在数学习题教学中如何引导学生掌握规律.pdf

1983 年第一期 在数学习题教学中 如何引导学生掌 握现律 成荃 在数学教学 中 时时注意引导学生掌握规律 这无论是使学生加深对基本概念的理解 对基础 知 识的巩固 还是对解题能力的提高 都是大有裨益 的 J 本文仅以数学习题的教学为例 就如何引导和 帮助学生掌握规律的问题 介绍一些粗浅的做法 一 抓住关键 揭示 规律 例1 排列组合应用题是 中学数学教材中的一个 难点 概 念抽象 不易掌握 题意隐晦 不 好 理 解 题 型多变 难伐通法 得 数偏大 不便 检验 因此 初学者很 感棘 手 我在教学这部分时 向学生明确指出 对于一 道排列组合应用题 审题的关键在于必须考虑如下 三个问题 即 解排列组合应用题的三要点 1 分清是排 列问题 组合问题 还是排列组 合的联合问题 辨别的唯一标准就是看在元素确定 的条件下 其顺序的改变对事情 结果 有无 影 响 有影响的是排列问题 无影响的是组合问题 部分有影响 部 分无影响的则是排列 组合的联合 问题 2 分清用加法原理 乘法原 理 还是加法原 理 乘法原理兼用 区分的标 准是看所讨论的问题 是独立事件还是非独立事件 若为独立事件 则用 加法原理 非独立事件 则用乘法原理 如果某部 分 或某阶段 是独立事件 另外部分 或其它阶 段 是非独立事件 则便是加法原理 乘法原埋兼 用 3 选择较好的分析 解决问题的角度 这实 质上是思维方法或者说是解题途径 但要注意的 笼 看间题的角度选 择得好 差 直接影响到解法的 粉简 角度的选择 不应强求一律 但要以能正确 得出结论为前提 以能方便的达到目的为方向 一 般常用的方法有 保证法 排斥法 保证排斥兼用 法 先选后排法等 在对照 三要点 考虑以后 再列式 解题 这 样便 可避免 走入歧途 例2 解析 法证题是解析几何中一个重要内容 我在讲解此课时 先是举一 个浅显的实例 用解 析法证明直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一 半 通过建 立不同的坐标系 导致证题过程 繁简 的不同 来向学生揭示解析法证题的关键在于正 确 地选取坐标系的道理 接着通过分析对比 引导学 生归纳 出正确 选取坐标系的标准是 1 要使表示证 题过程中所涉及到的有关点的坐标的字母的种类尽 可能少 且其系数简单 2 要尽可能的便于联系 所给图形的性质 二 紧扣实质 指 明规律 例1 在解三角函数的和差化积或三角方程的问 题时 常常会出现几个同学解同一道习题 得 出不 同的答案 而学生自己反复检验核对 又都找不出 错误二这时学生来问老师 教者决不能采用 你们 都对 这种简单的回答 因 为这还不能解开他们心 中的 疑团 正确的做法是 向学生指明 解三 角函数的和差化积 三角方程这类问题时 因解法 不同 可能得出不同形式 的答案 但只要解题过 程 无误 其结果的实质则必定是完全相同的 不同形 式的结果一定能互化 接着 老师可叫学生 任选两 种结果出来 化 给他看 使之口服心服 这样 学 生才能对这类问题做到不仅知其然 而且知其所以 然 与此同时教者还应指出 尽 管同一个题目有时 会出现几 种形式不同但实质相向的答案 但我们在 解答问题时应从中选择一种表现形式最好的来作为 2 公 中等 数 学 一一 一 一 曰 玩 4 答 案 例 2 有些题目表现 形式不同 但实质相同 讲 课时 教师要向学生强调指出这一点 这样才能培 养学生解题时应变的能力 如 下列两题 D已知 梯形两底之长为8c 9 m与1遵 艺 m 二对角线长为 土 2 m 与 153cm 求它的面积 2 已知梯形的 上 一下 J戊之长分别 为 b 二对角线的长为m n 求作 梯形 从表面上看 一为计算题 一为作图题 但 实质上都是通过 B DE来解决 DE I 了 AC 不 过 前 者是通过等积变形 将梯形A BC D 变成 B DE 从而用海伦公式 来解 而后者是通过平行 移动法作出基础三 角形BDE 以后再完成作图 图 1 井将 3 联立 求出于 然后再将 咬 2 g t o 姜 联立解之即可 二 2 音 nZ 05 20 i一4 旦 in Zo 3 C0820 5in20 e0s20 2 八 1 了 tg 十 丁 x22 1 4 2 一 3 tg 20 1 一 22 4 7 12 小结 以上各题虽然表现 形式各异 但在解题 方法l二都是通过引入辅助数 1 并将其写成听需要 的某 种特定形式而解之 第一一一一公 E J 图 1 例 方法类 比 发现 规律 解下列各题 不许查表 求 19 3 2 19 5 3192 Jgs 四 习题 串联 总结 规律 例1 1 从等腰三角形ABC的底边BC上任 一点l P 句两腰AB AC分别弓 垂线PD P E 垂足为 D E 则P D P E 定值 一腰上的高 图 2 1 2 于正方形人B CD的对角线B D上取一点E 使B E BC 自CE上任一点P至BC BE分别作垂线 It 八 1 pQ P R 则 PQ R书 言 B D 图 之值 2 化简 1 一tgo 1斗 tg o 3 解方程组 号 十 二 X Z y Z 7 25 lj I 艺 2 入入入 4 已知tgo 2 求卫 3 5 i nZe 生 o l s 4 值 解 1 原式 tg 2 19 5 319 2 19七玉 I名2 195 192 195 i 店 二卜 tg45 一 tgo 日 矛月之J入 一 1 tg45 一 tgo tg 45 一0 召 引 入辅助方程 0之 3 图 2 1 图 2咬艺 说明 1 题用截取 法 在CF上截取FG 二 D P 证 明余 的线段CG 二PE即可 或合并法 延长DP至 日 使P日 二 P E 再证明 DH CF即可 均可证 出结 论 2 题如取BD的中点O 连O C 并注 意 抓 住等腰 BCE 则可变成 l 题来证 例2 1 圆内接四 边形的两对 角线互相 垂直 则过对角线的交卢而垂 直于一边的直线必平分其对 边 过对 角线的交 汽而平分一边的直线必垂直其对 边 图3 1 V X x一 y 198 3 年第一期 2 圆内接四边形ABCD中 对角线AC上BD A C BD相交于O 过AD的中点M作直线PM上平面 ABCD 连PO 则PO LPC 图3 2 卸 图 3 1 图 3 2 说明 2 题中如有MN上 BC 贝 从 pM L 平面AB CD的条件 一 可知MN便是PN在平面ABC D 上的射影 而MN上B C PN LBC 则BC上平 面 PMN 但由PO是平面PMN内的一条直线 有PO上 BC 现在问题是MN上B C这个假设条件 是 否成立 呢 从 1 题知是成 立的 因此 问题 2 实 际于 就 是在问题 1 的基础 卜发展起来的 又点 一2 妇在圆 匕 以其 坐标代入圆之方 程 化简后得 一李D十4E十 F 2 0 O 3 解 1 艺 3 组成的方程组得 D 二 6 E 一 2 F 二 一 2失 所以 圆的方程是x 了 一6x一 y一24 0 解三 设 P x y 是圆 L的一派 则乙A PB d 故 PA B是直 角三 角形 从勾股定理知 P A Z PB Z AB Z 即 x 2 y 一魂 2 咬 x 一s 忍 y 2 2 8 2 一2一4 2 化简即得 xZ y Z一 6x一Zy一24 0 故圆的方程 是 x 十了2一 胜 一 y 2 一 24 0 解四设P x y 是圆h一点 APIPB k A 二一 2 即k P k 一二 z 五 一题多解 导 出规律 例 己知A B两点的坐标分别是 一 2 D 和绍 一 2 求以人B为直径的圆 解一设听求的圆的圆心是 你 y 因为 A 一 2 幻 B 8 一2 是圆的直径的两 端 点 所以不难求出圆心的坐标 因 圆心是A B之中 点 故 就是 里二兰 义 艺 里 竺全 一1 x 一8 化简后 知圆之方程是 xZ y 一 6 x 一 2 y 一24 0 o 解五本解 法有几条路子 主要是结合 一些平 而几何的知识 虽方法较繁 但可以复习一些平面 几何的 知识 为此 只提一提解题的主要步骤 不 作i羊细解答 图4 1 一 1 根据两点式 一2 8 2 3 y 生 二翌 2 求人B之方程式 并求出AB之 斜 率k 2 设P x y 是圆 卜一点 由P作AB之垂线交 由 上 一 一 k 气 又 AB 二杯 i云不万耳i二飞三万 乏 2斌丽 所以圆半径 r 斌丽 于是圆的方 程是 x 一 3 十 y 一1 2 34 解二 从解一中知圆心0之坐标是 3 1 设圆的方程是 一 xZ y Z D x E了 F o 求 出D之 2 咬 号 省 合 万恋干厄 豆 万而 图 4 i AB于D 贝廿 kv k Pb和 P x 了 可求PD之方程式 3 解表示AB PD的两个方程 坐标 4 田p D之坐标求出 p D 5 由盲角三角形的性后 1P D 人B 故知 D 几二 二3二 二 L l 艺 B 二 1 呀二 又琴 Z PA PB 司求出圆之方程式 二 仿 一 在 求出D之坐标后 再根 据 两点间的距离公式求出 AD DB P D 从公式 PD 二 几p卜 DBi 也可求 出圆之 方程式 24 中 等数学 三 仿 一 在求出 D 之坐标 再求 A DI IP人 从公式 PA 1AD BA 也可 求出圆之方程式 四 仿 一 在求出D之坐标后 再求 出 AD 和 AD 解六 种 一 BDI 从 公式 P A 艺 1p B 二 1DBI求 出圆之方程式 本解 法是从面积关系着手 又可分 为两 六 拓宽加深 探索规律 例1 求下列各式的极限 1 1 m13盆2一2x 2 飞 皿 c o 9 1x 8 10 0 x 2 10 x 5 11扭 2x 3 3x 2一 Zx 6 x c o 6x 2 4x 7 11m1000 0盆 3 Z0 00 ox Z sx l x c o x4 1 设Px y 是圆周上的一点 B两点之坐标 用三阶行列式可求 P AB 结誉A 之面积 计算后可作如下小结 若f x 的绝对值等于合 次 n 次的整 式 则i l m f x g x g x 分别为 的计算结果只能 PA P B X w e CO 1 11 占 VJA 工 1 一 8一2 i 一 2 从再 可求圆之方程 二 从解法 一 知 介O 则 PAB的面积 二 山 一 1 以 之面积 仓 P A 圆心O之坐标是 3 1 2 PA O的 面 积 而 P B 从 p A 0 的坐标用三阶行列 式求 PA O的面积 s 二 引 一 洲 的绝对值 从等式晋 P P B 二 2 剖 一 洲 的绝对值 二 之方程 图 2 解七设 P x y 是圆上的任 一 点 连PA P B 过O作PB之平行线交AP于F 则F是 P A之 中 点 从P和A之坐标可求F之坐标 从P B 之 坐标 可求PB之斜率 从O F之坐标求出OF之斜率 从k o k 可求圆之方程 图4 3 是下列三种情况中的一种 当 n 时 为最高次 项系数之比 当坦 n时 不存在 例2 在讲到有关棱锥的间题时 可举这样几个 例题 一个三棱锥的一条 棱长为 4 其余各条棱长 昏为 3 求体积 一个兰棱锥的底面各边之长分别 为 5 6 7 各侧面均与底面成6 0 的二面 角 求体积 在三棱锥 S 一ABC中 若相交于s j气的三个侧 面 构成直三面角 间S点在平面A B C上射影的位置 怎样 讲完后可作如下小结 若一个三棱锥的各条侧 棱的长相等或者是各条侧棱与底面所成之角相等 则顶点在底面内的射影 为三 角形的外心 解题时常 用到公式 少 刁 R R为外接圆半径 若一个三 图 4 么 图 4 3 小结 此题的七种解法尽管途径不同 但有一 点是共同的 凡求圆的方程式 不是 抓住圆的标准 方程 x一a 2 萝一b 2 r之 即设法定 出 a b r 就是抓 住囱的一被方 程 十y D Ey十F O 即设 法定出协 E 贫 其它的路 是没有 的 棱锥的各条斜高的长相等或者是各个侧面与底面所 成的二面角 扣等 则 顶点在底 面内的射影为三角形 的 内心 解题时常用到公式 二 r r 为内 切圆半 径 若一个三棱锥相交于顶点的三个侧面每两个都 互相垂直 则顶点在底面内的射影 为三 角形的垂心 例3 仿照从面积的角度来解 求证三角形的面 积等于其 内切圆半径与周 一民之 半的乘积 r 刀 这题的方法可以解决一系列的 问题 如 1 在正三角形内取一点 由此点至 三边分 别作垂线 此三条垂线之和等于三角形的高 2 已知六边形A B CD EF为 O之内接正六 边 形 O的 半径为l o m P为正六边形内任一点 求P到正六边形各边的距离之和 3 求证 正四面体 内任意一 点到各个面的距 离之和 为一常鼻 19 83 年 第一期 略证 以 L各题的证题思路 是将正多边形 或正多面休 内一点与各顶点连接起来 则分这 个正多边形 或正多面体 成 n 个三角形 或n个棱 锥 它们的面积 或体积 之和应等于原 正多也 形 或正多面体 的面积 或体积 从这个关系 式便可得出结论 小结 正多边形中任意一点到各边距离之和为 一常量 叠 h 二r 这里 n 为正多 边形的边数 i 1 r为正多边形的内切圆半径 h l五 h 分别为 正 多边形内一点到各条边的距离 正多面体 中任意 一点到 各个面的距离之和 为一常量 姿 r i 二1 这里 n 4 6 s 1 2 20 n 为正多面休的面数 r 为正多面体的内切球半径 h 为正多面休内 一点 到 各个面的距离 例4 1 解下列各方程组 xy一 yZ 一zx 得 55一3xyz 二21 1 0 x y z 8 5 由 1 4 3 知 y z是 方程 耐 一 耐 一 10m 一8二 的三个根 解出为 一1 一2 一4 然 后可写出方程组的解 共 6组 来 一般说来 一 个三元方程组 只要符合或能化成 盆互 苏2 x 二a 写成 一 会 的形式 寸 b l a 吃 与议一 a x z耳么xa二c 写成 一 一 ao 的形式 的形式 则均可通过求一元三次方 程 x xZ 篮 二 的根来 解 小结 综上所述 一个 n 元方程 组 只要符合 或能化成 伙 le sw el x y x y 11 xZy x y 含 3 0 x x 二一 上 ao 沪 气 户 乙了 x y 5 x y 6 J r J 1土了 一般说来 一 个二元方程组只要能化成 x 一xZ x 1x3 a 十x 一 1x 二 一 an I x y 小 x y a f x y 中 x 劝 b 的形式 均 可通过一元二次方程的根与系数的关系 来解 2