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第八章 多元函数微积分第八章 多元函数微积分本章主要知识点l 一阶偏导数计算l 可微与全微分l 二阶偏导数l 二重积分直角坐标系l 二重积分极坐标系一、一阶偏导数计算 多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：（1）显式函数一阶偏导。（2）复合函数一阶偏导。（3）隐函数一阶偏导数。1显函数的一阶偏导数例8.1，求。解：例8.2，求。解：，例8.3，求。解：， 。2复合函数的求偏导 我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤。例如，其中为已知可微三元函数，求。第一步：变量的关系网络图其中1，2，3分别表示第二步：寻找与对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”同理，寻找与对应的路径，。例8.4，求。解： 例8.5求。解：。3隐函数一阶偏导由方程决定隐函数。求偏导公式为：，例8.6由方程决定，求。解： .例8.7，求。解：。二、全微分，全微分，全微分例8.8，求。解： 例8.9，求。解: 例8.10，求。解： 三、二阶偏导数例如，有四个偏导数。分别定义为，在连续条件下。例8.11已知求的所有二阶偏导数解： 例8.12求。解： 例8.13已知由方程决定，求。解：方程两边对求偏导得： 即，（） 两边对求偏导得： （）两边对求偏导得： 。例8.14，其中为已知三元函数，求。解： 。四、偏导数应用 1.曲面的切平面及法线方程 （1）在的法向量 （2）曲面方程为F(x,y,z)=0，在的法向量 2.多元函数极值求解流程：（1）驻点， （2）计算； 则当时，无极值；当时，A0取极小，A1）（1）交换F(u)的积分次序；（2）求本章测试题1，则。2，则。3，则。4更换积分次序= 。5更换积分次序 。6，则=（ ） A B C D7设二重积分的积分域是，则（ ） A B4 C3 D58,求。9 计算：。设。10设是所确定的隐含数，求。11计算,其中。12设，求。13设且可微。证明：。单元练习题8答案12，345图示8.181图示8.17原式6原式7解：8解：9. 10. 11. 解: 12. 对求偏导: ，故 ， 对求偏导： 13解法一： 原式图示8.19 解法二：原式 14积分次序原式图示8.2015原式图示8.21 16解：原式 。 17原式 18 原式。本章测试答案1. 2
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