矩阵分析所有习题.ppt

习题3 1已知A Cn n是正定Hermite矩阵 Cn 定义内积 A 试证它是内积 写出相应的C S不等式 Cauchy Schwarz不等式 习题3 3 1 3 3 1 已知A 试求U Un n使U AU R为上三角矩阵 解 det E A 1 3给出 1是A的3重特征值 显然 1 0 1 0 T是A的一个特征向量 作酉矩阵V 1 2 3 2 1 0 0 T 3 0 0 1 T 则V AV 子矩阵A1的特征值仍是 1 对应的单位特征向量是 1 2 5 1 5 T 作2阶酉矩阵W1 1 2 2 1 5 2 5 T 则W1 A1W1 作3阶酉矩阵W diag 1 W1 U VW 则U AU 为上三角矩阵 习题3 9 3 9 若S T分别为实对称 反实对称矩阵 则A E T iS E T iS 1为酉矩阵 证 A A E T iS 1 E T iS E T iS E T iS 1 E T iS 1 E T iS E T iS E T iS 1 E T iS 1 E T iS E T iS E T iS 1 E注 可以不证AA E E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 习题3 12设A B均是正规矩阵 试证 A与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同 证 充分性 因为A B是正规矩阵 所以存在U V Un n使得A Udiag 1 n U B Vdiag 1 n V 其中 1 n是A B的特征值集合 于是B VU AUV W AW W UV Un n即得证A与B酉相似 必要性 显然 因为 相似矩阵有相同的特征值 习题3 13 3 13 若A Hn n A2 A 则存在U Un n使得U AU diag Er 0 r rank A 证 存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值的任意排列 A2 A和A2 Udiag 1 n U Udiag 1 n U Udiag 12 n2 U i2 i 即 i 0 1 i 1 n 取 1 n的排列使特征值0全排在后面 则 式即给出所需答案 习题3 14 3 14 若A Hm n A2 E 则存在U Un n使得U AU diag Er En r 证 存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值的任意排列 A2 E Udiag 1 1 U 和A2 Udiag 1 n U Udiag 1 n U Udiag 12 n2 U i2 1 即 i 1 i 1 n 取 1 n的排列使特征值1 设共有r个 全排在前面 则 式即给出所需答案 习题3 16 3 16 设若A B Hn n 且A为正定Hermite矩阵 试证 AB与BA的特征值都是实数 证1 由定理3 9 4 A1 2是正定矩阵 于是A 1 2 AB A1 2 A1 2BA1 2 M Hm n 即AB相似于一个Hermite矩阵M AB M R 得证AB的特征值都是实数 又A1 2 BA A 1 2 A1 2BA1 2 M Hm n 即BA相似于一个Hermite矩阵M BA M R 得证BA的特征值都是实数 3 16 设若A B Hm n 且A正定 试证 AB与BA的特征值都是实数 证2 由定理3 9 1 PAP E 则PABP 1 PAP P 1BP 1 P 1BP 1 M Hm n 即AB相似于一个Hermite矩阵M AB M R 得证AB的特征值都是实数 又因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相同 故BA的特征值也都是实数 证3 det E AB det A A 1 B detAdet A 1 B 0 但detA 0 和det A 1 B 0的根全为实数 见例3 9 1的相关证明 习题3 19设A是正定Hermite矩阵且A Un n 则A E 证 存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值的任意排列 A是正定蕴含 i 0 i 1 nA Un n蕴含 i 1 i 1 n因此 i 1 i 1 n A Udiag 1 n U UEU UU E 习题3 20试证 两个半正定矩阵之和是半正定 半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵 解 设A B Hn n分别是半正定矩阵 正定矩阵 则A A B B A B A B Hn n x Cn x Ax 0 x Bx 0 x Cn x A B x 0 A B是半正定Hermite矩阵 0 x Cn x Ax 0 x Bx 0 0 x Cn x A B x x Ax x Bx 0 A B是正定Hermite矩阵 习题3 22设A B均是正规矩阵 试证 A与B相似的充要条件是A与B酉相似 证 因为A B是正规矩阵 所以存在U V Un n使得A Udiag 1 n U B Vdiag 1 n V 其中 1 n 1 n分别是A B的特征值集合的任意排列 必要性 若A与B相似 则 i i i 1 n 于是B VU AUV W AW W UV Un n即得证A与B酉相似 充分性 显然 因为 酉相似必然相似 习题3 23设A A 试证 总存在t 0 使得A tE是正定 A tE是负定 证 因为A是Hermite矩阵 所以存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值并且全为实数 令t Max 1 n 于是 A tE是Hermite矩阵并且特征值全为正数 即得证A tE是正定Hermite矩阵 A tE是Hermite矩阵并且特征值全为负数 即得证A tE是负定Hermite矩阵 习题3 25 3 25 A A A SHn n U A E A E 1 Un n A SHn n A E的特征值全不为0 从而A E可逆 解 U U 1 A E 1 A E A E A E 1 A E 1 A E A E A E 1 A E 1 A E A E A E 1 A E A E A E A E A2 E A2 E因最后一式恒成立 得证U U 1 从而U A E A E 1 Un n 习题3 26设A为正规矩阵特征值为 1 n 试证 A A的特征值为 1 2 n 2 证 因为A是正规矩阵 所以存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值 于是 A A Udiag 1 2 n 2 U 因对角矩阵diag 1 2 n 2 酉相似于A A 故A A的特征值为 1 2 n 2 习题3 27 3 27 1 A A AA 都是半正定Hermite矩阵 2 若A Cm n 则A A AA 的非零特征值相同 它们的谱可能不一样 证 1 A A A A AA AA x Cn x A A x Ax Ax Ax Ax 0 2 对AA 的任意非零特征值 有AA x x x 0 于是A A A x A x 因 x 0 故A x 0 从而得证AA 的任意非零特征值 也是A A的非零特征值 同理可证 A A的任意非零特征值 也是AA 的非零特征值 习题3 27 2 另一解法 证 不难验证下列矩阵等式 因S 可逆 故从而det E AA 0与det E A A 0有相同非零解 得证AA 与A A有相同的非零特征值 习题3 28设A为正规矩阵 试证 若Ar 0 则A 0 若A2 A 则A A 证 因为A是正规矩阵 所以存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值 于是 Ar Udiag 1r nr U 0蕴涵 ir 0 i 1 n 后者又蕴涵 1 n 0 A Udiag 0 0 U 0 若A2 A 则 i2 i i 1 n 后者又蕴涵 i 0或1 i 1 n 即正规矩阵A的特征值全为实数 A Udiag 1 n U A 习题3 30 3 30 若A Cn n 则A可唯一地写为A B C 其中B Hn n C SHn n 证 存在性取B 1 2 A A C 1 2 A A 则显然B C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵 并且满足A B C 唯一性若A B C 其中B Hn n C SHn n 则A B C B C B C 于是B 1 2 A A C 1 2 A A 证毕注 令T iC 则T iC i C T 即T Hn n 由此推出 A可唯一地写为A B iT 其中B T Hn n 习题3 1试证 向量长度的齐次性 3 1 试证证 令 a1 an T 则k a1 an T 习题3 2试证 在酉空间V中成立广义商高定理 3 2 试证 1 k V i j 0 i j 或等价地 1 k 1 k 1 1 k k 证 对k用归纳法证明 k 2时 有 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 若k 1时结论成立 则 1 k 1 k 0 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 1 k 1 k k 1 1 k k k k 习题3 3令 1 1 1 1 1 T 2 3 3 1 1 T 3 2 0 6 8 T 求Span 1 2 3 的标正基 解 1 2 3就是所要求的标正基 习题3 5 i 用归纳法证明1 3 5 2n 1 2 n2 证 对k用归纳法证明 k 1时结论显然成立 若n 1时结论成立1 3 5 2n 3 n 1 2则1 3 5 2n 1 2 1 3 5 2n 3 2n 1 n 1 2 2n 1 n2 2n 1 2n 1 n2 习题3 6 试证 为正规矩阵解所以A为正规矩阵 易见 A不是对角阵且A A和A A因此 A不是Hermite矩阵 也不是反Hermite矩阵 习题3 7证明 对任意正定矩阵A 任意正整数k都有正定矩阵S使Sk A 证 因为A是正定矩阵 所以存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是全为正数 令S Udiag 11 k n1 k U 其中 i1 k是正数 i的k次算术根 也全为正数 由此推出 Sk A 并且S酉相似于对角元全为正数的对角矩阵 从而得证S是正定Hermite矩阵 习题4 1 1 4 1 求A 的满秩分解 解1 A C A BC B A5 A3 A1 习题4 1 1 4 1 求A 的满秩分解 解2 A C A BC B A1 A2 A3 习题4 1 2 4 1 2 求A 的满秩分解 解 A C A BC B A1 A3 习题4 2 求A 的奇异值分解 解 A的奇异值是 2 1 diag 2 1 AA 的对应于特征值2 1的单位特征向量是 1 2 1 2 0 T 1 0 0 T A的奇异值分解是 习题4 1A与B酉等价 A与B奇异值相同 必要性 A UBV AA UBVV B U UBB U BB AA 与BB 有相同的特征值集 得证A与B有相同的奇异值集 充分性 作A B的奇异值分解A UDV B U1DV1 D diag 0 其中 是由它们的全部正奇异值组成的正对角矩阵 于是U AV D U1 BV1 A UU1 B V1V 因酉矩阵的乘积UU1 V1V 仍为酉矩阵 故上式表明A酉等价于B 习题4 2 4 2 设A Crm n U Um m V Un n使B U AV diag 0 diag b1 br 则 b1 br 为A的全部正奇异值 证 U AA U BB diag 0 写成 2不对 diag b1 2 br 2 0 0 AA b1 br 为A的全部正奇异值 奇异值分解定理另一 更强 表述 定理 令 1 r为A Crm n的全部正奇异值 diag 1 r 则有U Um m V Un n使U AV D Crm n 反之 若有U Um m V Un n使 成立 其中 diag d1 dr i di 0 则d1 dr为A的全部正奇异值 奇异值分解的某种唯一性 证 AA UV VU UU diag d12 dr2 0 0 d1 dr为A的全部正奇异值 注 后半部等价于补充题4 2 4 3已知A奇异值求AT A A 1的奇异值 补充题4 3 令 1 r为A Crm n的全部正奇异值 diag 1 r 则有U Um m V Un n使A UV Udiag 0 V 易见A Vdiag 0 U AT Udiag 0 V T V Tdiag 0 UT 1 r为A AT 的全部正奇异值 利用奇异值分解定理的更强表述 A 1 U V 1 V 1U Vdiag 1 1 n 1 U 1 1 n 1为A 1的全部正奇异值 习题 5 1 2 试证 x y V x y x y 证 首先 x x y y x y y x y x y 其次 x y y x y x y x x y x y x y 此外 x y x y x y x y x y x y 习题 5 2试证 A nmaxi j aij 是矩阵范数 A aij Cn n证 非负性 齐次性显然 三角不等式 A B nmaxi j aij bij nmaxi j aij nmaxi j bij A B 相容性 AB nmaxi j ai1b1j ainbnj n2maxi t ait maxtj btj nmaxi j aij nmaxi j bij A B 习题 5 3设 是诱导范数detA 0 试证 A Cn n A 1 A 1和 A 1 1 minx 0 Ax x 证 1 E AA 1 A A 1 detA 0 A 0 A 1 1 A A 1 A 1 maxx 0 A 1x x maxy 0 y Ay y A 1x 0 x 0 maxy 0 1 Ay y 1 miny 0 Ay y A 1 1 minx 0 Ax x 同一向量的三种范数之间的大小关系 习题 5 4 对n维线性空间的任意向量x成立 x x 2 x 1 n x n x 2 n x 1 n2 x 证 x max x1 xn i 1n xi 2 1 2 x 2 x1 xn 2 1 2 x 1 nmax x1 xn n x 习题 5 6A Cn n是正定矩阵 x Cn 证明 x x Ax 1 2是向量范数 解1 因A是正定Hermite矩阵A 故存在可逆矩阵B使得A B B 则x的上述表示式可写为 x x Ax 1 2 Bx Bx 1 2 Bx 2其中 2是向量2 范数 再注意可逆矩阵B的性质 x 0 Bx 0 即可直接推出非负性 kx B kx 2 k Bx 2 k x 推出齐次性 三角不等式则由下式推出 x y B x y 2 Bx 2 By 2 5 6A正定 定义x Cn x x Ax 1 2 试证 是一个向量范数 解2 验证矩阵范数3条公理成立 前两条显然成立 只须证三角不等式 x y 2 x y A x y x y Ax Ay x Ax y Ay x Ay y Ax x 2 y 2 2Re x Ay 令B为A的正定Hermite平方根 A BB 则x Ay x BBy Bx By Bx By 标准内积由Cauchy Schwarz不等式 2Re x Ay 2 x Ay 2 Bx Bx 1 2 By By 1 2 2 x y x y 2 x y 2 得证所需结论 习题 5 7 试找一个收敛的2阶可逆方阵序列其极限矩阵不可逆解 下列矩阵序列满足所提条件 Ak的行列式都大于0 故可逆 但极限矩阵是行列式不为0的不可逆矩阵 习题 5 9计算矩阵幂级数 试计算幂级数 解1 利用Jordan标准形B Pdiag 5 3 P 1 P 解2 利用谱半径小于1的矩阵性质 B 0 5 1 E k 1 Bk E B 1 答案是 k 1 Bk 解3 也可利用 B B 1 B 0 9 1 补充题5 1 A i 试用归纳法证明 解 k 1时结论显然成立 设k时结论已成立 来证k 1时结论必成立 ii 求 Ak Ak 1 Ak 解 Ak ak Ak 1 Ak ak kak 1 补充题5 1 已知A iii 求 A 2解 补充题5 2 试证 若 k 1 Ak绝对收敛 且则 k 1 Bk绝对收敛 解 k 1 Ak绝对收敛蕴涵对任意i j正项级数收敛 从而由正项级数比较判别法 对任意i j 正项级数收敛 从而得证矩阵级数 k 1 Bk绝对收敛 补充题5 3 已知幂级数 k 0 Ak是否收敛 若收敛 又收敛于什么矩阵 解 所以 k 0 Ak绝对收敛于下列矩阵 补充题5 4 试证 矩阵幂级数对一切A Cn n绝对收敛 解 因它所对应的数项幂级数的收敛半径是所以 对一切A Cn n绝对收敛 补充题5 5下列矩阵幂级数是否绝对收敛 1 解 因A是上三角矩阵 不难看出它的特征值是1和2 从而其谱半径是 2 1 R 所以 此矩阵幂级数发散 2 解 因 A 1 MAX 0 9 0 8 0 9 0 91 R 补充题5 5下列矩阵幂级数是否绝对收敛 3 解1 此矩阵幂级数对应幂级数的收敛半径因 A MAX 1 7 1 9 1 9R 发散 解2 此矩阵幂级数等价于而的矩阵幂级数绝对收敛 B 0 95 1 习题 6 5 求已知矩阵A的最小多项式 已知A 解I 解II A dn Dn Dn 1 1 3 1 1 2 习题 6 5 求已知矩阵A的最小多项式 已知A 解I 因A E和A 2E都 0 并且 A 2E A E 0 故 A 2 1 习题 6 5 求已知矩阵A的最小多项式 已知A 解II A dn Dn Dn 1 2 1 2 1 2 1 习题 6 6已知矩阵A求f A 的Jordan表示式 已知A 解 因 A E A 2E 0 故 A 1 2 2 从而得A的初等因子为 1 2 2 设变换矩阵为P 1 2 3 则A 1 2 3 1 2 3 给出 A E 1 0 A 2E 2 0 A 2E 3 2解这些方程组求得P 1 2 3 习题 6 6续 注 f x arctg x 4 f x 补充题 6 1已知A和p 求p A 已知A p 4 2 3 1 f 12 4 11 4 10 3解I 易见的特征多项式D 2 3 A 2E 2 0 A 2E 0 A 2 2 2 4 4p 2 2 4 2 4 4 9 17 p A 0 9A 17E f 10 2 4 4 3 p A 0 A 3E 解II 由D 2 3 和 A 2 2 2 4 4A有Jordan标准形并有变换矩阵P满足 补充题 6 2求已知A的Jordan标准形用于计算 已知A 求etA Sin A 解 det E A 3 3 8 2 1从而得A的初等因子为 1 1 设变换矩阵为P 1 2 则A 1 2 1 2 给出 A E 1 0 A E 2 0 解这些方程组求得P 1 2 补充题 6 2续 补充题 6 2续 注 也可直接计算Sin A 习题 8 1求已知矩阵A的全部减号逆 已知A 求它的全部减号逆解 习题 8 2求已知矩阵A的加号逆 已知A 求它的加号逆解 显然 A是满行秩 有秩分解 A E3A A A AA 1 习题 8 4 证明有关加号逆的等式 证明 AA