第四章 习题四答案.pdf

第四章第四章 习题四 习题四 A A 1 1 下列齐次线性方程组是否有非零解 下列齐次线性方程组是否有非零解 分析分析 n 阶方阶方阵阵 A AX 0 有非零解有非零解0 Ar An 仅仅有零解有零解0 Ar An 1 1 1234 1234 1234 1234 420 20 3720 31260 xxxx xxxx xxxx xxxx 解解 1142 1112 3 172 13126 A 21 32 41 3 1142 0054 0454 02168 r r rr r r 21 054054 54 45440040 168 21682168 r r 仅有零解 仅有零解 2 2 1245 1234 12345 30 20 426340 xxxx xxxx xxxxx 分析 分析 n 元元齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 r An 仅有零解 仅有零解 r An 解 解 35r An 有非零解 即有无穷多解 有非零解 即有无穷多解 2 2 求齐次线性方程组 求齐次线性方程组 1234 1234 1234 20 3630 51050 xxxx xxxx xxxx 的一个基础解系 的一个基础解系 解 解 32 21 1 2 314 12 3 5 1211 01211 01201 0 3613 00040 00010 0 51015 00040 00000 0 rr rr r rr rr A 所以原方程组等价于所以原方程组等价于 124 3 20 0 xxx x 24 x x可取任意实数 可取任意实数 原方程组的通解为原方程组的通解为 124 21 3 42 2 0 xxx xk x xk 12 k kR 改写为改写为 11221 211 12 3 422 2221 010 00000 001 xkkkk xkk kk x xkk 12 k kR 因此因此齐次线性方程组的齐次线性方程组的基础解系为基础解系为 12 21 10 00 01 3 3 求下列非齐次线性方程组求下列非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1 2456 2345 xxxx xxxx xxxx 的通解 的通解 解 解 32 21 1 2 313 12 2 1111 11111 1105 32 7 3 2145 60323 4012 31 4 3 1234 50323 40000 0 rr rr r rr rr A b 所以原方程组等价于所以原方程组等价于 134 234 57 2 33 24 33 xxx xxx 34 x x可取任意实数 可取任意实数 原方程组的通解为原方程组的通解为 112 212 31 42 57 2 33 24 33 xkk xkk xk xk 即 即 12 57 2 33 241 33 0 10 1 00 xkk 12 k kR 4 4 确定确定a a的值使下列线性方程组有解 并的值使下列线性方程组有解 并在有解的情形下在有解的情形下求其通解求其通解 123 123 2 123 1axxx xaxxa xxaxa 分析 分析 设设A为为nm 矩阵 则矩阵 则n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组bAx 无解无解 rA br A n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组bAx 有无穷多个解的充分必要条件为有无穷多个解的充分必要条件为 rA b r An n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组bAx 有唯一解充的分必要条件为有唯一解充的分必要条件为 rA b r A n 解法一 解法一 3121 31 22 2 223 1111111 1111011 111110111 rrrr rar aaaaa A baaaaaaaa aaaaaa 32 22 2 2232 1111 011011 1 002100 1 2 1 1 rr aaaa aaaaaaaa aaaaaa aaa 1 当当 a 1 2 时 时 r A r A b 3 方程组有唯一解 方程组有唯一解 2 当当 a 2 时 时 r A 2 2 3 3 r A b 方程组无解 方程组无解 3 当当 a 1 1 时 时 r A r A b 1 3 方程组有无穷多解 方程组有无穷多解 此时 此时 21 31 1 1 111111 1 1 110000 1 1 110000 rr rr A b 123 1xxx 原方程组的通解为原方程组的通解为 112 41 32 1xkk xk xk 即 即 12 111 100 010 xkk 12 k kR 解法二 解法二 1 11 110 11 a a a 即 即1 2a 时方程组有唯一解时方程组有唯一解 2 r Ar A b 2 111 11 11 a A baa aa 2 2 11 011 1 00 1 2 1 1 aa aaaa aaa a 由由 2 1 2 0 1 1 0aaaa 得得2a 时 方程组无解时 方程组无解 3 3r Ar A b 由 由 2 1 2 1 1 0aaaa 得得1a 时时 方程组有无穷多个方程组有无穷多个 解解 5 确定 a b的值使下列线性方程组有解 并在有解的情形下求其通解 1234 234 1234 1234 2222 1 3 5 xxxx xxx xxxxa xxxxb 解 解 12 3132 4141 2 3 122221222210040 011110111101111 11130111200001 11150333200001 rr rrrr rrrr A b aaa bbb a 1 b 1 时 时 r A 2 2 4 4 r A b 方程组无解 方程组无解 a 1 b 1 时 时 r A 2 2 r A b 方程组有无穷多解 方程组有无穷多解 此时此时 1222210040 0111101111 1113100000 1115100000 A b 所以原方程组等价于所以原方程组等价于 14 234 40 1 xx xxx 34 x x可取任意实数 可取任意实数 原方程组的通解为原方程组的通解为 12 212 31 42 4 1 xk xkk xk xk 即 即 12 040 111 100 010 xkk 12 k kR 6 6 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 3 已知 已知 1 2 3是它的三个解向量 是它的三个解向量 且且 1 2345 T 23 1234 T 求该方程组的通解 求该方程组的通解 解解 由于矩阵的秩为由于矩阵的秩为 3 n r 4 3 1 故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 且由于且由于 321 均为非齐次线性方程组的解 由解的性质得均为非齐次线性方程组的解 由解的性质得 1231212 3 2 4 5 6 齐次解齐次解齐次解 为齐次线性方程组的基础解系 为齐次线性方程组的基础解系 故此故此非齐次线性非齐次线性方程组的通解 方程组的通解 5 4 3 2 6 5 4 3 kx Rk 7 7 设 设 123 是 方 程 组是 方 程 组AX 0的 一 个 基 础 解 系 证 明 向 量 组的 一 个 基 础 解 系 证 明 向 量 组 123123 也是也是Ax 0的一个基础解系的一个基础解系 解解 123 是方程组是方程组AX 0的一个基础解系的一个基础解系 所以所以Ax 0的任意三个线性无关解向量的任意三个线性无关解向量 的都是它的基础解系 且的都是它的基础解系 且 123 是方程组是方程组AX 0的线性无关解向量组 的线性无关解向量组 由齐次线性方程组的解的性质得由齐次线性方程组的解的性质得 123123 也是也是Ax 0的解 的解 设设 1123 12 3 2 3 得得 111 11020 001 C 知知 123123 线性无关 线性无关 因此 向量组因此 向量组 123123 也是也是Ax 0的一个基础解系 的一个基础解系 8 8 设设 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组Ax b b 0 的一个解的一个解 1 n r是对应的齐次线性方程是对应的齐次线性方程 组的一个基础解系 组的一个基础解系 rR A 证明 证明 1 1 1 n r线性无关线性无关 2 2 1 n r 线性无关线性无关 证明证明 1 1 反证法反证法 假设假设 1 n r 线性相关线性相关 则存在着不全为则存在着不全为 0 0 的数的数 01 n r c cc 使得使得 下式成立下式成立 01 1 0 n rn r CCC 1 1 其中其中 0 0c 否则否则 1 n r 线性相关线性相关 而与基础解系不是线性相关的产生矛盾 而与基础解系不是线性相关的产生矛盾 由于由于 为特解 为特解 1 n r 为基础解系 故得为基础解系 故得 bCACCCCA rnrn00110 而由而由 1 1 式可得式可得 01 1 0 n rn r A CCC 故故0b 而题中 而题中 该方程组为非齐次线性方程组该方程组为非齐次线性方程组 得得0b 产生矛盾产生矛盾 假设不成立假设不成立 故故 1 n r 线性无关线性无关 2 2 反证法反证法 假使假使 1 n r 线性相关线性相关 则存在着不全为零的数则存在着不全为零的数 01 n r c cc 使得下式成立使得下式成立 011 0 n rn r ccc 2 即即 011 1 0 n rn rn r ccccc 1 1 若若 01 0 n r ccc 由于由于 1 n r 是线性无关的一组基础解系是线性无关的一组基础解系 2 2 故故 01 0 n r ccc 由由 2 2 式得式得 0 0c 此时此时 01 0 n r ccc 与假设矛盾与假设矛盾 3 3 若若 01 0 n r ccc 由题由题 1 1 知知 1 n r 线性无关线性无关 故故 0112 0 n rn r cccccc 与假设矛盾与假设矛盾 综上综上 假设不成立假设不成立 原命题得证原命题得证 第四章第四章 习题四 习题四 B B 一 填空题一 填空题 1 1 设设A为为n阶方阵 且与阶方阵 且与n阶单位阵阶单位阵E等价 则方程组等价 则方程组bAx 的解的个数为的解的个数为1 1 分析 分析 n 阶方阵阶方阵 A AX b 只只有一个解有一个解0 Ar An ABr Ar B 解 解 AEr Ar En AX b 只只有一个解有一个解 2 2 已知已知A B均为均为n阶方阵 阶方阵 A 1 1 B 2 2 那么 那么0ABx 的非零解的个数等于的非零解的个数等于0 0 分析 分析 n 阶方阵阶方阵 A AX 0 只只有一个解 即只有零解 有一个解 即只有零解 0 Ar An 解 解 A B均为均为n阶方阵阶方阵AB 为为n阶方阵 阶方阵 20ABA B 0ABx 只有零解只有零解 3 3 齐次线性方程组 齐次线性方程组 123 123 23 0 20 30 xkxx xxx kxx 只有零解 则只有零解 则k应满足的条件是应满足的条件是 解 解 1111 1 21 3 21101 21350 35 0303 kk k Akkk k kk 4 4 111 1110 111 A Ax 设则的通解为x 0 0 解 解 111111 11102040 111002 A AX 0 只只有一个解 即零解有一个解 即零解 5 5 线性方程组 线性方程组 121 232 343 454 515 xxa xxa xxa xxa xxa 有解的充要条件是有解的充要条件是 12345 0aaaaa 分析 分析 设设A为为nm 矩阵 则矩阵 则n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组bAx 有解有解 rA br A 解 解 5123 4 11 22 33 44 512345 1100011000 0110001100 0011000110 0001100011 1000100000 rrrrr aa aa A baa aa aaaaaa 6 6 设 设A B均为均为n阶方阵阶方阵3n Axb 只有一个解 只有一个解 B的行秩为的行秩为 3 3 则 则BA的列秩等于的列秩等于 分析 分析 n 阶方阵阶方阵 A AX b 只只有一个解有一个解0 Ar An r A A 的列向量组的秩的列向量组的秩 A 的行向量组的秩的行向量组的秩 A 为可逆矩阵为可逆矩阵 r BAr Br ABr B 或 解 解 AX b 只只有一个解有一个解0A 所以 所以 A 可逆 可逆 BA的列秩的列秩 3r BAr B 7 7 设 设A是是 3 3 阶方阵 且方程组阶方阵 且方程组Axb 只有一个解 只有一个解 B B 是划去是划去A的第一列所得到的矩阵的第一列所得到的矩阵 则则 B的秩的秩r B 分析 分析 n 元元齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 r An 仅有零解 仅有零解 r An 12 m 线性无关线性无关 12 m rm 解 解 3 3 元元齐次线性方程组仅有零解 即有唯一解 齐次线性方程组仅有零解 即有唯一解 3r An A 的列向量组的秩的列向量组的秩 3r A A 的列向量组的向量个数 的列向量组的向量个数 所以所以 A 的列向量组线性无关 从而的列向量组线性无关 从而 B 的的列向量组线性无关 从而列向量组线性无关 从而 2r B 8 8 已知齐次线性方程组 0Ax有唯一解 A为 5 行 4 列的矩阵 则A的秩 r A 解 解 4 4 元元齐次线性方程组仅有零解 即有唯一解 齐次线性方程组仅有零解 即有唯一解 4r An 二 解答题 1 求一个齐次线性方程组 使它的基础解系为 12 0 1 2 3 3 2 1 0 TT 解 齐次线性方程组的通解为解 齐次线性方程组的通解为 121212 0301 121 32 3 33 212 31 3 3010 xkkkkk kR 或或 1212 01 1 32 3 2 31 3 10 xccc cR 1212 134212241 312341234 4141 1 32 31 32 3 2 31 32 31 3 230 32