数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径.ppt

24 1 2垂直于弦的直径 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 问题情境 可以发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 1 圆的对称性 不借助任何工具 你能找到圆形纸片的圆心吗 由此你能得到什么结论 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 这个图形是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线段和弧 为什么 O A B C D E 1 是轴对称图形 直径CD所在的直线是它的对称轴 2 线段 AE BE 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 CD AB CD是直径 AE BE O A B C D E 归纳 下列图形是否具备垂径定理的条件 是 不是 是 不是 深化 垂径定理的几个基本图形 CD过圆心 CD AB于E AE BE 巩固 1 如图 AB是 O的直径 CD为弦 CD AB于E 则下列结论中不成立的是 A COE DOE B CE DE C OE AE 2 如图 OE AB于E 若 O的半径为10cm OE 6cm 则AB cm O A B E 解 连接OA OE AB AB 2AE 16cm 3 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 解 过点O作OE AB于E 连接OA 即 O的半径为5cm 弦心距 圆心到弦的距离 圆心到弦的距离 半径 弦构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 4 如图 CD是 O的直径 弦AB CD于E CE 1 AB 10 求直径CD的长 解 连接OA CD是直径 OE AB 设OA x 则OE x 1 由勾股定理得 x2 52 x 1 2 解得 x 13 OA 13 CD 2OA 26 即直径CD的长为26 AE AB 5 证明 作直径MN AB 推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等 如图 在 O中 设 O半径为R 弦AB a 弦心距OD d 弓形的高DE h 且OE AB于D 己知 求 1 R d a h 3 R a d h 4 d h R a 2 R h a d a R h d A B O D E 5 a h R d 归纳 1300多年前 我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4米 拱高 弧的中点到弦的距离 也叫弓形高 为7 2米 你能求出桥拱的半径吗 解决求赵州桥拱半径的问题 你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗 思考 如图所示 在Rt ABC中 C 900 AC 5cm BC 12cm 以C为圆心 AC为半径的圆交斜边于D 求AD的长 猜想 CD AB O B C D E 如图 CD是 O的直径 AB为弦 且AE BE A 如何证明 探究 O A B C D E 已知 如图 CD是 O的直径 AB为弦 且AE BE 证明 连接OA OB 则OA OB AE BE CD AB 此处的弦可以是直径吗 如果不能 请举出反例 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 CD AB CD是直径 AE BE O A B C D E 新知 CD是直径 CD AB AM BM 如果具备上面五个条件中的任何两个 根据圆的对称性 一定可以得到其他三个结论 一条直线满足 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 不是直径 4 平分弦所对优弧 5 平分弦所对的劣弧 只要具备上述五个条件中任两个 就可以推出其余三个 推广 1 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中 如果一条直线经过圆心且平分弦 必平分此弦所对的弧 圆是轴对称图形 直径是它的对称轴 练习 2 如图 有一段弧AB 你能用尺规将其平分吗 A B 3 如图 巳知 O1与 O2相交于A B两点 且AB 8 连结O1O2 则O1O2 AB 已知 O2的半径为 O1O2 求 O1的半径 O1 O2 A B 5 4 3 4 巳知 AB为 O的直径 CD为弦 AE