固体物理习题课_03.ppt

则运动方程可表为 补充题一 证明在由两种不同质量M m M m 的原子所组成的一维复式格子中 如果波矢q取边界值 a为相邻原子间距 则在声学支上质量为m的轻原子全部保持不动 在光学支上质量为M的重原子保持不动 解 如图所示 令为近邻原子间的恢复力常数 01 34 设试探解 将试探解代入方程得到 由线性齐次方程组有非零解的条件得到 02 34 当 代入原方程组得到 光学支 声学支 当 光学支 B 0 声学支 A 0 03 34 解 格波总能量为 04 34 求和遍及链上所有原子 总能量对时间的平均值为 将 代入 得到 05 34 每个原子对时间的平均能量为 根据一维单原子链的色散关系 可以得到 06 34 补充例题三 求一维复式格子晶格振动的总动量 解 由 可以得到晶格振动的总动量 由 07 34 当 当 对于长光学支 对于长声学支 08 34 解 在德拜模型下 晶体中的晶格振动被看成弹性波 假定某支弹性波的方程为 补充例题四 利用德拜模型估算 1 在绝对零度下晶体中原子的均方位移 2 在非零温度下原子均方位移和温度的关系 则由该支格波引起的对时间的均方位移为 09 34 假定晶体的体积为V 密度为D 则相应这支格波的平均动能为 1 由于绝对零度下相应于频率为的零点能为 相应于频率为的那支格波引起的原子均方位移为 10 34 考虑到晶体中存在有许多不同频率 不同模式的格波 因此总的均方位移应对所有不同格波进行求和 又由于各振动模式间是相互独立的 因此有 当N足够大时 振动频率趋于连续 求和可以用积分代替 11 34 将德拜模型的频率分布函数及最大频率代入得 2 非零温度下相应于某频率的格波的平均能量应为格波能量和该温度下该格波的平均声子数之积 即 12 34 则在该温度下相应于该频率的原子均方位移为 于是对应该温度下的原子均方位移为 则相应该格波的平均动能为 13 34 3 2讨论N个原胞的一维双原子链 相邻原子间距为a 其2N个格波解 当M m时与一维单原子链的结果一一对应 解 质量为M的原子位于2n 1 2n 1 2n 3 质量为m的原子位于2n 2n 2 2n 4 牛顿运动方程 N个原胞 有2N个独立的方程 14 34 方程的解 代回到运动方程 A B有非零解 15 34 两种不同的格波的色散关系 对应一个q有两支格波 一支声学波和一支光学波 总的格波数目为2N 16 34 两种色散关系如图所示 17 34 长波极限情况下 与一维单原子晶格格波的色散关系一致 18 34 3 3质量相同两种原子形成一维双原子链 最近邻原子间的力常数交错等于和 并且最近邻的间距1 求出色散关系和分析计算处格波的频率值2 大致画出色散关系图 解 绿色标记的原子位于2n 1 2n 1 2n 3 红色标记原子位于2n 2n 2 2n 4 19 34 第2n个原子和第2n 1个原子的运动方程 体系N个原胞 有2N个独立的方程 方程的解 令 20 34 A B有非零的解 系数行列式满足 21 34 两种色散关系 22 34 色散关系图 两种色散关系 23 34 解 1 以表示位于l列m行 l m 的原子在垂直所在平面方向离开平衡位置的位移 仅考虑近邻原子的作用有 24 34 补充例题五 设有由相同原子组成的二维正方格子点阵 原子的质量为M 晶格常数为a 近邻原子的恢复力常数为 1 假定原子只作垂直表面的横向振动 求横向晶格振动的色散关系 2 假定原子只在表面内振动 求其晶格振动的色散关系 3 在长波情况下 求出横向晶格振动的频率分布函数 令试探解为 得到 2 在平面内的原子位移为矢量 表为 所受的力为 则有 25 34 令试探解为 可以得到 于是得到频谱关系 26 34 3 在长波情况下 横向晶格振动的色散关系为 相应的频率分布函数为 则 27 34 3 6计算一维单原子链的频率分布函数 设单原子链长度 波矢取值 每个波矢的宽度 状态密度 dq间隔内的状态数 对应 q 取值相同 d 间隔内的状态数目 28 34 一维单原子链色散关系 令 两边微分得到 d 间隔内的状态数目 29 34 代入 频率分布函数 30 34 三维晶格振动的态密度 dq间隔内的状态数 对两边微分得到 31 34 将dq和代入 得