2014年考研数学三真题与解析.doc

2014年考研数学三真题与解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分1设，则当充分大时，下列正确的有（ ）（A） （B） （C） (D)【详解】因为，所以，当时，有，即，取，则知，所以选择（A）2下列曲线有渐近线的是（A） （B）（C） （D）【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线应该选（C）3设，则当时，若是比高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】只要熟练记忆当时，显然，应该选（D）4设函数具有二阶导数，则在上（ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断如果对区间上任意两点及常数，恒有，则曲线是凸的显然此题中，则，而，故当时，曲线是凹的，即，也就是，应该选（D）【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）行列式等于（A） （B）（C） （D）【详解】应该选（B）6设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件【详解】若向量线性无关，则（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）7设事件A，B想到独立，则（ ）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4【详解】所以，故选择（B）8设为来自正态总体 的简单随机样本，则统计量服从的分布是（A） （B） （C） （D）【详解】，显然，且与相互独立，从而故应该选择（C）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9设某商品的需求函数为（为商品的价格），则该商品的边际收益为 【详解】，边际收益10设D是由曲线与直线及所围成的有界区域，则D的面积为 【详解】11设，则 【详解】所以12二次积分 【详解】13设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是 【详解】由配方法可知由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是14设总体X的概率密度为，其中是未知参数，是来自总体的简单样本，若是的无偏估计，则常数= 【详解】，所以，由于是的无偏估计，故，三、解答题15（本题满分10分）求极限【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解】16（本题满分10分）设平面区域计算【详解】由对称性可得17（本题满分10分）设函数具有二阶连续导数，满足若，求的表达式【详解】设，则，;；由条件，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：其中为任意常数对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程通解为将初始条件代入，可得所以的表达式为18（本题满分10分）求幂级数的收敛域、和函数【详解】由于，所以得到收敛半径当时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为令和函数，则19（本题满分10分）设函数在区间上连续，且单调增加，证明：（1） ；（2） 【详解】（1）证明：因为，所以即（2）令，则可知，且，因为且单调增加，所以从而， 也是在单调增加，则，即得到20（本题满分11分）设，E为三阶单位矩阵（1） 求方程组的一个基础解系；（2） 求满足的所有矩阵【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：，得到方程组同解方程组得到的一个基础解系（2）显然B矩阵是一个矩阵，设对矩阵进行进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵B对应的三列分别为，即满足的所有矩阵为其中为任意常数21（本题满分11分）证明阶矩阵与相似【详解】证明：设 ，分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：，所以A的个特征值为；而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化且；所以B的个特征值也为；对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且从而可知阶矩阵与相似22（本题满分11分）设随机变量X的分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布（1） 求的分布函数；（2） 求期望【详解】（1）分布函数当时，；当时，；当时，；当时，所以分布函数为（2）概率密度函数为，23（本题满分11分）设随机变量X，Y的概率分布