考研数学一历年真题(1987-2010)(office2010版).pdf

1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一一 填空题填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 当 时 函数取得极小值 2 由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积是 3 与两直线 及都平行且过原点的平面方程为 4 设为取正向的圆周则曲线积分 5 已知三维向量空间的基底为则向量在此基底下的 坐标是 二二 本题满分本题满分 8 分分 求正的常数与使等式成立 三三 本题满分本题满分 7 分分 1 设 为连续可微函数求 2 设矩阵和满足关系式其中求矩阵 四四 本题满分本题满分 8 分分 求微分方程的通解 其中常数 五五 选择题选择题 本题共本题共 4 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 12 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 设则在处 A 的导数存在 且 B 取得极大值 C 取得极小值 D 的导数不存在 2 设为已知连续函数其中则的值 A 依赖于和 B 依赖于 和 C 依赖于 不依赖于 D 依赖于 不依赖于 3 设常数则级数 A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 散敛性与的取值有关 4 设为阶方阵 且的行列式而是的伴随矩阵 则等于 A B C D 六六 本题满分本题满分 10 分分 求幂级数的收敛域 并求其和函数 七七 本题满分本题满分 10 分分 求曲面积分 其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面 其法向量与轴正向的夹角恒 大于 八八 本题满分本题满分 10 分分 x2xyx lnyx e1yx 0y 1x 1yt 121 111 xyz 2zt L 22 9 xy 2 22 4 L xyy dxxx dy 123 1 1 0 1 0 1 0 1 1 2 0 0 a b 2 200 1 lim1 sin x x t dt bxx at fg uf x xy vg xxy uv xx AB2 AB AB 301 110 014 A B 2 6 9 1yyay 0 a 2 lim1 xa f xf a xa xa f x 0fa f x f x f x f x 0 s t Itf tx dx 0 0 ts I ststx txsst 0 k 2 1 1 n n kn n k AnA 0 a A AA A a 1 a 1n a n a 1 1 1 2 n n n x n i 2 81 2 1 4 Ixydydzydzdxyzdxdy 113 0 zyy f x x yy 2 设函数在闭区间上可微 对于上的每一个函数的值都在开区间内 且 1 证明在内有且仅有一个使得 九九 本题满分本题满分 8 分分 问为何值时 现线性方程组 有唯一解 无解 有无穷多解 并求出有无穷多解时的通解 十十 填空题填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设在一次实验中 事件发生的概率为现进行次独立试验 则至少发生一次的概率为 而事件至多发生一次的概率为 2 有两个箱子 第 1 个箱子有 3 个白球 2 个红球 第 2 个箱子有 4 个白球 4 个红球 现从第 1 个箱子中随 机地取 1 个球放到第 2 个箱子里 再从第 2 个箱子中取出 1 个球 此球是白球的概率为 已知上述 从第 2 个箱子中取出的球是白球 则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为 3 已知连续随机变量的概率密度函数为则的数学期望为 的方差为 十一十一 本题满分本题满分 6 分分 设随机变量相互独立 其概率密度函数分别为 求的概率密度函数 f x 0 1 0 1 x f x 0 1 fx 0 1 x f xx a b 1234 234 234 1234 0 221 3 2 321 xxxx xxx xaxxb xxxax A pnA A X 2 21 1 e xx f x XX X Y X fx 1 0 01x 其它 Y fy e 0 y 0 0 y y 2ZXY 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一一 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求幂级数的收敛域 2 设且 求及其定义域 3 设为曲面的外侧 计算曲面积分 二二 填空题填空题 本题共本题共 4 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 12 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 若则 2 设连续且则 3 设周期为 2 的周期函数 它在区间上定义为 则的傅里叶 级数在处收敛于 4 设 4 阶矩阵其中均为 4 维列向量 且已知行列式 则行列式 三三 选择题选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 设可导且则时在处的微分是 A 与等价的无穷小 B 与同阶的无穷小 C 比低阶的无穷小 D 比高阶的无穷小 2 设是方程的一个解且则函数在点处 A 取得极大值 B 取得极小值 C 某邻域内单调增加 D 某邻域内单调减少 3 设空间区域则 A B C D 4 设幂级数在处收敛 则此级数在处 A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 收敛性不能确定 5 维向量组线性无关的充要条件是 A 存在一组不全为零的数使 B 中任意两个向量均线性无关 C 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 D 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四四 本题满分本题满分 6 分分 设其中函数 具有二阶连续导数 求 五五 本题满分本题满分 8 分分 设函数满足微分方程其图形在点处的切线与曲线在 该点处的切线重合 求函数 六六 本题满分本题满分 9 分分 设位于点的质点对质点的引力大小为为常数为质点与之间的距离 质点 沿直线自运动到求在此运动过程中质点对质点的引力所作的功 七七 本题满分本题满分 6 分分 1 3 3 n n n x n 2 e 1 x f xfxx 0 x x 222 1xyz 333 Ix dydzy dzdxz dxdy 2 1 lim 1 tx x f tt x ft f x 3 1 0 x f t dtx 7 f 1 1 f x 2 2 x 10 01 x x f x 0 x 22222222 12 0 0 0 0 xyzRzxyzRxyz 12 4xdvdv 12 4ydvydv 12 4zdvzdv 12 4xyzdvxyzdv 1 1 n n n ax 1x 2x n 12 3 s sn 12 s k kk 1122 0 ss kkk 12 s 12 s 12 s xy uyfxg yx fg 22 2 uu xy xx y yy x 322e x yyy 0 1 2 1yxx yy x 0 1 AM 2 0 k k r rAM M 2 2yxx 2 0 B 0 0 OAM 已知其中求 八八 本题满分本题满分 8 分分 已知矩阵与相似 1 求与 2 求一个满足的可逆阵 九九 本题满分本题满分 9 分分 设函数在区间上连续 且在内有证明 在内存在唯一的使曲线 与两直线所围平面图形面积是曲线与两直线所围平 面图形面积的 3 倍 十十 填空题填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设在三次独立试验中 事件出现的概率相等 若已知至少出现一次的概率等于则事件在一 次试验中出现的概率是 2 若在区间内任取两个数 则事件 两数之和小于 的概率为 3 设随机变量服从均值为 10 均方差为 0 02 的正态分布 已知 则落在区间内的概率为 十一十一 本题满分本题满分 6 分分 设随机变量的概率密度函数为求随机变量的概率密度函数 APBP 100100 000 210 001211 BP 5 A A 200 001 01x A 200 00 001 y B x y 1 P APB P f x a b a b 0 fx a b yf x yfxa 1 S yf x yfxb 2 S AA 19 27 A 0 1 6 5 X 2 2 1 e 2 5 0 9938 2 u x xdu X 9 95 10 05 X 2 1 1 X fx x 3 1YX Y fy 1989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一一 填空题填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 已知则 2 设是连续函数 且则 3 设平面曲线为下半圆周则曲线积分 4 向量场在点处的散度 5 设矩阵则矩阵 二二 选择题选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 当时 曲线 A 有且仅有水平渐近线 B 有且仅有铅直渐近线 C 既有水平渐近线 又有铅直渐近线 D 既无水平渐近线 又无铅直渐近线 2 已知曲面上点处的切平面平行于平面则点的坐标是 A B C D 3 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数 则该非齐次方程的通解是 A B C D 4 设函数而其中 则等于 A B C D 5 设是阶矩阵 且的行列式则中 A 必有一列元素全为 0 B 必有两列元素对应成比例 C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 D 任一列向量是其余列向量的线性组合 三三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 设其中函数二阶可导具有连续二阶偏导数 求 2 设曲线积分与路径无关 其中具有连续的导数 且计算 的值 3 计算三重积分其中是由曲面与所围成的区域 四四 本题满分本题满分 6 分分 将函数展为的幂级数 五五 本题满分本题满分 7 分分 设其中为连续函数 求 六六 本题满分本题满分 7 分分 证明方程在区间内有且仅有两个不同实根 七七 本题满分本题满分 6 分分 3 2 f 0 3 3 lim 2 h fhf h f x 1 0 2 f xxf t dt f x L 2 1 yx 22 L xyds divu 1 1 0 Pdivu 300100 140 010 003001 AI 1 2 AI 0 x 1 sinyx x 22 4zxy P2210 xyz 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 11223 c yc yy 1122123 c yc yccy 1122123 1 c yc yccy 1122123 1 c yc yccy 2 01 f xxx 1 sin n n S xbn xx f f x 2 22 0 e y x dxdy 1234 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 f x e x x F xf t dt F x e e xx ff x e e xx ff x e e xx ff x e e xx ff x f x 2 fxf x n f xn n fx 1 nnf x 1 nn f x 2 n f x 2 n nf x a 2 1 sin 1 n na nn a f x0 x 0 0 0 lim2 1 cos x f x f x 0 x f x 0 0 f 1 2 AXb 1 2 AX0 1 k 2 k AXb 12 11212 2 kk 12 11212 2 kk 12 11212 2 kk 12 11212 2 kk 1 2 0 ln 1 2 x dx x 2 sin zfxy yx f u v 2 z x y 2 44e x yyy 0 21 n n nx 2 S Iyzdzdxdxdy S 222 4xyz 0z 设不恒为常数的函数在闭区间上连续 在开区间内可导 且证明在 内至少存在一点使得 七七 本题满分本题满分 6 分分 设四阶矩阵 且矩阵满足关系式 其中为四阶单位矩阵表示的逆矩阵表示的转置矩阵 将上述关系式化简并求矩阵 八八 本题满分本题满分 8 分分 求一个正交变换化二次型成标准型 九九 本题满分本题满分 8 分分 质点沿着以为直径的半圆周 从点运动到点的过 程中受变力作用 见图 的大小等于点与原点之间的距离 其方向 垂直于线段且与轴正向的夹角小于求变力对质点所作的功 十十 填空题填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 已知随机变量的概率密度函数 则的概率分布函数 2 设随机事件 及其和事件的概率分别是 0 4 0 3 和 0 6 若表示的对立事件 那么积事件 的概率 3 已知离散型随机变量服从参数为 2 的泊松分布 即则 随机变量的数学期望 十一十一 本题满分本题满分 6 分分 设二维随机变量在区域内服从均匀分布 求关于的边缘概率密度函数及 随机变量的方差 f x a b a b f af b a b 0 f 11002134 01100213 00110021 00010002 BC A 1 A EC B CE E 1 CC CC A 222 123121323 44448fxxxx xx xx x PAB 1 2 A 3 4 B F F PO OPy 2 F P X 1 e 2 x f xx X F x ABBBAB P AB X Poisson 2 2 e 0 1 2 k P Xkk k 32ZX E Z X Y 01 Dxyx X 21ZX D Z 1991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一一 填空题填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设 则 2 由 方 程所 确 定 的 函 数在 点处 的 全 微 分 3 已知两条直线的方程是则过且平行于的平面方 程是 4 已知当时与是等价无穷小 则常数 5 设 4 阶方阵则的逆阵 二二 选择题选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 曲线 A 没有渐近线 B 仅有水平渐近线 C 仅有铅直渐近线 D 既有水平渐近线又有铅直渐近线 2 若连续函数满足关系式则等于 A B C D 3 已知级数则级数等于 A 3 B 7 C 8 D 9 4 设是平面上以 和为顶点的三角形区域是在第一象限的部分 则 等于 A B C D 0 5 设阶方阵 满足关系式其中是阶单位阵 则必有 A B C D 三三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求 2 设是曲面在点处的指向外侧的法向量 求函数在点 处沿方向的方向导数 3 其中是由曲线 绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围城的立 体 四四 本题满分本题满分 6 分分 过点和的曲线族中 求一条曲线使沿该曲线从到的积分 的值最小 五五 本题满分本题满分 8 分分 将函数展开成以 2 为周期的傅里叶级数 并由此求级数的和 六六 本题满分本题满分 7 分分 2 1 cos xt yt 2 2 d y dx 222 2xyzxyz zz x y 1 0 1 dz 12 12321 101211 xyzxyz ll 1 l 2 l 0 x 1 2 3 1 1ax cos1x a 5200 2100 0012 0011 AA 1 A 2 2 1 e 1 e x x y f x 2 0 ln2 2 t f xfdt f x e ln2 x2 eln2 x eln2 x 2 eln2 x 1 21 11 1 2 5 n nn nn aa 1 n n a Dxoy 1 1 1 1 1 1 1 DD cos sin D xyxy dxdy 1 2cos sin D xydxdy 1 2 D xydxdy 1 4 cos sin D xyxy dxdy nABC ABCEEn ACBE CBAE BACE BCAE 2 0 lim cos x x n 222 236xyz 1 1 1 P 22 68xy u z P n 22 xyz dv 2 2 0 yz x z4z 0 0 O 0 A sin 0 yax a LOA 3 1 2 L y dxxy dy 2 11 f xxx 2 1 1 n n 设函数在上连续内可导 且证明在内存在一点使 七七 本题满分本题满分 8 分分 已知及 1 为何值时不能表示成的线性组合 2 为何值时有的唯一的线性表示式 写出该表示式 八八 本题满分本题满分 6 分分 设是阶正定阵是阶单位阵 证明的行列式大于 1 九九 本题满分本题满分 8 分分 在上半平面求一条向上凹的曲线 其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的 倒数 是法线与轴的交点 且曲线在点处的切线与轴平行 十十 填空题填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 若随机变量服从均值为 2 方差为的正态分布 且则 2 随机地向半圆为正常数 内掷一点 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积 成正比 则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为 十一十一 本题满分本题满分 6 分分 设二维随机变量的密度函数为 求随机变量的分布函数 f x 0 1 0 1 1 2 3 3 0 f x dxf 0 1 c 0 fc 1234 1 0 2 3 1 1 3 5 1 1 2 1 1 2 4 8 aa 1 1 3 5 b ab 1234 ab 1234 An En AE P x yPQ Qx 1 1 x X 2 24 0 3 PX 0 P X 2 02 yaxxa 其它 2ZXY 1992 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一一 填空题填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设函数由方程确定 则 2 函数在点处的梯度 3 设 则 其 以为 周 期 的 傅 里 叶 级 数 在 点处 收 敛 于 4 微分方程的通解为 5 设其 中则 矩 阵的 秩 二二 选择题选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 当时 函数的极限 A 等于 2 B 等于 0 C 为 D 不存在但不为 2 级数常数 A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 收敛性与有关 3 在曲线的所有切线中 与平面平行的切线 A 只有 1 条 B 只有 2 条 C 至少有 3 条 D 不存在 4 设则使存在的最高阶数为 A 0 B 1 C 2 D 3 5 要使都是线性方程组的解 只要系数矩阵为 A B C D 三三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求 2 设其中具有二阶连续偏导数 求 3 设 求 四四 本题满分本题满分 6 分分 求微分方程的通解 五五 本题满分本题满分 8 分分 计 算 曲 面 积 分其 中为 上 半 球 面 的上侧 yy x ecos 0 x y xy dy dx 222 ln uxyz 1 2 2 M grad M u f x 2 1 1x 0 0 x x a 23 xt ytzt 24xyz 32 3 f xxx x 0 n fn 12 10 0 1 21 AX0A 212 201 011 102 011 011 422 011 20 esin1 lim 11 x x x x 22 e sin x zfy xy f 2 z x y f x 2 1 e x x 0 0 x x 3 1 2 f xdx 3 23e x yyy 323232 xazdydzyaxdzdxzaydxdy 222 zaxy 六六 本题满分本题满分 7 分分 设证明对任何有 七七 本题满分本题满分 8 分分 在变力的作用下 质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的 点问当 取何值时 力所做的功最大 并求出的最大值 八八 本题满分本题满分 7 分分 设向量组线性相关 向量组线性无关 问 1 能否由线性表出 证明你的结论 2 能否由线性表出 证明你的结论 九九 本题满分本题满分 7 分分 设 3 阶矩阵的特征值为对应的特征向量依次为 又向量 1 将用线性表出 2 求为自然数 十十 填空题填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 已知则事件 全不发生的概 率为 2 设随机变量服从参数为 1 的指数分布 则数学期望 十一十一 本题满分本题满分 6 分分 设随机变量与独立服从正态分布服从上的均匀分布 试求的 概率分布密度 计算结果用标准正态分布函数表示 其中 0 0 0 fxf 1212 f xxf xf x f x 0 bae ba ab 222 12312323 2332 0 f x xxxxxax x a 222 123 25 fyyy a Anm Bmn nm In ABIB A 0 1 vyB 1 0 A 2 v AB X 0 2 2 YX 0 4 Y fy X 1 e 2 x f xx XEX DX XXXX XX 1994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一一 填空题填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 2 曲面在点处的切平面方程为 3 设则在点处的值为 4 设区域为则 5 已知设其中是的转置 则 二二 选择题选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 设则有 A B C D 2 二元函数在点处两个偏导数 存在是在该点连续的 A 充分条件而非必要条件 B 必要条件而非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分条件又非必要条件 3 设常数且级数收敛 则级数 A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 收敛性与有关 4 其中则必有 A B C D 5 已知向量组线性无关 则向量组 A 线性无关 B 线性无关 C 线性无关 D 线性无关 三三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 设 求 在的值 2 将函数展开成的幂级数 3 求 四四 本题满分本题满分 6 分分 计算曲面积分其中是由曲面及两平面所围成 立体表面的外侧 五五 本题满分本题满分 9 分分 设具有二阶连续函数且为一全 微分方程 求及此全微分方程的通解 六六 本题满分本题满分 8 分分 设在点的某一邻域内具有二阶连续导数 且证明级数绝对收敛 七七 本题满分本题满分 6 分分 已知点与的直角坐标分别为与线段绕轴旋转一周所成的旋转曲面为求由 及两平面所围成的立体体积 0 11 limcot sin x xx e23 x zxy 1 2 0 esin x x u y 2u x y 1 2 D 222 xyR 22 22 D xy dxdy ab 1 1 1 2 3 1 2 3 A n A 434234 222 2 222 sin cos sincos sincos 1 x Mxdx Nxx dx Pxxx dx x NPM MPN NMP PMN 2 1 n n a 2 1 1 nn n a n 2 0 tan 1 cos lim2 ln 1 2 1 x x axbx cxde 22 0 ac 4bd 4bd 4ac 4ac 1234 12233441 12233441 12233441 12233441 2 2 2 1 cos 1 cos cos 2 t xt yttudu u dy dx 2 2 d y dx2 t 111 lnarctan 412 x f xxx x x sin 2 2sin dx xx 2 222 S xdydzz dxdy xyz S 222 xyR 0 zR zR R f x 0 0 0 1 f f 2 0 xy xyf x y dxfxx y dy f x f x0 x 0 lim0 x f x x 1 1 n f n AB 1 0 0 0 1 1 ABx S S0 1zz 八八 本题满分本题满分 8 分分 设四元线性齐次方程组 为 又已知某线性齐次方程组 的通解为 1 求线性方程组 的基础解析 2 问线性方程组 和 是否有非零公共解 若有 则求出所有的非零公共解 若没有 则说明理由 九九 本题满分本题满分 6 分分 设为阶非零方阵是的伴随矩阵是的转置矩阵 当时 证明 十十 填空题填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 已知 两个事件满足条件且则 2 设相互独立的两个随机变量具有同一分布率 且的分布率为 0 1 则随机变量的分布率为 十一十一 本题满分本题满分 6 分分 设随机变量和分别服从正态分布和且与的相关系数设 1 求的数学期望和方差 2 求与的相关系数 3 问与是否相互独立 为什么 12 24 0 0 xx xx 12 0 1 1 0 1 2 2 1 kk An AA A A AA0 A AB P ABP AB P Ap P B X YX X P 1 2 1 2 max ZX Y XY 2 1 3 N 2 0 4 NXY 1 2 xy 32 XY Z ZEZDZ XZ xz XY 1995 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一一 填空题填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 2 3 设则 4 幂级数的收敛半径 5 设三阶方阵满足关系式且则 二二 选择题选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 设有直线 及平面则直线 A 平行于 B 在上 C 垂直于 D 与斜交 2 设在上则或的大小顺序是 A B C D 3 设可导则是在处可导的 A 充分必要条件 B 充分条件但非必要条件 C 必要条件但非充分条件 D 既非充分条件又非必要条件 4 设则级数 A 与都收敛 B 与都发散 C 收敛 而发散 D 收敛 而发散 5 设则必有 A B C D 三三 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 10 分分 1 设其中都具有一阶连续偏导数 且求 2 设函数在区间上连续 并设求 四四 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 6 分分 满分满分 12 分分 1 计算曲面积分其中为锥面在柱体内的部分 2 将函数展开成周期为 4 的余弦函数 五五 本题满分本题满分 7 分分 设曲线位于平面的第一象限内上任一点处的切线与轴总相交 交点记为已知 且过点求的方程 六六 本题满分本题满分 8 分分 设函数在平面上具有一阶连续偏导数 曲线积分与路径无关 并且对 2 sin 0 lim 13 x x x 2 0 2 cos x d xt dt dx 2 a b c i abbccai 21 12 3 n nn n n x R A B 1 6 A BAABA 1 00 3 1 00 4 1 00 7 AB L 3210 21030 xyz xyz 4220 xyz L 0 1 0 fx 0 1 1 0 ffff 0 1 ff 1 0 1 0 ffff 1 1 0 0 ffff 1 0 1 0 ffff 1 0 1 0 ffff f x 1sin F xf xx 0 0f F x0 x 1 1 ln 1 n n u n 1 n n u 2 1 n n u 1 n n u 2 1 n n u 1 n n u 2 1 n n u 1 n n u 2 1 n n u 111213111213 21222321222312 313233313233 010100 100 010 001101 aaaaaa aaaaaa aaaaaa ABPP 12 APP B 21 AP P B 12 PP A B 21 P PA B 2 e 0 sin y uf x y zxzyx f 0 z du dx f x 0 1 1 0 f x dxA 11 0 x dxf x f y dy zdS 22 zxy 22 2xyx 1 02 f xxx LxOy LMy A MAOA L 3 3 2 2 L Q x yxOy2 L xydxQ x y dy 任意 恒有求 七七 本题满分本题满分 8 分分 假设函数和在上存在二阶导数 并且试证 1 在开区间内 2 在开区间内至少存在一点使 八八 本题满分本题满分 7 分分 设三阶实对称矩阵的特征值为对应于的特征向量为求 九九 本题满分本题满分 6 分分 设为阶矩阵 满足是阶单位矩阵是的转置矩阵求 十十 填空题填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设表示 10 次独立重复射击命中目标的次数 每次射中目标的概率为 0 4 则的数学期望 2 设和为两个随机变量 且 则 十一十一 本题满分本题满分 6 分分 设随机变量的概率密度为 求随机变量的概率密度 t 1 1 0 0 0 0 2 2 tt xydxQ x y dyxydxQ x y dy Q x y f x g x a b 0 0 gxf af bg ag b a b 0 g x a b ff gg A 123 1 1 1 1 0 1 1 A An AAI In AA 0 A AI X 2 X 2 E X XY 34 0 0 0 0 77 P XYP XP Y max 0 PX Y X X fx e 0 x 0 0 x x 1 n n a 0 2 2 1 1 tan n n n na n f x 22 0 0 0 0 0 x ffF xxtf t dt 0 x F x k x k 11 22 33 44 00 00 00 00 ab ab ab ba 12341 2 3 4 a a a abb bb 12341 2 3 4 a a a abb b b 121 2343 4 a abba ab b 232 3141 4 a ab ba abb 1cos ra 0a 11 10 6 1 2 nn xxxn n x 2 S xz dydzzdxdy S 22 0 1 zxyx z 2uxy vxay 222 22 60 zzz xx yy 2 0 z u v a 2 1 1 1 2n n n 0 x yf x x f xy 0 1 x f t dt x f x 七七 本题满分本题满分 8 分分 设在上具有二阶导数 且满足条件其中都是非负常数是 内任意一点 证明 八八 本题满分本题满分 6 分分 设其中是阶单位矩阵是维非零列向量是的转置 证明 1 的充分条件是 2 当时是不可逆矩阵 九九 本题满分本题满分 8 分分 已知二次型的秩为 2 1 求参数及此二次型对应矩阵的特征值 2 指出方程表示何种二次曲面 十十 填空题填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设工厂和工厂的产品的次品率分别为 1 和 2 现从由和的产品分别占 60 和 40 的一批 产品中随机抽取一件 发现是次品 则该次品属生产的概率是 2 设是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量 则随机变量的数学期望 十一十一 本题满分本题满分 6 分分 设是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量 已知的分布率为 又设 1 写出二维随机变量的分布率 1 2 3 1 2 3 2 求随机变量的数学期望 f x 0 1 f xa fxb a b c 0 1 2 2 b f ca T A I In n T 2 AA1 T 1 T A 222 123123121323 55266f x xxxxcxx xx xx x c 123 1f x x x ABAB A 2 1 0 2 N E 1 1 2 3 3 Pii max min XY X Y X E X 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一一 填空题填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 2 设幂级数的收敛半径为 3 则幂级数的收敛区间为 3 对数螺线在点处切线的直角坐标方程为 4 设为三阶非零矩阵 且则 5 袋中有 50 个乒乓球 其中 20 个是黄球 30个是白球 今有两人依次随机地从袋中各取一球 取后不放回 则第二个人取得黄球的概率是 二二 选择题选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 二元函数 在点处 A 连续 偏导数存在 B 连续 偏导数不存在 C 不连续 偏导数存在 D 连续 偏导数不存在 2 设在区间上令 则 A B C D 3 设则 A 为正常数 B 为负常数 C 恒为零 D 不为常数 4 设则三条直线 其中 交于一点的充要条件是 A 线性相关 B 线性无关 C 秩秩 D 线性相关线性无关 5 设两个相互独立的随机变量和的方差分别为 4 和 2 则随机变量的方差是 A 8 B 16 C 28 D 44 三三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 计算其中为平面曲线 绕轴旋转一周所成的曲面与平面所 围成的区域 2 计算曲线积分其中是曲线 从轴正向往轴负 向看的方向是顺时针的 3 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的 设该人群的总人数为在时刻已 掌握新技术的人数为在任意时刻 已掌握新技术的人数为将视为连续可微变量 其变化率与 已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比 比例常数求 四四 本题共本题共 2 小题小题 第第 1 小题小题 6 分分 第第 2 小题小题 7 分分 满分满分 13 分分 1 设直线 在平面上 而平面与曲面相切于点求之 2 0 1 3sincos lim 1cos ln 1 x xx x xx 1 n n n a x 1 1 1 n n n nax e 2 e 2 122 43 311 t AB ABOt f x y 22 0 0 0 0 0 xy x y xy x y 0 0 a b 0 0 0 f xfxfx 123 1 2 b a Sf x dx Sf b ba Sf af bba 123 SSS 213 SSS 312 SSS 231 SSS x t l 0 30 xyb xayz 22 zxy 1 2 5 a b 值 2 设函数具有二阶连续导数 而满足方程求 五五 本题满分本题满分 6 分分 设连续且为常数 求并讨论在处的连续 性 六六 本题满分本题满分 8 分分 设证明 1 存在 2 级数收敛 七七 本题共本题共 2 小题小题 第第 1 小题小题 5 分分 第第 2 小题小题 6 分分 满分满分 11 分分 1 设是秩为2的矩阵是齐次线性方程组 的解向量 求的解空间的一个标准正交基 2 已知是矩阵的一个特征向量 1 试确定参数及特征向量所对应的特征值 2 问能否相似于对角阵 说明理由 八八 本题满分本题满分 5 分分 设是阶可逆方阵 将的第 行和第行对换后得到的矩阵记为 1 证明可逆 2 求 九九 本题满分本题满分 7 分分 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗 假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 并且概率 都是设为途中遇到红灯的次数 求随机变量的分布律 分布函数和数学期望 十十 本题满分本题满分 5 分分 设总体的概率密度为 其中是未知参数是来自总体的一个容量为的简单随机样本 分别用矩估计法和 极大似然估计法求的估计量 f u e sin x zfy 22 2 22 e x zz z xy f u f x 1 0 xf xt dt 0 lim x f x A A x x x 0 x 11 11 0 1 2 2 nn n aaan a lim n x a 1 1 1 n n n a a B5 4 123 1 1 2 3 1 1 4 1 5 1 8 9 TTT x B0 x B0 1 1 1 212 53 12 a b A a b A AnAij B B 1 AB 2 5 XX X f x 1 0 x 01x 12 n XXX Xn 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一一 填空题填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 2 设具有二阶连续导数 则 3 设 为椭圆其周长记为则 4 设为阶矩阵为的伴随矩阵为阶单位矩阵 若有特征值则必 有特征值 5 设平面区域由曲线及直线所围成 二维随机变量在区域上服从 均匀分布 则关于的边缘概率密度在处的值为 二二 选择题选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 设连续 则 A B C D 2 函数不可导点的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 3 已知函数在任意点处的增量且当时是的高阶无穷小 则等于 A B C D 4 设矩阵 是满秩的 则直线与直线 A 相交于一点 B 重合 C 平行但不重合 D 异面 5 设是两个随机事件 且则必有 A B C D 三三 本题满分本题满分 5 分分 求直线在平面上的投影直线的方程 并求绕轴旋转一周 所成曲面的方程 四四 本题满分本题满分 6 分分 确定常数使在右半平面上的向量为某二元函数 的梯度 并求 五五 本题满分本题满分 6 分分 从船上向海中沉放某种探测仪器 按探测要求 需确定仪器的下沉深度从海平面算起 与下沉速度之 间的函数关系 设仪器在重力作用下 从海平面由静止开始铅直下沉 在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用 设仪器的质量为体积为海水密度为仪器所受的阻力与下沉速度成正比 比例系数为试建 立与所满足的微分方程 并求出函数关系式 六六 本题满分本题满分 7 分分 2 0 112 lim x xx x 1 zf xyyxyf x 2z x y l 22 1 43 xy a 22 234 L xyxyds An 0 AAA EnA 2 AE D 1 y x 2 0 1 eyxx X YD X YX2x f x 22 0 x d tf xtdt dx 2 xf x 2 xf x 2 2 xf x 2 2 xf x 23 2 f xxxxx yy x x 2 1 y x y x 0 x x 0 y 1 y 2 4 e 4 e 111 222 333 abc abc abc 333 121212 xaybzc aabbcc 111 232323 xaybzc aabbcc A B0 1 0 P AP BP B AP B A 42242 2 x yxy xyxxy Aij u x y u x y yv m B 0 k k yv yy v 计算其中为下半平面的上侧为大于零的常数 七七 本题满分本题满分 6 分分 求 八八 本题满分本题满分 5 分分 设正向数列单调减少 且发散 试问级数是否收敛 并说明理由 九九 本题满分本题满分 6 分分 设是区间上的任一非负连续函数 1 试证存在使得在区间上以为高的矩形面积 等于在区间上以 为曲边的曲边梯形面积 2 又设在区间内可导 且证明 1 中的是唯一的 十十 本题满分本题满分 6 分分 已知二次曲面方程可以经过正交变换化为椭圆柱面 方程求的值和正交矩阵 十一十一 本题满分本题满分 4 分分 设是阶矩阵 若存在正整数使线性方程组有解向量且 证明 向量组是线性无关的 十二十二 本题满分本题满分 5 分分 已知方程组 的一个基础解析为试写出线性方程组 的通解 并说明理由 十三十三 本题满分本题满分 6 分分 设两个随机变量相互独立 且都服从均值为0 方差为的正态分布 求随机变量的方差 十四十四 本题满分本题满分 4 分分 从正态总体中抽取容量为的样本 如果要求其样本均值位于区间内的概率不小 于0 95 问样本容量至少应取多大 附 标准正态分布表 1 28 1 645 1 96 2 33 0 900 0 950 0 975 0 990 十五十五 本题满分本题满分 4 分分 设某次考试的学生成绩服从正态分布 从中随机地抽取36位考生地成绩 算得平均成绩为66 5分 标准差 为15分 问在显著性水平0 05下 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分 并给出检验过程 附 分布表 0 95 0 975 35 1 6896 2 0301 36 1 6883 2 0281 2 222 1 2 axdydzzadxdy xyz 222 zaxy a 2 sinsin sin lim 11 1 2 x nn n nn n n a 1 1 n n n a 1 1 1 n n n a yf x 0 1 0 0 1 x 0 0 x 0 f x 0 1 x yf x f x 0 1 2 f x fx x 0 x 222 2224xayzbxyxzyz x y z P 22 44 a b P An k kx A0 1 k A 0 1 k A A 11 11221 22 21 12222 22 1 122 22 0 0 0 nn nn nnnnn a xa xax a xa xax a xa xax 11121 221222 212 2 TTT nnnnnn bbbbbbbbb fi fi 1111221 22 2112222 22 1122 22 0 0 0 nn nn 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