高等代数习题参考答案.doc

第一章 行列式 练习一1、(1) ； (2) 2、(1) 0； （2）4 ； （3）5； （4）3； （5）； （6）3、；4、(1) ； (2) 练习二1、(1) ； (2) ； (3) ； (4) 练习三1、(1) ； (2) (3) ; (4) ； 2、(1) 3、 0综合练习题1、(1) ； (2) ； (3) ，提示：每行（或列）元素之和都是； (4) ，提示：按第一行（或列）展开.2、提示：应用数学归纳法.3、(1). 提示：由 解得 ； (2) ，提示：行列式展开后是关于的次多项式；而当时，该行列式都有两行相同； (3)证明略；根为 ，提示同题、(2)(4). 第二章 矩阵及其运算练习一1、 , 2、(1) ； (2) ；(3) 3、=，, . 4、,练习二1、（1）； (2) .2、（1）； （2） 3、 =. =.4、5、,故 6、 =.练习三1、 ；2、=.3、4、设，其中,为阶矩阵，则.练习四1、(1) ； （2） ；2、； 3、(1) ； (2) 4、.练习五1、（1）； （2）2、时，；时，. 3、，当时，不和要求，舍去；4、. 综合练习题1、2、=.3、 .4、 .5、 .、或； ；为三个相等的正数；7、 .8、= .9、=.10、11、（1）.（2）由于 ，则 又 于是有 若可逆，则有，又，由上式，即得 ，于是有反之，若，即，即, 则可逆.因此可逆的充要条件是 .12、 设为一阶方阵，则，其中分别为对称与反对称方阵. 再证明唯一性. 13、设 ，其中均为实数，且=.由于，且为实对称阵，故有,取的主对角线上元素，有，=0，因此.14、由，即 也即 又，于是有 即 于是，由定义知可逆，且 =15、由，得 ，即， (1)故由逆阵定义可知，可逆，且.又由可逆矩阵的定义知， (2)由（1）得 由(2)得 .所以，有 即有 .16、.17A 18B 19C第三章 线性方程组练习一1、. 2、或. 3、或 4、 练习二1、； 2、.3、(1) 且，解惟一； (2) 当时，无解；当且时，也无解 (3) 当且时，无穷多解.4、时， ；时，.5、或时无解；且时有无穷多解. 综合练习题1、. 2、，当时，有非零解. 当时，有非零解；3、（1）证明：数学归纳法. （2）由克莱默法则知：当时，有唯一解，且； （3）当时，有无穷多解，4、. 5、略.6、时有解，.7、(1) 时有唯一解；(2) 时无解；(3) 时有无穷多解.第四章 向量组的线性相关性练习一1、 . 2、 ,. 3、 略. 4、证明：令，因，所以可以用线性线性表示.同理可以用线性线性表示.5、 (1) 当时，不能表示成 的线性组合；(2) 当时，可由 唯一线性表示；当时，也可由 线性表示.练习二1、略. 2、 略. 3、(1) 线性相关；(2) 线性无关；(3) 线性无关. 4、（1）.又，故能由线性表示. （2） ，因，故不能由线性表示. 5、或练习三1、(1) 第列； (2) 第列. 2、(1) 2；，； (2) 2；.3、. 4、证明： 充分性：因能由，显然能由线性表示，所以与等价. 从而，故线性无关. 必要性: 线性无关.是型矩阵），对于任意维向量有，故可以由线性表示.练习四1、 （1） ， (2) . 2、. 3、线性方程组的系数矩阵通过行初等变换得，因而方程组的基础解系有三个线性无关的解，因，所以的四个行向量不能构成基础解系.因的第1，2，4行向量线性无关，所以的第1，2，4行向量构成基础解系.4、下列非齐次线性方程组的一个特解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1) ， ； (2) ，综合练习题1、（1）证明：反证法：假设可由线性表示，存在数使得 （1）因可由线性表示，存在数使得 （2）将（1）代入（2）得：即因可由线性表示，与已知矛盾，故结论成立. （2）因可由线性表示，存在数使得 （1）在（1）中必定有成立.否则，如果，则（1）式化为：，与不能由线性表示矛盾.由（2）得，得证.2、证: 因 线性相关，故存在不全为零的数，使 (1)由于线性无关，故不可能有 .当 时, 可由 线性表示，可由线性表示，从而向量组 与 等价.当 时, 可由 线性表示；当 时, 可由线性表示. 综上所述，结论成立.3、证明：线性相关，则存在不全为0的数，使得 （1）.其中必有不全为0，（否则将代入(1)得：，从而，与已知矛盾）.必定存在使得.将代入(1)得：，从而. 因存在可由其前面的向量线性表示，即，从而线性相关，故线性相关.4、证: 设有数，使 则有 ，但由于线性无关，故 以上诸式两端分别相加，左端约去，即得 .当为奇数时，由(2)至()式及上式可得. 由此再根据(1)至()式得即 线性无关.当为偶数时，由方程(1)至()所构成的方程组有非零解. 从而向量组 线性相关.5、.6、由已知条件得，从而.7、. 8、（1）；（2）.9、. 由是非零矩阵知 ；又由知， 时 ，所以.10、由(I)(II)知 线性无关且可用线性表示. 由(III) 知 线性无关，于是向量组线性无关. 11、向量组是向量组的一部分，同理.故. 因向量组可由其最大无关组：线性表示，向量组可由其最大无关组：线性表示，所以向量组可由向量组线性表示，所以.12、(1) ；(2) 将(II)的通解代入(I)可得：是公共解.13、. 14、(1)当时，方程组有解；当时，方程组有解；当时，方程组有解；（2）当时，无解.15、（1）导出组的系数矩阵是矩阵，所以.因非齐次方程组有三个线性无关的解，所以导出组有两个线性无关的解，所以且，即.（2）方程组的增广矩阵化为，因秩为1，所以 ，解得.通解为 .16、两个方程组都有非零解，所以方整组（I）的系数行列式等于零，从而.解方整组（I）得到解并代入方程组（II）得或. 时得通解 ；时得通解（为任意常数）.17、时，；，.18、解：因为非零矩阵且仅有非零解，所以. 当时，由的第一行对应的方程可得方程组的通解为： . 当时，基础解系仅有一个非零解，可取的第一列，即通解为.19、 (1) 设有数 ，使 . 由于是的一个解，它不能是其导出组的解，从而不能由线性表示，故.进一步由线性无关可推出. 所以 线性无关.(2) 设有数 ，使 ，即 同(1)可证，. 又由线性无关可推出， 所以 线性无关；(3) 设是的任一解，则 为导出组的解，从而可由线性表示，设 ，于是有 即的每一个解都可由 线性表示.20、(1) 若，此时，方程组只有零解. 又，所以B的列向量是的解，于是，因此. 若，则. 于是存在基础解系，且其基础解系所含解向量个数为. 即B的列向量中线性无关的向量个数至多为 . 因此.故.(2) 设，则在的基础解系中任取个解向量作为B的前个列向量，B的其余个列向量取为零向量（或由前列线性表出的向量）即可.21、 又 所以22、.23、，故是的一个特解，由 知是的一个非零解，从而的通解为 .24、设 因为 线性无关，故系数全为零. 当 为偶数时，；当 为奇数时，. 此时，从而 为的基础解系. 第五章 线性空间与线性变换练习一1、各个线性空间的基可取为(1) ;(2) ;(3) .2、 对加法不封闭. 如向量和都与向量不平行，但其和向量与向量平行.3、设的维数为,且是的一个基.由于与维数相等，所以是的一个基. 任取，则 即. 同理可证. 故.4、 (1）是；（2）否. 练习二1、（1）令表示一个阶矩阵，其第行第列的元素等于，其余元素等于0，他们构成一组基.（2）二维，一组基：；（3）二维，基：2、对维数作数学归纳法()开始.3、. 4、，分别是某一向量在和下的坐标.5、；（2）;(3);练习三1、 (1) 关于轴对称； (2) 投影到轴；(3) 关于直线对称； (4) 逆时针方向旋转.2、 对于任意,有,故是中的线性变换. 3、（1）是；（2）是；4、（1）是；（2）不是；T(2(1,1,1)=T(2,2,2)=(1,8,1)!=2T(1,1,1)=2(1,1,1);练习四1、 . 2、 .3、（1）；（2）；4、练习五1、2略 3、 4、9；综合练习题答案1、 (1) 是. (2) 否. 因为，所以.这表明所给数乘运算不满足线性空间定义中八条运算规律的第五条.(3) 是.2、 （1）是；（2）否，；（3）不是，.(1) 因为都是的子空间，所以都有和中一样的零元，因而,即非空. ，则有,. 因为都是线性空间，所以 ，且；且，从而，即对于中的加法，数乘封闭. 故为的子空间.(2) 易知 ， 都是的子空间. 不是子空间. 事实上，,但 ，而是的子空间.4、 (1) 先验证，即非空，再验证对加法和数乘封闭.(2) 设满足，则由矩相等可得 ， 整理得 . 解之得一基础解系 .故的基为 ，维数是2.(3) 中矩阵的一般形式为 ，其中.5、 充分性. 若 ，则当时，有 ；当时，有.必要性. 若是的一个线性变换，则，从而 .6、（1）设，将代入整理并令各个项的系数等于0得：，解得.（2）.7、略. 8、（1）；（2）. 9、.10、证明：当时，因是的非平凡子空间，所以存在，从而.当互不包含时，因是的非平凡子空间，所以存在，若，则及为所需.同理对于也存在，若，则及为所需.当存在，且存在，时，考虑：下面用反证法证明：，假设，因，所以，与矛盾.同理.得证.第六章 相似矩阵与二次型 练习一 1、；.2、. 3、（1）,（2）,；4、.4、(1) ；(2) ；5、设是的任意一个特征值，则，从而，有，故结论成立.6、20练习二1、. 2、. 3、.4、. 5、.6、，.练习三1、（1）；（2）.2、，. 3、，4、，.练习四1、 证：设为的个特征值. 由于为实对称阵，则存在正交变换，使得 （正交变换下 ）可以验证当取，时，故得证.2、，. 3、正定.4、证明：充分性 若存在可逆阵，使，则对，有 ，故正定. 必要性 为实对称阵，则存在正交阵，使得 其中，而且可逆. 综合练习题1、(1) ； (2) . 2、. 3、. 4、 ， 有特征值1.5、（1）因为实对角矩阵，所以存在可逆矩阵，使得，其中为对角阵.所以，且的对角线上的元素即为的全部特征值. 因为，所以. 因为为非零矩阵，所以.所以 所以对角阵的对角线山上有个零. 故是的重特征值.（2）设，则有 ；对应的特征向量分别为，6、(1) ；（2）7、(1) 3、是的特征值，从而是的属于特征值的特征向量；因，所以是的属于特征值的特征向量；（2）取，；（3）.8、（1）略；（2）设，则，但与不相似. 否则存在可逆阵，使得，矛盾. （3）由、均为实对称阵知，、均相似于对角阵. 若，记特征多项式的根为，则、均相似于对角阵 ，即存在可逆阵 ，使得，可逆，故与相似.9、（1）设，由 得 将 代入（3）式得 （4） 由于 线性无关，故由（1）；由（2）；由（3），从而求出了. （2） 由（1）知与相似，故与也相似，从而.10、(1);(2) ;(3) .11、由 ，若取 ；若取 ，则，即.12、设正定阵的特征值为，它们均大于零，则 13、设，由于为实对称阵，则存在正交阵，使得，且 ，其中 ，且是秩为1的实对称阵.14、为正定阵，则存在可逆阵，使得， 15、由 （由于正定，所以应舍去）.16、（1）；（2）正定，正定的特征根都是正数，从而的特征根都是正数.第七章 多项式练习一1、证明：用反证法假设不全为零，设，则的最高次项分别为，所以是奇次多项式，而是偶次多项式或零多项式，与矛盾.所以必有，从而，故结论成立.、2、（1）;(2)3、(1)当时，；（2）当时，.4、 5、（1）（2）练习二1、（1）；（2）. 2、， .3、，且.4、解：因，其中 如果，则，满足要求。如果，则，其中. 因为是一个二次多项式，所以，从而 故或.练习三1、 证明：因使得；又使得；上两式相乘并整理得， ；所以.2、 证明：因不全为零，所以从而使得；因，所以，因，所以，故.3、(1)， ，有重因式 (2)无重因式练习四1、，解得公共根为.2、 当，是三重根， 当，是二重根.3、解： 从而4、证明：设，（其中是0次多项式，或者）则，从而.因，所以，从而即.练习五1、（1）有理根只有；（2）没有有理根；（3）有理根只有.3、（1）可约，;（2）不可约，利用艾森斯坦因判别法，取有，所以无有理根，从而无有理系数的一次因式；（3） 因（是奇素数）根据艾森斯坦因判别法知，不可约，故不可约.综合练习题答案1、.2、 显然. 由，此时设 ，故.3、证明：法一 由于，.法二 设，且设是的任意一个最低次数的不可约因式，则由知，必有或.不妨设，因，所以.进而.因，所以，因此，从而.5、法一 由于，由因式分解定理易证.法二 令，则，且，由得可知由，所以为常数，从而是零次多项式，即.因，故6、证明：如有整数根，则，由题设知 和都是奇数，而