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培养学生命题转换能力的教学探索 张金良 海盐元济高级中学 314300摘要：命题转换是一种重要的数学思想方法，是学生思维灵活性与创造性的重要表现。本文通过对命题转换的心理机制及常用思想方法的分析，揭示了数学课堂教学中命题转换的教学策略和教学流程。关键词：命题转换；教学策略；教学实例。作者简介：张金良（62.4）； 特级教师； 教育硕士。命题转换是一种重要的数学思想方法，是学生思维灵活性与创造性的重要表现。如何培养学生的命题转换能力，提高学生数学解题的策略水平，始终是数学教师的工作重点。对此本文作出了有益的探索，供研讨。 1命题转换的心理机制与数学解题学习数学离不开解题，掌握数学意味着“学会了解题”。解题是一种创造性的活动,它通过观察、试探、猜测等寻找解题方法、实施解题方法、验证解题方法、研究解题方法，解题的实质是一个从未知到已知的转换过程，著名数学家波利亚有一句名言，解题的一个经常有用的办法就是“不断地变换你的问题”，他说，有时“我们不把题目变更几乎是不能有什么进展”。变换问题就是命题转换，通过一再改变问题的叙述和形式，改变观察分析问题的角度，使问题呈现出新的面貌，引发我们新的思考，新的联想，从而使问题获得解答。命题转换是数学解题活动中最常用的思想方法。从方法论角度看，命题转换是恰到好处地引入转换机制,充分发挥转换功能,采用迂回曲折的途径将一个的复杂问题转化一个易于解答的问题，实现问题的解答。从心理学角度看，命题转换是一种典型的数学思想方法，它贮存于解题者头脑中，个体可以对它作明确的陈述或描述，在解决问题的过程中个体对外来的信息按一定的顺序进行组织和加工，表现为具体的操作和步骤，对内又表现为一种方法与思路，在此意义上命题转换知识既是陈述性知识又是程序性和策略性知识。当学习者面对一个未知问题的问题情境，首先接触到的是一系列关于问题的描述，然后进行恰当的问题表征，问题表征又分为问题的字面理解和深层理解，这是大脑对整个问题情境作出的整体性反应，也就是所谓的“知觉”。知觉为个体提供必要的信息基础。面对一个新的问题情境解题者常常受到“知觉定势”的影响，情不自禁地与先前头脑中固有的“解题模式”进行对比。两者吻合时问题迎刃而解，冲突时进行命题转换，这就是说“知觉不是简单地将感官接受到的信息拼接相加，而是依据自己的已有经验对输入的刺激加以识别和理解”也就是说人脑对感知的信息具有“支配作用”，即主观能动性。命题转换在知觉定势的基础上展开，在思维定势的作用下进行，命题转换能否成功取决于思维定势的正负迁移，解题者要成功地解答问题就必须对转换过程进行自我监控，自我评价，自我分析，自我调整。而这种思维层次显然高于具体的转换，是对自身认知活动再认知，即元认知。元认知是高级的思维形式，它高于程序性和策略性的思维活动，元认知监控就是把自己正在进行的认知活动作为意识对象,不断地、积极地对其实施监视、控制和调节. 一般地,元认知监控贯穿于解题活动的全过程。它可以发生在认知活动之前或之后，也可以发生在认知活动过程中的任一时刻，元认知积极地协调解题者内部的认知方式与解题策略，努力实现命题转换。命题转换过程是一个交织着困惑与豁然开朗的跌宕起伏的过程，当解题陷入困境时，命题转换使我们“暗渡陈仓”，“柳暗花明”。2几种重要的命题转换技巧与思想方法命题转换的核心是变形，转换的方法多种多样，通常通过分解与重组，强化与弱化、变量代换、增设辅助元等方法实现已知与未知、数与形的转换、实际问题与数学问题的转换，具体地说有以下几种常用的转换思想方法与技巧：21系统转换。在解答数学问题有时需要一个系统转化成另一个系统，比如代数问题几何化，几何问题代数化等等。在实际解题过程中，我们常常看到函数、三角、方程、不等式之间的相互转换使得问题求解十分便利。22宾主转换。在处理含参数与主变元的有关问题时，突破思维定势，选择参变量为主元，反客为主，化难为易。例如，已知 ，当时，恒有，试求的取值范围。将参数为主元，将参数升格为主变量，可使问题解答简洁明快。23状态转换。通过“相等”与“不等”、“静”与“动”、“升”与“降”等互逆的状态转换，变被动为主动，使问题向有利于解决的方向转化。例如，已知圆C:直线l：(1+3k)x+(3-2k)y+4k-17=0,求证：对任意实数k，l与圆C总有两个交点。只要挖掘直线l中“静”的因素定点，则可获得简捷解答.24数形转换。对于那些构思精巧、条件隐蔽的数学问题,若能见数联形,用图形说话,则可使问题简捷获解。例如，5点到6点之间时针与分针在何时重合。可转化为函数图像来做，若时间用横轴x表示，旋转圈数用纵轴y表示，则5点到6点之间分针的运动方程为，时针的运动方程为，最后转化线段交点问题。25正反转换。对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题,可先攻其反面,从而使正面问题得到解决。例如已知方程x2+4mx-4m+3=0, x2+(m-1)x+m2=0, x2+2mx-2m=0中至少有一个实根,求实数m的范围. 正面考虑有七种情形，相当复杂，但从问题反面去考虑，则十分简单。26整体转换。所谓整体化方法就是暂时不注重于系统的某些因素的分析,暂时忽略或模糊系统的某些细节,而是重视元素之间的联系、系统的整体结构，从整体上考察问题的题设、题断以及它们的相互关系，从整体上把握解决问题的方向，并作出决策。整体与局部转换是一种重要的解题策略。例如求集合所有子集的所有元素和，用整体化方法易如反掌。又如判断函数的单调性.，只需判断f(x)在局部的0,+)上的单调性就知整个R上单调性。27视角转换。有时换一个视角看问题，问题解答势如破竹。例如03年全国高考理科19题（答分率0.14）：已知 设P：函数在R上单调递减.Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.，先将命题P与Q都当作真命题再运用一真一假条件求解就迎刃而解，可惜学生一上手就一真一假作答，结果半途而废。28结构转换。对某些问题,运用分组、分离、配凑、代换等恒等转换手段，改变问题的内部结构，容易显露其本质，获得问题的解决。如x,y,z，都是实数，且x+y+z=xyz求证：可用正切代换，变成一个三角恒等式。29维数转换。事物的空间形式，总是表现为不同维数且遵循由低维向高维的发展规律，通过降维转换,可把问题由一个领域转换到另一个领域而得到解决。这种转换在立几与复数处可见。210特殊与一般的转换。在对一般形式问题比较熟悉的情况下，将特殊形式的问题转化为一般形式的问题，这就是一般化法。反之，为特殊化法。一般化就是把数学问题中的数量、图形形状和位置关系等给予普遍化、抽象化、规律化，然后把特殊问题从原有范围扩展到包含该问题的更大范围来进行考察并加以解决。例如，在研究数的问题时，可以用一般化法把它化归为式的问题来解决；在研究方程和不等式时，也可以用一般化法把它们置身于函数之中来处理.。3培养学生数学命题转换能力的教学策略在培养学生数学命题转换能力的教学设计中，除了引导学生掌握上述常用的转换技巧与思想方法外，还需要在宏观上把握几个基本策略：31引导学生灵活地转换思维模式。数学问题的解决,往往依据一定的模式，教学中要启发学生积极探究,发掘题目的内涵，引导学生通过联想比较，提取储存在大脑中的模式，找出不同模式的解题特点，解题做到既有模式又能突破模式，驽轻就熟。32引导学生做思维迁移的主人。思维定势具有二重性，一方面表现出趋向性与专注性，当习惯性思维与解题思路吻合时，定势思维起积极作用，促进正迁移产生。另一面定势思维表现出机械刻板，使人们陷入习惯性思维而不能自拔，直至挫败。这时定势思维起消极作用，造成负迁移。教学时要多精选一些“类型外”的题目对学生加以训练，有意识地让学生做一些应用型题、开放型题。应用型题能使学生通过对实际问题的数学建模，体会如何用数学的字母、符号、表达式及辅助图完成对实际问题的数量关系及形体结构之表征，从而实现命题的转换；开放型题能使学生体会到在相同的已知条件下依不同的思维角度渠道可得到多种可能的结果,有助于培养学生发散思维的能力。有时还可选择些脑筋急转弯问题来强化逆向思维的训练，培养学生思维的灵活性，克服思维定势的负迁移。33引导学生不断转换命题的叙述与结构。对复杂问题采取适当的分解与重组、增加辅助元、简化题中若干条件，从而达到解决问题的目的。教学时要精选案例，进行必要的示范。4培养学生数学命题转换能力的教学过程培养学生数学命题转换能力可运用探究与发现的教学模式,其教学过程设计框图如下：未知问题目题感知观察分解与重组；强化与弱化；增设辅助元或命题；其他方法。新的命题习惯解法易解问题5 培养学生数学命题转换能力的教学实例例1：设，是两个方矩形的长和宽，且，。证明：可将第一矩形放入第二个矩形内部的充要条件是（1） 感知观察 一个长方形含在另一个长方形内，属于一个图形对另一个图形覆盖的实际问题，。（2）类型外问题 教材上未曾见过此类问题，是一个非常规性问题，属于类型外问题（3）命题转换1（增设辅助元）实际问题转化为数学问题 第一个矩形已放入第二矩形内，且第一个矩形长为b边与第二矩形长为c的边的夹角为分别计算第一矩形两边在第二矩形两边上的投影得 ,反之存在一个使成立，那么上述第一个矩形能放入第二个矩形，因此可得，等价新命题1：可将第一个矩形放入第二个矩形的充要条件是存在一个使成立（4）感知观察 是三角不等式组，有难度！（5）类型外问题 教材上未曾见过此类问题，还是一个非常规性问题，属于类型外问题（6）命题转换2（系统转换）三角问题转换成解几问题 设x=cos,y=sin，则存在一个使成立的充要条件转化为存在x,y 0使且成立。（7）命题转换3（解几问题转换成平几问题） 与等价的命题是：直线与直线的交点