高中数学导数练习题.pdf

专题专题 8 导数 文 导数 文 经典例题剖析经典例题剖析 考点一 求导公式 考点一 求导公式 例 1 fx 是 3 1 21 3 f xxx 的导函数 则 1 f 的值是 解析 2 2 xxf 所以 3211 f 答案 3 考点二 导数的几何意义 考点二 导数的几何意义 例 2 已知函数 yf x 的图象在点 1 1 Mf 处的切线方程是 1 2 2 yx 则 1 1 f f 解析 因为 2 1 k 所以 2 1 1 f 由切线过点 1 1 Mf 可得点 M 的纵坐标为 2 5 所以 2 5 1 f 所以 31 1 ff 答案 3 例 3 曲线 32 242yxxx 在点 13 处的切线方程是 解析 443 2 xxy 点 13 处切线的斜率为5443 k 所以设切 线方程为bxy 5 将点 13 带入切线方程可得2 b 所以 过曲线上点 13 处的切线方程为 025 yx 答案 025 yx 点评 以上两小题均是对导数的几何意义的考查 考点三 导数的几何意义的应用 考点三 导数的几何意义的应用 例 4 已知曲线 C xxxy23 23 直线kxyl 且直线l与曲线 C 相切于点 00 y x0 0 x 求直线l的方程及切点坐标 解 析 直 线 过 原 点 则 0 0 0 0 x x y k 由 点 00 y x在 曲 线 C 上 则 0 2 0 3 00 23xxxy 23 0 2 0 0 0 xx x y 又263 2 xxy 在 00 y x处 曲 线C的 切 线 斜 率 为 263 0 2 00 xxxfk 26323 0 2 00 2 0 xxxx 整理得 032 00 xx 解得 2 3 0 x或0 0 x 舍 此时 8 3 0 y 4 1 k 所以 直线l的方程为xy 4 1 切点坐标是 8 3 2 3 答案 直线l的方程为xy 4 1 切点坐标是 8 3 2 3 点评 本小题考查导数几何意义的应用 解决此类问题时应注意 切点既在曲线上又在 切线上 这个条件的应用 函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件 而不 是必要条件 考点四 函数的单调性 考点四 函数的单调性 例 5 已知 13 23 xxaxxf在 R 上是减函数 求a的取值范围 解析 函数 xf的导数为 163 2 xaxxf 对于Rx 都有 0 xf时 xf 为减函数 由 Rxxax 0163 2 可得 01236 0 a a 解得3 a 所以 当3 a时 函数 xf对Rx 为减函数 1 当3 a时 9 8 3 1 3133 3 23 xxxxxf 由函数 3 xy 在 R R 上的单调性 可知当3 a是 函数 xf对Rx 为减函数 2 当3 a时 函数 xf在 R R 上存在增区间 所以 当3 a时 函数 xf在 R R 上不是单调递减函数 综合 1 2 3 可知3 a 答案 3 a 点评 本题考查导数在函数单调性中的应用 对于高次函数单调性问题 要有求导意识 考点五 函数的极值 考点五 函数的极值 例 6 设函数 32 2338f xxaxbxc 在1x 及2x 时取得极值 1 求 a b 的值 2 若对于任意的 0 3 x 都有 2 f xc 成立 求 c 的取值范围 解析 1 2 663fxxaxb 因为函数 f x在1x 及2x 取得极值 则有 1 0 f 2 0 f 即 6630 24 1230 ab ab 解得3a 4b 2 由 可知 32 29128f xxxxc 2 618126 1 2 fxxxxx 当 01 x 时 0fx 当 12 x 时 0fx 当 23 x 时 0fx 所以 当1x 时 f x取得极大值 1 58fc 又 0 8fc 3 98fc 则当 03x 时 f x的最大值为 3 98fc 因为对于任意的 03x 有 2 f xc 恒成立 所以 2 98cc 解得 1c 或9c 因此c的取值范围为 1 9 答案 1 3a 4b 2 1 9 点评 本题考查利用导数求函数的极值 求可导函数 xf的极值步骤 求导数 xf 求 0 xf的根 将 0 xf的根在数轴上标出 得出单调区间 由 xf 在各 区间上取值的正负可确定并求出函数 xf的极值 考点六 函数的最值 考点六 函数的最值 例 7 已知a为实数 axxxf 4 2 求导数 xf 2 若 01 f 求 xf 在区间 2 2 上的最大值和最小值 解析 1 axaxxxf44 23 423 2 axxxf 2 04231 af 2 1 a 14343 2 xxxxxf 令 0 xf 即 0143 xx 解得1 x或 3 4 x 则 xf和 xf 在区间 2 2 上随x的变化情况如下表 x 2 1 2 1 3 4 1 3 4 2 3 4 2 xf 0 0 xf 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 0 2 9 1 f 27 50 3 4 f 所以 xf在区间 2 2 上的最大值为 27 50 3 4 f 最 小值为 2 9 1 f 答案 1 423 2 axxxf 2 最大值为 27 50 3 4 f 最小值为 2 9 1 f 点评 本题考查可导函数最值的求法 求可导函数 xf在区间 ba 上的最值 要先求 出函数 xf在区间 ba 上的极值 然后与 af和 bf进行比较 从而得出函数的最大最 小值 考点七 导数的综合性问题 考点七 导数的综合性问题 例 8 设函数 3 f xaxbxc 0 a 为奇函数 其图象在点 1 1 f处的切线与直线 670 xy 垂直 导函数 fx的最小值为12 1 求a b c的值 2 求函数 f x的单调递增区间 并求函数 f x在 1 3 上的最大值和最小值 解析 1 f x为奇函数 fxf x 即 33 axbxcaxbxc 0c 2 3fxaxb 的最小值为12 12b 又直线670 xy 的斜率为 1 6 因此 1 36fab 2a 12b 0c 2 3 212f xxx 2 6126 2 2 fxxxx 列表如下 x 2 2 2 2 2 2 fx 0 0 f x 增函数 极大 减函数 极小 增函数 所以函数 f x的单调增区间是 2 和 2 1 10f 2 8 2f 3 18f f x在 1 3 上的最大值是 3 18f 最小值是 2 8 2f 答案 1 2a 12b 0c 2 最大值是 3 18f 最小值是 2 8 2f 点评 本题考查函数的奇偶性 单调性 二次函数的最值 导数的应用等基础知识 以 及推理能力和运算能力 导数导数强化训练强化训练 一 选择题 1 已知曲线 2 4 x y 的一条切线的斜率为 1 2 则切点的横坐标为 A A 1 B 2 C 3 D 4 2 曲线13 23 xxy在点 1 1 处的切线方程为 B A 43 xy B 23 xy C 34 xy D 54 xy 3 函数 1 1 2 xxy在1 x处的导数等于 D A 1 B 2 C 3 D 4 4 已知函数 31 xfxxf则处的导数为在 的解析式可能为 A A 1 3 1 2 xxxf B 1 2 xxf C 2 1 2 xxf D 1 xxf 5 函数93 23 xaxxxf 已知 xf在3 x时取得极值 则a D A 2 B 3 C 4 D 5 6 函数 32 31f xxx 是减函数的区间为 D 2 2 0 0 2 7 若函数 cbxxxf 2 的图象的顶点在第四象限 则函数 xf 的图象是 A 8 函数 23 1 2 3 f xxx 在区间 0 6 上的最大值是 A A 32 3 B 16 3 C 12 D 9 x y o A x y o D x y o C x y o B 9 函数xxy3 3 的极大值为m 极小值为n 则nm 为 A A 0 B 1 C 2 D 4 10 三次函数 xaxxf 3 在 x内是增函数 则 A A 0 a B 0 a C 1 a D 3 1 a 11 在函数xxy8 3 的图象上 其切线的倾斜角小于 4 的点中 坐标为整数的点的个数 是 D A 3 B 2 C 1 D 0 12 函数 xf的定义域为开区间 ba 导函数 x f 在 ba内的图象如图所示 则函数 xf在开区间 ba内有极小值点 A A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二 填空题 13 曲线 3 xy 在点 1 1处的切线与x轴 直线2 x所围成的三角形的面积为 14 已 知 曲 线 3 14 33 yx 则 过 点 2 4 P 改 为 在 点 2 4 P 的 切 线 方 程 是 15 已知 n fx是对函数 f x连续进行 n 次求导 若 65 f xxx 对于任意xR 都有 n fx 0 则 n 的最少值为 16 某公司一年购买某种货物 400 吨 每次都购买x吨 运费为 4 万元 次 一年的总存储 费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x 吨 三 解答题 17 已知函数 cbxaxxxf 23 当1 x时 取得极大值 7 当3 x时 取得极 小值 求这个极小值及cba 的值 a b x y xfy O a b x y xfy O 18 已知函数 93 23 axxxxf 1 求 xf的单调减区间 2 若 xf在区间 2 2 上的最大值为 20 求它在该区间上的最小值 19 设0 t 点 P t 0 是函数cbxxgaxxxf 23 与的图象的一个公共点 两函数的图象在点 P 处有相同的切线 1 用t表示cba 2 若函数 xgxfy 在 1 3 上单调递减 求t的取值范围 20 设函数 32 f xxbxcx xR 已知 g xf xfx 是奇函数 1 求b c的值 2 求 g x的单调区间与极值 21 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 问 该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 22 已知函数 32 11 32 f xxaxbx 在区间 11 13 内各有一个极值点 1 求 2 4ab 的最大值 1 当 2 48ab 时 设函数 yf x 在点 1 1 Af 处的切线为l 若l在点A处穿 过函数 yf x 的图象 即动点在点A附近沿曲线 yf x 运动 经过点A时 从l的一侧进入另一侧 求函数 f x的表达式 强化训练答案 强化训练答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 D 6 D 7 A 8 A 9 A 10 A 11 D 12 A 四 填空题 13 3 8 14 044 xy 15 7 16 20 五 解答题 17 解 baxxxf 23 2 据题意 1 3 是方程023 2 baxx的两个根 由韦达定理得 3 31 3 2 31 b a 9 3 ba cxxxxf 93 23 71 f 2 c 极小值 252393333 23 f 极小值为 25 9 3 ba 2 c 18 解 1 963 2 xxxf 令0 x f 解得 31 xx或 所以函数 xf的单调递减区间为 3 1 2 因为 218128 2 aaf 2218128 2 aaf 所以 2 2 ff因为在 1 3 上0 x f 所以 xf在 1 2 上单调递增 又由 于 xf在 2 1 上单调递减 因此 2 f和 1 f分别是 xf在区间 2 2 上的最大值和最小 值 于是有2022 a 解得 2 a 故 293 23 xxxxf 因此 72931 1 f 即函数 xf在区间 2 2 上的最小值为 7 19 解 1 因为函数 xf xg的图象都过点 t 0 所以0 tf 即0 3 att 因为 0 t所以 2 ta 0 0 2 abccbttg 所以即 又因为 xf xg在点 t 0 处有相同的切线 所以 tgtf 而 23 2 3 22 btatbxxgaxxf 所以 将 2 ta 代入上式得 tb 因此 3 tabc 故 2 ta tb 3 tc 2 3 23 223223 txtxttxxyttxxtxxgxfy 当0 3 txtxy时 函数 xgxfy 单调递减 由0 y 若tx t t 3 0 则 若 3 0 t xtt 则 由题意 函数 xgxfy 在 1 3 上单调递减 则 3 3 1 3 3 1 t tt t 或所以 39 3 3 3 tt t t或即或 又当39 t时 函数 xgxfy 在 1 3 上单调递减 所以t的取值范围为 3 9 20 解 1 32 f xxbxcx 2 32fxxbxc 从而 322 32 g xf xfxxbxcxxbxc 32 3 2 xbxcb xc 是一 个奇函数 所以 0 0g 得0c 由奇函数定义得3b 2 由 知 3 6g xxx 从而 2 36g xx 由此可知 2 和 2 是函数 g x是单调递增区间 2 2 是函数 g x是单调递减区间 g x在2x 时 取得极大值 极大值为4 2 g x在2x 时 取得极小值 极小值为4 2 21 解 设长方体的宽为x m 则长为x2 m 高为 2 3 0 m 35 4 4 1218 xx x h 故长方体的体积为 2 3 06935 42 3322 xmxxxxxV 从而 1 18 35 4 1818 2 xxxxxxV 令 0 xV 解得0 x 舍去 或1 x 因此1 x 当10 x时 0 xV 当 2 3 1 x时 0 xV 故在1 x处 xV取得极大值 并且这个极大值就是 xV的最大值 从而最大体积 332 1619 mxVV 此时长方体的长为 2 m 高为 1 5 m 答 当长方体的长为 2 m 时 宽为 1 m 高为 1 5 m 时 体积最大 最大体积为 3 3m 22 解 1 因为函数 32 11 32 f xxaxbx 在区间 11 13 内分别有一个极值点 所以 2 fxxaxb 0 在 11 13 内分别有一个实根 设两实根为 12 xx 12 xx 则 2 21 4xxab 且 21 04xx 于是 2 044ab 2 0416ab 且当 1 1x 23x 即2a