2011年数学中考复习用资料三角形习题精选.doc

三角形习题精选1、(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF90.求证：BECF.(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90, EF4.求GH的长.(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,FOH90,EF4. 直接写出下列两题的答案：如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； 如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).第23题图4 (1) 证明：如图1， 四边形ABCD为正方形， AB=BC,ABC=BCD=90， EAB+AEB=90. EOB=AOF90, FBC+AEB=90， EAB=FBC， ABEBCF ， BE=CF (2) 解：如图2,过点A作AM/GH交BC于M，过点B作BN/EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ONM EF=BN,GH=AM， FOH90, AM/GH，EF/BN, NO/A=90,故由(1)得, ABMBCN， AM=BN， GH=EF=4 (3) 8 4n 2、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.EA DB CNM解：ABE是等边三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.FEA DB CNM即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）.当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小.如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长.过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF906030.设正方形的边长为x，则BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去负值）.正方形的边长为. 3、已知等边ABC的边长为a，则它的面积是DABCP图(十一)Aa2 Ba2 Ca2 Da24.如图(十一)，ABC中，有一点P在上移动。若=5， =6，则+的最小值为何？C(A) 8 (B) 8.8 (C) 9.8 (D) 10 。5、数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形这样的三角形最多能画 个 6.图是一个边长为的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（ ）图图A B C D7、若三角形中最大内角是60，则这个三角形是（）A、不等边三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、不能确定8、已知一直角三角形的周长是 42，斜边上的中线长为 2，则这个三角形的面积是()A、5B、3C、2D、19、BE、CD是ABC的高，F是BC边的中点，求证：DEF是等腰三角形。10、一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，这时测得BD的长为0.5米，求梯子顶端A下滑了多少米？11、如图4，四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A2B3CD12、长度为2、3、4、5的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是_.13、某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：方法一：在底边BC上找一点D，连接AD作为分割线；方法二：在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线；方法三：在腰AB上找一点D，作DEBC，交AC于点E，DE作为分割线；方法四：以顶点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线这些分割方法中分割线最短的是（A）方法一 （B）方法二 （C）方法三 （D）方法四答案：A14、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积答案：第 9 页 共 9 页情况1：锐角（1）证明ADEAFC （2）得到CF=24 （3）SABC=480 情况2：钝角（1）证明BDEBFA （2）得到AF=24，BC=64 （3）SABC=768 15、为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形16、剪四个同样大小的等边三角形拼成一个四边形，该四边形为 _ 17、剪四个同样大小的等边三角形拼成一个三角形，该三角形为_ 18、如图，已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：在图（2）-（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、ABC内、ABC外（1）请探究：图（2）-（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，B=C=60o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？FABCDEPM(4)ABCDEPM(3)ABCDEPM(2)ABCDEM(P)(1)ABCDEPM(5)FABCDEPM(6)RS解：（1）图 中的关系依次是：h1+h2+h3=h； h1-h2+h3=h； h1+h2+h3=h； h1+h2-h3=h （2）图中，h1+h2+h3=h证法一： h1=BPsin60o，h2=PCsin60o，h3=0， h1+h2+h3=BPsin60o+PCsin60o=BCsin60o=ACsin60o=h 证法二：连结AP， 则SAPB+SAPC=SABC 又 h3=0，AB=AC=BC， h1+h2+h3=h （3）证明：图中，h1+h2+h3=h过点P作RSBC与边AB、AC相交于R、S 在ARS中，由图中结论知：h1+h2+0=h-h3 h1+h2+h3=h 说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分 （4）h1+h3+h4= 让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图变为图，上面的等式就是图中的等式，所以上面结论是图中结论的推广 利用直角三角形斜边上的中线性质解题：例1已知：如图1，四边形ABCD中，ABCADC90，E是AC的中点，EF平分BED求证：EFBD分析要证EFBD，在EF平分BED的揭示下，只需证BEDE，然后利用等腰三角形的“三线合一”定理即证证明因为ABCADC90，所以ABC和ADC都是直角三角形，且有公共斜边AC，又因为E是公共斜边AC的中点，所以BEDEAC，在等腰EBD中，因为EF平分BED，所以由等腰三角形的“三线合一”定理知EFBD图1ABDCEF说明这里在求证问题时抓住了AC是公共斜边这一图形特征，所以在许多几何证明时，一定要注意发挥图形的作用例2已知：如图2，点E在ABCD的边CD的延长线上，且AEBD，EFBC，F是垂足求证：DFCEEABFCD图2分析由于DF和CE在同一个直角三角形中，所以在证明 DFCE，只需证明D是斜边CE的中点即可，而事实上，有条件可知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，于是问题即证证明在ABCD中，因为ABCD，即ABDE，而AEBD，所以四边形ABDE是平行四边形，所以DEAB，又因为CDAB，所以CDDE，即D是CE边的中点，HGEFDCAB图3因为EFBC，所以可知EFC是直角三角形，在RtEFC中，因为DF是斜边CE的中线，所以DFCE说明要证明线段的倍半关系除了寻求直角三角形中的30外，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半也是常用的一种方法例3已知：如图3，mn，点A、D在直线m上，点B、C在直线n上，且ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，BGAC，DHAC，G、H是垂足求证：EF与GH互相平分分析要证明EF与GH互相平分，只需证四边形EGFH是平行四边形由于图中有平行四边形和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的基本图形，所以可考虑通过证明EHGF且EHGF来解决问题证明因为mn，ABCD，所以ADBC，在RtBCG中，因为BFCF，所以GFBCCF，所以FGHACB同理EHADAE，EHGCAD，所以FGHEHG所以EHGF且EHGF，所以四边形EGFH是平行四边形，所以EF与GH互相平分说明在复杂的图形中识别、分解或勾画出证明所需要的基本图形是解决几何问题的关键本题就是分别从大的平行四边形、两个直角三角形、两个等腰三角形和一个小的平行四边形入手的，才使问题简洁获解例4已知：如图4，在ABC中，ABAC，BD平分ABC，DEBD，垂足为D，DE交BC于点E求证：CDBE图5ABCEGFOD分析由于BE是RtBDE的斜边，于是联想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，故取BE的中点F，连结DF，只需证明CDDF即可使问题解决BCFDEA图4证明取BE的中点F，连结DF在RtBDE中，因为BFEF，所以DFBFBE，所以CBDBDF，所以CFDCBD+BDF2CBD，因为ABC2CBD，所以CFDABC，又ABAC，所以ABCC，即CFDC，所以CDDF，所以CDBE说明直角三角形斜边上的中线把这个三角形分成两个等腰三角形，这一特征在直角三角形的有关问题中常常用到，要引起注意例5已知：如图5，ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EFAC，O是垂足，EF分别交AB、CD于点E、F，且BEOEAE求证：ABCD是矩形分析要证ABCD是矩形，只要证ACBD或OAOB即可由BEOEAE，可作出RtAOE斜边上的中线OG，这样可证得AOGBOE，于是证得OAOB证明取AE的中点G，连结OG，所以RtAOE中，OGAEAG，因为BEOEAE，所以OEOG，AGBE，即OGEOEG，所以AGOOEB，所以AGOBEO，所以OAOB，又四边形ABCD是平行四边形，所以AC2OA，BD2OB，即ACBD，所以ABCD是矩形19. 三边长分别为的三角形是_三角形20. 已知中，AB=12，BC=9，那么当AC2= _时，是直角三角形21.要使三条线段3a1,4a+1,12a能组成一个三角形求a的取值范围。22.ABC中，ABC，2C=5A，求B的取值范围 解：根据题意，得得C=(180B)，A(180B)(180B)B(180B)40B7523如图,在四边形ABCD中,BC=DC,AC平分BAD,CEAB,CFAD,E、F为垂足,若AB=21,AD=9,BC=DC=10,求AC的长.24如图，在ABC中，A90，且AB=AC，BE平分ABC交AC于F，过C作BE的垂线交BE于E，求证：BF=2CE10.如图，ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE25.如图，ABC中，过A分别作ABC, ACB的外角的平分线的垂线AD,AE,D,E为垂足；求证（1）ED|BC（2）ED=（AB+AC+BC）；（3）若过A分别作ABC，ACB的平分线的垂线AD，AE，垂足