高考命题的新热点三视图和直观图.pdf

第 J期 高考复习O 高考命题的新热点 高中数学教 与学 三视图和直观图 杨建萍 陕西省户县第一中学 7 1 0 3 0 0 三 视图是 新 课程 中增 加 的 内容 之 一 对 于这部分 内容 与 立体 几 何 中有 关 的 证 明计 算 问题交汇在一起 进行 考查 已成为 高考 命题 的新热点 如 面积 体 积 空 间距离 空 间角的 计算 平行 垂 直 的证 明等 以考查 学 生 的运 算能力 空间想象能力和推理论证能力 笔者 想通过对 2 0 0 7 2 0 0 8 2 0 0 9年实施 新课标 省 市 的高考 考试说 明 和考题 的分析 以总结和 预测这部分 内容在 2 0 1 0年 的考题 类 型 揭 示 此类考题的方法和规律 一 已知几何体 识别三视 图 例 1 2 0 0 8年海南宁夏卷 某几何体的 一 条棱长为 7 在该几何体的正视图叶 J 这条 棱的投影是长为 6的线段 在该几何体的侧 视 图与俯视 图中 这条棱 的投影分别 是长为 a 和 b 的线段 则 a b 的最大值为 A 2 A B 2 C 4 D 2 m B 图 1 C 解 如 图 1 所示 设这 条棱 为长 方体 的 对角线 该长方体的长 宽 高分别为 m n k 由题 意得 m n 解 得 1 I 牛 1 哥 一 I m k 1 k 0 1 m b a 一1 b 一1 6 即 n b 8 f a b a 2 2 a b b 8 2a b 8 0 b 1 6 当且仅 当 a b 2时 a b 4 故选 C 点评 本题根据所 给数据 去探索立体 图 形 同时考 查 基本 不 等式 的应 用 立 意 新颖 考查学生 的综 合 分析 能 力 其 解题 的关 键是 构造长方体 及其对 角线在 三个 面上 的投影来 计算 二 给 出部分 三视 图 考查 其他三 视 图的 画法 例 2 2 0 0 9年福建卷 如图2 某几何体 的正视 图与侧 视图都是边长为 l 的正方形 且 1 体积 为 则该 几何体 的俯视 图可以是 二 正 主 视图 侧 左 视图 图 2 A B C 解 法 1 由题意可知 当俯视 图是 A时 即 每个 视图是边长为 1 的正方形 那么此几何体 3l 高中数学教 与学 2 0 1 0 是立方 体 然体 积 是 1 注意 到题 目体 积是 1 知其是立方 体的一半 可知选 c 解 法 2 俯视 图是 A时 方体的体积 是 l 俯视图是 B时 该几何体是 圆柱 底 面 积 是 S 可 x 号 寻 高 为 1 则 体 积 是 I T 当俯视足 C时 该几 何体 是直三棱柱 故体 积是 1 一 1 1 l 1 当俯视图是 D 时 该 几何体是 圆柱切 割而成 其体 积是 V 耵 1 l IT 故 选 C 点评 本题是考查 三视 的作 法 属于 一视图的基本题 型 但 由几何体 的正视 图 侧 视图要求 学生确定俯 视 图 构思 独特 能 考查 学生 的基本功及 逻辑思 维能 力 推理能 力 计 算能力和空问想 象能 力 三 给 出三视 图 考查 几何体 的表面 积或 体积的求法 例 3 2 0 0 9年 1 I I 东卷 一空 日 J 儿何体 的 三视 如 图 3所 示 则 该 几何 体 的 体 积 为 A 2 1 T 2 B 4 盯 2 c 2 耵 半 D 4 耵 半 3 解 该空 问儿何体为一圆柱 和一 四棱锥 3 2 组 成的 网性 的 丽半径 为 1 高 为 2 体积 为 2 耵 四凌锥 的底 研边长 为 高 为 所 以体 积为 z 一 3 所以 该几何体的 j D 1厅 体积 为 2 1 T 故选 c 3 点评 本题 考查 r考 生 的空 问想 象 能 力 由二 三 视 图 及其 图形 中 的数据 能 够进 行识 别 判 断和想象得 到空问 的 立体 图 并能准 确 地计 算 出 几何 体 的 体 积 这 是 考 查 的重 点 2 0 0 9年山东 浙江 天津 辽宁 海南宁夏等多 个省市都以此题型命题 学生应注意三视图 的特点 主左 一样 高 主俯一 样 长 俯 左一样 宽 四 给 出三视 图 考查原 几何体 中有 关元 素的垂直 平行关 系 例 4 2 0 0 9年广东卷 某 高速 公路收费 站入 口处 的安 全标识墩如 图4所示 墩 的上半 部分是 四棱锥 P E F G H 下半部 分是长方 体 A B C D E F G H 图 5 图 6分 别是该标识墩 的正 主 视图和俯视 图 E 侧 视 G C l刳 4 J 5 6 1 请 画 出该 安 全 标识 墩 的 侧 左 视 图 2 求 该安全标 识墩 的体积 3 证 明 直线 B D 上平面 P E G 解 1 侧 左 视 图同正视图 如下 图7 所示 2 该 安全标识墩 的体积为 V v v 一 1 1 4 0 X 6 0 4 0 x 2 0 j 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 6 4 0 0 0 c m 第 J期 JI G C 刳 7 图 8 3 如图 8 连结 E G 日 F及 B D E G与 F 相交于 0 连结 P O 由正 四棱锥的性质 P O j 平 面 E F G 且 刖 平 面 EFGH PO 上 HF 又 四边形 EF G H为正方形 EG上 HF F上平 面 PE G 又 B D H F B D j 平 面 P E G 点评 本题是新增 内容与传统 立体几何 知识结合的典 型 町以考查 锥 体 和正 方 体 的 体积 空 间线 面 关 系等 知 识 并 考查 数 形 结 合 化归 与转 化的数学 思想 方法 以及 由三视 图到直 观图的空 间想 象能 力 逻辑 推理 能力 运 算能力和应用意识 五 给 出三视 图 考 查原几何体 中的空 间 角和空间距离的计算 例 5 已知 四棱锥 P A B C D的直观 图 主视图 左 视图 俯 视图 如图 9 所示 以 A C的 中点 0为球心 c为直径 的球面 交 P D于点 交 P C于点 v P C 正 主 视 图 侧 左 视图 图 9 高中数学教 与学 1 求证 平 面 A B M 上平 面 P C D 2 求直线 C D与平 面 A C M 所 成 的角的 大小 3 求点 到平面 A C M 的距离 解法 1 1 由直观图 和三视 图可得 在 四棱锥 P A B C D中 底面 A B C D是矩形 J 平 面 A B C D P A A D 4 A B 2 依题设知 A C是所作球 面的直径 所以有 AM 上 MC 又 因为 P A上 平面 A B C D 则 P A j C D 又 C D 上A D 所 以 C D上 平面 P A D C D 上A 所 以 L4 上平面 P C D 即平面 A B M 上平 面 P C D 2 由 1 知 A M 上p D 又 P A A D 所 以 M 是 P D 的 中点 且 A M 2 又 MC 可 2 于是S M c 2 7 6 设 D到平 面 A C M 的距离为 h 由 V 即2 8 h 设所求角为 0 则 s i n 臼 孚 a r c s i n 3 3 易知 P c 6 因为4 上 c 由 P N PA 得 尸 了 8 所以 NC 5 故点 到平 面 4 C M 的距离 等于点 P到平面 A C M 距 离的百 D 又 因为 M是 P D的 中点 所 以 P D到平 面A C M 的 距离相等 由 2 可知所求距离为音 l 0 2 7 解法 2 1 同解法 1 2 建立 如 图 l 0所 示 的空 间 直 角 坐 标 系 则 A 0 0 0 P 0 0 4 B 2 0 0 C 2 4 0 D 0 4 0 M 0 2 2 设 平 面 A C M 的 一 个法 向量 r l Y 由 l上AC l上A 可 得 2 4 y 0 2 y 2 z 0 令 1 贝 0 l 3 3 高中数学教 与学 2 0 1 0釜 高考 中函数题的几个热点 严循跃 江苏省如皋中学 2 2 6 5 0 0 函数是贯穿 中学数学 的一条 主线 每 年 的高考对函数问题的考查所 占比例相当大 一 方面 函数 描述 了 自然 界 中数量 之 间 的关 系 函数思想通过 提出 问题 的数学 特征 建立 函数关 系的数学模 型 从 而进 行研究 它体 现 了 联系和变化 的辩 证唯物 主义观点 符合 高考宗旨 另一方面 由于函数是交汇处命题 的很好 的结 合 点 它符 合 在交 汇处 命 题 的命 题要求 所 以它为命 题者 热捧 一般 地 高考 中经常利用 的 函数性 质是 单 调性 奇偶 性 岗期性 最大值和最小值 图象变换等 下面 从指导高考复 习 的视 角 结合 近 几年 的 高考 函数问题 谈谈 函数复 习的几个热点 1 贴近 生活 揭 示函数本质 生活中孕 育着 许多 函数 知 识 而这种 函 数知识的获得 来源于我们的一种十分重要 的思想方法 这就 是 函数 思想方法 重视学 生 的生活背景 回归朴素的函数思想方法是近几 t 一 一 2 一 1 1 设 所 求 角 为 O 则 s i n 1 1 孚 所 以 所 求 角 的 为 6 csm P 一 C 3 由条件 可得 A N 上 N C 在 R t Z X P A C 中 t I P A P P c 得P 了 8 K J N C P c P 吾 所 以 所 求 距 离 等 于 点 P 到 平 面 4 c 距 离 的 吾 设 点 尸 到 平 面 A c 距 离 删所 求 距 离 为 点评 本题将三视图和直 观图与立体 几 何的计算进行 了有机的整合 具有新意和一 定 的综合性 也增大 了题 目的覆盖面 有效地考查 了三视 图到直观 图的空间想象能力 数据处理 能力 推理能力 数学探究意识 空 间角及空 问 距离的计算 同时也考查了学生利用综合法或 向量法解决立体几何问题的能力 总之 以三视 图和直观 图为载体 并 与传 统立体几何的重点考点 相整合 是考查 三视 图 的命题趋势 应 引起足够 的重视 在复 习 三视 图时 首先应立 足课本 狠抓基础 突出重点