光的波动性提出了有力的证据，而新的实验事实黑体辐射、光电效应和康普顿效应则为光的粒子性（即量子性）提供了有力的论据。在1923年到1924年，光的波粒二象性作为一个普遍的概念，已为人们所理解和接受。法国物理学家路易德布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面一样，对实物粒子的认识或许也是片面的，二象性并不只是光才具有的，实物粒子也具有二象性。德布罗意说道：“整个世纪以来，在光学上，比起波动的研究方面来，是过于忽视了粒子的研究方面；在物质粒子理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把关于粒子的图象想的太多，而过分地忽视了波的图象？”德布罗意把光中对波和粒子的描述，应用到实物粒子上，作了如下假设：每一运动着的事物粒子都有一波与之相联系，粒子的动量与此波波长关系如同光子情况一样，即 （19-15） （19-16）式（19-15）或（19-16）式称为德布罗意公式，与实物粒子相联系的波称为德布罗意。 说明： 。讨论：以电子为例，电子经电场加速后，设加速电压U，电子速率v0）时，则必然无法精确测量（0时，），反之亦然。（2）测不准关系是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。（3）对微观粒子不能用坐标和动量描述其运动状态。（4）测不准关系推广到三维情况：例19-6：在电子单缝衍射中，若缝宽为，电子束垂直如射在单缝上，则衍射电子横向动量的最小不确定度为多少？解：，即 依题意有动量最小不确定量为 （=）例19-7：一电子具有200的速率，动量不确定度为，确定电子位置时，不确定量为多少？ 解： 已确定原子大小的数量级为m，电子则更小，在这种情况下，电子位置不确定量电子本身线度，所以，此时必须考虑电子的波粒二象性。例19-8：一光子波长为，测定此波长时产生的相对误差为，试求光子位置不确定量。解：， 19-4粒子的波函数 薛定谔方程对宏观物体可用坐标和动量来描述物体的运动状态，而对微观粒子不能用坐标和动量来描述状态，因为微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同时测定。那么，微观粒子的运动状态用什么描述呢？遵守的运动方程又是什么呢？为解决此问题，必须建立新的理论。在一系列实验的基础上，经过德布罗意、薛定谔、海森堡、玻恩、狄拉克等人的工作，建立了反映微观粒子属性和规律的量子力学。量子力学是研究微观客体运动的一门科学。反映微观粒子运动的基本方程是薛定谔方程，微观粒子运动状态用薛定谔方程的函数（波函数）来表述。一、波函数1、自由粒子（无外界作用）波函数沿+x方向传播的单频平面余弦波为对机械波，表示位移，对电磁波，可表示电场强度和磁场强度，等等。上式可用指数形式的实部来表示，即，令即 （19-22）对于自由粒子（沿+x方向运动），其动量和能量都为常量。由德布罗意假设 可将（19-12）化成（） （19-23）式（19-23）是与能量为、动量为、沿+x方向运动的自由粒子相联系的波。此波称为自由粒子的德布罗意波，称为自由粒子的波函数。推广：三维情况 或：2、波函数的统计解释机械波的波函数表示介质中各点离开平衡位置的位移，电磁波的波函数表示空间各点电场或磁场强度，等等。那么，物质波的波函数表示什么呢？这个问题在一段时间内困扰了不少的物理专家，他们先后提出过不少的解释，现在人们普遍接受的是玻恩提出的统计解释，说明如下。对光的衍射波动观点：光强光波振幅平方 光子数光波振幅平方粒子观点：光强光子数即：某处出现光子的几率与该处光波振幅平方成正比对电子衍射。波动观点：波强波函数振幅平方 电子数波函数振幅平方粒子观点：波强电子数即：某处出现电子的几率与该处波函数振幅平方成正比对其他粒子，此结论也成立。波函数统计解释：某时刻，在某点找到粒子的几率与该点处波函数振幅绝对值平方成正比。（一般情况下，波函数是复数）3、波函数统计解释对波函数的要求(1)波函数的归一化由波函数统计意义知，时刻，在处内发现粒子数几率如果把波函数乘上适当因子，使时刻在处出现粒子几率，在整个空间内粒子出现几率为即 （19-24）式（19-24）称为波函数的归一化条件。它表明：粒子在全空间找到的几率=1。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。下列二式物理意义：（a）（或）意义：粒子在时刻出现在处单位体积内的几率（几率连续）（b） 意义：粒子在时刻出现在附近体积元内的几率。(2)波函数的标准条件单值性（几率单值的要求） 有限性（平方可积的要求）连续性（几率连续分布连续的要求）说明：（1）物质波不是机械波，也不是电磁波，而是一种几率波。由波函数的统计解释可以看出，对微观粒子讨论是无意义的，而决定状态的只能是波函数，从几率的角度去描述。（2）波函数本身无明显的物理意义，而只有（）才有物理意义，反映了粒子出现的几率。（3）描写微观粒子状态的波函数要满足归一化条件和波函数标准条件。（有时也可不归一化）（4）波函数是态函数，用几率角度去描述，反映了微观粒子的波粒二象性。二、薛定谔方程1926年，薛定谔在德布罗意物质波假说的基础上，建立了势场中微观粒子的微分方程，可以正确处理低速情况下各种微观粒子运动的问题，他所提出的这套理论体系，当时称为波动力学。后来证明，波动力学与由海森堡、玻恩等人差不多同时从不同角度提出的矩阵力学完全等价，现在一般统称为量子力学。1、一维自由粒子的薛定谔方程粒子波函数，令 只与有关，与无关，也称为波函数（定态波函数）。可知： 即 （19-25）此式为自由粒子一维运动的薛定谔方程（定态薛定谔方程）2、一维势场中粒子的薛定谔方程。 代中，有 （19-26）式（19-26）为一维势场中粒子的薛定谔方程。3、三维情况下粒子的薛定谔方程 式（19-27）此式为三维势场中粒子的薛定谔方程。说明：薛定谔方程不能从经典力学导出，也不能用任何逻辑推理的方