2014年数学一真题+答案解析+海文押题.doc

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题万学海文考研特大喜讯：数一解答题9道押中原题5道共41分1.数一17题10分，原题押中，对应链接：万学海文 考研2014暑期强化班讲义高数下B版第八讲例12；2.数一18题10分，原题押中，对应链接：万学海文 考研2014冲刺班讲义（高数）例33；3.数一22题11分，原题押中，对应链接：海文考研微信公众号补充点题例21,24题，同万学海文 考研2014冲刺班讲义（概率）例11；4.数一23题第二问5分，第二问原题押中，对应链接：万学海文考研2014冲刺班讲义（概率）例19；5.数一20题第一问5分，原题押中，对应链接：万学海文考研2014冲刺班讲义（线代）例11.一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 下列曲线有渐近线的是 ( )(A) (B) (C) (D)(2) 设函数具有二阶导数，则在区间上 ( )(A)当时，(B)当时， (C)当时，(D)当时，(3) 设是连续函数，则 ( )(A) (B) (C)(D)(4) 若,则 ( )(A) (B) (C) (D)(5) 行列式 ( )(A) (B) (C) (D)(6) 设是三维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的 ( )(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件(7) 设随机事件与相互独立，且，则 ( ) (A) (B) (C) (D)(8) 设连续型随机变量与相互独立，且方差均存在，与的概率密度分别为与，随机变量的概率密度为，随机变量，则 ( ) (A)，(B)，(C)，(D)，二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 曲面在点处的切平面方程为_.(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则_.(11) 微分方程满足条件的解为_.(12) 设是柱面与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分_.(13) 设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围_.(14) 设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单样本，若，则_.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限(16)(本题满分10分)设函数由方程确定，求的极值.(17)(本题满分10分)设函数具有二阶连续导数，满足若，求的表达式.(18)(本题满分10分)设为曲面的上侧，计算曲面积分(19)(本题满分10分)设数列满足，且级数收敛.（I）证明：.（II）证明：级数收敛。(20)(本题满分11分) 设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.(21)(本题满分11分) 证明阶矩阵与相似. (22)(本题满分11分)设随机变量的概率分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布.(I)求的分布函数；(II)求.(23)(本题满分11分)设总体的分布函数为其中是未知参数且大于零.为来自总体的简单随机样本.(I)求；(II)求的最大似然估计量；(III)是否存在实数，使得对任何，都有？2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 下列曲线有渐近线的是 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】(C)【解析】关于C选项：，又，所以存在斜渐近线. 故选(C).(2) 设函数具有二阶导数，则在区间上 ( )(A) 当时， (B) 当时，(C) 当时， (D) 当时，【答案】(D)【解析】令，则,.若，则，在上为凸的. 又，所以当时，从而. 故选(D).(3) 设是连续函数，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】. 故选(D). (4) 若，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(A)【解析】 当时，积分最小.故选(A).(5) 行列式 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】(B)【解析】由行列式的展开定理展开第一列 .故选(B).(6) 设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的 ( )(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】(A)【解析】. 记，. 若线性无关，则，故线性无关. 举反例. 令，则线性无关，但此时却线性相关. 综上所述，对任意常数，向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件. 故选(A).(7) 设随机事件与相互独立，且，则 ( ) (A) (B) (C) (D)【答案】(B)【解析】 已知，与独立， ，则 ，则.故选(B).(8) 设连续性随机变量与相互独立，且方差均存在，与的概率密度分别为与，随机变量的概率密度为，随机变量，则 ( ) (A) ， (B) ，(C) ， (D) ，【答案】(D)【解析】 用特殊值法. 不妨设，相互独立. ，.，. 故选(D).二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 曲面在点处的切平面方程为_.【答案】【解析】由于，所以，；，.所以，曲面在点处的法向量为.故切平面方程为，即. (10) 设是周期为的可导奇函数，且，则_.【答案】【解析】由于，所以，. 又为奇函数，代入表达式得，故，.是以为周期的奇函数，故. (11) 微分方程满足条件的解为_.【答案】【解析】.令，则，代入原方程得分离变量得，两边积分可得，即.故. 代入初值条件，可得，即.由上，方程的解为. (12) 设是柱面与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分_.【答案】【解析】由斯托克斯公式，得 ，其中.(13) 设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围_.【答案】【解析】配方法：由于二次型负惯性指数为1，所以，故. (14) 设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单样本，若，则_.【答案】 【解析】 ， ， .三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限【解析】.(16)(本题满分10分)设函数由方程确定，求的极值.【解析】对方程两边直接求导： 令为极值点，则由极值必要性知：，代入式得：.即或. 将其代入原方程知：（舍去），即. 代入，有 ，. 即，.对式两边再求导：.将，代入得：. 在处取极小值，.(17)(本题满分10分)设函数具有二阶连续导数，满足若，求的表达式.【解析】由，由 ，代入得，,即，令得特征方程 得齐次方程通解设特解，代入方程得，特解则原方程通解为由，得, 则 (18)(本题满分10分)设为曲面的上侧，计算曲面积分.【解析】非闭，补：平面，被所截有限部分下侧，由Gauss公式，有 和所围立体为，关于面和面对称，则 又 (19)(本题满分10分)设数列满足，且级数收敛.(I) 证明：.(II) 证明：级数收敛. 【解析】(I)收敛 又， 即：又 (II)证明：由(I) 又收敛 收敛,收敛(20)(本题满分11分) 设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.【解析】 , (I)的基础解系为(II)的通解为的通解为的通解为（为任意常数）(21)(本题满分11分) 证明阶矩阵与相似.【解析】已知，则的特征值为，(重).属于的特征向量为；，故基础解系有个线性无关的解向量，即属于有个线性无关的特征向量，故相似于对角阵.的特征值为，(重)，同理属于有个线性无关的特征向量，故相似于对角阵.由相似关系的传递性，相似于. (22)(本题满分11分)设随机变量的概率分布为在给定的条件下，随机变量服从均匀分布.（I）求的分布函数；（II）求.【解析】（I）设的分布函数为，则 当时，；当时，；当时，；当时，.所以的分布函数为(II) 的概率密度为 =(23)(本题满分11 分)设总体的分布函数为其中是未知参数且大于零