高中数学课件 第一章第二节 《命题及其关系、充分条件.ppt

1 了解 p 则q 形式的命题及其逆命题 否命题与逆否命题 会分析四种命题的相互关系 2 理解必要条件 充分条件与充要条件的意义 1 命题的概念在数学中用语言 符号或式子表达的 可以的陈述句叫做命题 其中的语句叫真命题 的语句叫假命题 判断 为假 判断真假 判断为真 2 四种命题及其关系 1 四种命题 2 四种命题间的逆否关系 3 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 没有关系 相同 思考探究 一个命题的 否命题 与 否定 是同一个命题吗 提示 不是 命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论 而命题的否定仅是否定命题的结论 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的 q是p的 2 如果p q q p 则p是q的 充分条件 必要条件 充要条件 1 下列语句是命题的是 1 这条河是一条小河 2 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 3 一个数不是合数就是质数 4 大角所对的边大于小角所对的边 5 x y是有理数 则x y也都是有理数 6 求证 x R 方程x2 x 1 0无实数根 A 1 2 3 B 3 4 5 C 4 5 6 D 1 2 3 4 5 解析 1 河的大小没有确切的定义 所以也不能判断真假 2 疑问句 不是命题 3 是命题 4 是命题 5 是命题 6 祈使句 不是命题 答案 B 2 给出命题 若函数y f x 是幂函数 则函数y f x 的图象不过第四象限 在它的逆命题 否命题 逆否命题三个命题中 真命题的个数是 A 3B 2C 1D 0 解析 原命题是真命题 故它的逆否命题是真命题 它的逆命题为假命题 故它的否命题也为假命题 因此在它的逆命题 否命题 逆否命题中真命题只有一个 答案 C 3 x 0 是 x 0 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 x 0 等价于 x 0或x 0 x 0 x 0或x 0 x 0 x 0或x 0 答案 A 4 设A B为两个集合 下列四个命题 A B 对任意x A 有x B A B A B A B A B A B 存在x A 使得x B 其中真命题的序号是 把符合要求的命题序号都填上 解析 若A 1 2 3 B 2 3 4 则集合A B满足A B 但2 A 2 B 故 错 若取A 1 2 3 B 2 3 则集合A B满足A B 但A B 故 是错误的 显然 正确 答案 5 已知P x y 2009 Q x 2000且y 9 则P是Q的条件 解析 若P则Q 的逆否命题是x 2000或y 9 x y 2009 逆否命题不成立 原命题不成立 显然其逆命题也不成立 答案 既不充分又不必要 1 命题真假的判定对于命题真假的判定 关键是分清命题的条件与结论 只有将条件与结论分清 再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假 2 四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题 否命题和逆命题的等价性 当一个命题直接判断它的真假不易进行时 可以转而判断其逆否命题的真假 特别警示 当一个命题有大前提而写出其他三种命题时 必须保留大前提 大前提不动 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 命题的否定 并判断它们的真假 1 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 2 若x y都是奇数 则x y是偶数 3 若xy 0 则x 0或y 0 4 若x2 y2 0 则x y全为0 思路点拨 课堂笔记 1 原命题是真命题 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 为真命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为真命题 逆否命题 若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 为真命题 命题的否定 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为假命题 2 原命题是真命题 逆命题 若x y是偶数 则x y都是奇数 是假命题 否命题 若x y不都是奇数 则x y不是偶数 是假命题 逆否命题 若x y不是偶数 则x y不都是奇数 是真命题 命题的否定 若x y都是奇数 则x y不是偶数 是假命题 3 原命题为真命题 逆命题 若x 0或y 0 则xy 0 是真命题 否命题 若xy 0 则x 0且y 0 是真命题 逆否命题 若x 0且y 0 则xy 0 是真命题 命题的否定 若xy 0 则x 0且y 0 是假命题 4 原命题为真命题 逆命题 若x y全为0 则x2 y2 0 为真命题 否命题 若x2 y2 0 则x y不全为0 为真命题 逆否命题 若x y不全为0 则x2 y2 0 为真命题 命题的否定 若x2 y2 0 则x y不全为0 是假命题 1 利用定义判断 1 若p q 则p是q的充分条件 2 若q p 则p是q的必要条件 3 若p q且q p 则p是q的充要条件 4 若p q且qp 则p是q的充分不必要条件 5 若pq且q p 则p是q的必要不充分条件 6 若pq且qp 则p是q的既不充分也不必要条件 2 利用集合判断记条件p q对应的集合分别为A B 则 若A B 则p是q的充分条件 若A B 则p是q的充分不必要条件 若A B 则p是q的必要条件 若A B 则p是q的必要不充分条件 若A B 则p是q的充要条件 若A B 且A B 则p是q的既不充分也不必要条件 特别警示 从集合的角度理解 小范围可以推出大范围 大范围不能推出小范围 指出下列各组命题中 p是q的什么条件 1 p a b 2 q 直线x y 0与圆 x a 2 y b 2 2相切 2 p x x q x2 x 0 3 设l m均为直线 为平面 其中l m p l q l m 4 设 p q tan tan 思路点拨 课堂笔记 1 若a b 2 圆心 a b 到直线x y 0的距离 所以直线与圆相切 反之 若直线与圆相切 则 a b 2 a b 2 故p是q的充分不必要条件 2 若 x x 则x2 x x2 x 0成立 反之 若x2 x 0 即x x 1 0 则x 0或x 1 当x 1时 x x x 因此 p是q的充分不必要条件 3 l l m 但l m l p是q的必要不充分条件 4 x 时 正切函数y tanx是单调递增的 当 且 时 tan tan 反之也成立 p是q的充要条件 1 条件已知证明结论成立是充分性 结论已知推出条件成立是必要性 2 证明分为两个环节 一是充分性 二是必要性 证明时 不要认为它是推理过程的 双向书写 而应该进行由条件到结论 由结论到条件的两次证明 3 证明时易出现必要性与充分性混淆的情形 这就要分清哪是条件 哪是结论 求证 关于x的方程x2 mx 1 0有两个负实根的充要条件是m 2 思路点拨 课堂笔记 1 充分性 因为m 2 所以 m2 4 0 方程x2 mx 1 0有实根 设x2 mx 1 0的两个实根为x1 x2 由根与系数的关系知x1x2 1 0 所以x1 x2同号 又因为x1 x2 m 2 所以x1 x2同为负根 2 必要性 因为x2 mx 1 0的两个实根x1 x2均为负 且x1x2 1 所以m 2 x1 x2 2 x1 2 所以m 2 综合 1 2 知命题得证 若关于x的方程x2 mx 1 0有两个正实根 求m的取值范围 即 m 2 即m的取值范围为 m m 2 解 方程x2 mx 1 0有两个正实根 有关充要条件的题目在各省市的高考题中出现的比较多 通过对考试大纲和高考真题的分析研究 可以发现高考考题的常见类型为 直接考查条件和结论之间的充要关系 另一类题目 考查角度比较独特 如 2008 全国卷 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个 如两组对边分别平行 类似地 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 充要条件 充要条件 这类题目开放性较强 尽管答案不唯一 但能充分考查考生的综合能力 在2009年的福建高考试题中也有体现 考题印证 2009 福建高考 设m n是平面 内的两条不同直线 l1 l2是平面 内的两条相交直线 则 的一个充分而不必要条件是 A m 且l1 B m l1且n l2C m 且n D m 且n l2 解析 m l1 且n l2 又l1与l2是平面 内的两条相交直线 而当 时不一定推出m l1且n l2 答案 B 自主体验 函数f x ax3 ax2 2ax 2a 1的图象经过四个象限的一个充分但不必要条件是 A a B 1 a C a D 2 a 0 解析 f x a x 2 x 1 函数f x 在x 2和x 1处取得极值 如图所示 要函数f x 的图象经过四个象限的充要条件是f 2 f 1 0 解之得 a 在四个选项中只有 1 答案 B 1 若条件p x 1 4 条件q x2 5x 6则p 是 q 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 解析 p 5 x 3 则p x 5或x 3 q 2 x 3 则q x 2或x 3 p是q的充分不必要条件 答案 A 2 命题 若x2 1 则 1 x 1 的逆否命题是 A 若x2 1 则x 1或x 1B 若 1 x 1 则x2 1C 若x 1或x 1 则x2 1D 若x 1或x 1 则x2 1 解析 若原命题是 若p则q 则逆否命题为若q 则p 故此命题的逆否命题为 若 x 1 则x2 1 即若x 1或x 1 则x2 1 答案 D 3 2010 平顶山模拟 命题 若方程x2 a 0无实根 则a 0 其中原命题 逆命题 否命题 逆命题中 正确的个数有 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 若方程x2 a 0无实根 则a 0 真命题 逆命题 若a 0 则方程x2 a 0无实根 假命题 否命题 若方程x2 a 0有实根 则a 0 假命题 逆否命题 若a 0 则方程x2 a 0有实根 真命题 答案 B 4 用 充分条件 必要条件 充要条件 填空 1 a b 0且ab 0 是 a 0且b 0 的 2 x 1 是 1 的 3 x 2 是 x2 7x 10 0 的 解析 1 a b 0且ab 0 a b同号且都是负数 即a b 0且ab 0 a 0且b 0 又 a 0且b 0 a b 0 ab 0 即a 0且b 0 a b 0且ab 0 a b 0且ab 0 是 a 0且b 0 的充要条件 2 x 1时 1成立 即x 1 1 又 1时 x未必大于1 如x 3 即 1x 1 x 1 是 1 的充分条件 3 当x 2时 x2 7x 10 4 14 10 0 x 2 x2 7x 10 0 当x2 7x 10 0时 则x1 2 x2 5 x2 7x 10 0 x 2 x 2 是 x2 7x 10 0 的充分条件 答案 1 充要条件 2 充分条件 3 充分条件 5 有三个命题 1 若方程ax2 1 0有一个负根 则a 0 的逆命题 2 若a b 则a2 b2 的逆否命题 3 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 其中真命题的个数为 解析 1 真 2 原命题假 所以逆否命题也假 3 易判断原命题的逆命题假 则原命题的否命题