高等数学下_复习题答案.pdf

常数项无穷级数常数项无穷级数 一 证明下列级数发散 1 lim n n 2 1 发散 2 lim n arctann 2 发散 3 lim n n n 5 1 发散 二 用比较法判别下列级数的收敛性 1 当n 1 n2 n 1 1 n2 收敛 2 当 n 1 n3 4 1 n3 收敛 3 当n 5 2 3n 5 3n 收敛 4 当 n 1 n n 1 n 发散 5 当n n 1 n2 1 n 发散 6 当 n 4 3n 2n 3 2 n 发散 7 cos2n 2n 1 1 2n 收敛 8 当 n n2 1 3n4 1 1 3n2 收敛 9 当n n2 1 n3 1 1 n 收敛 10 1 sinn 10n 2 10n 收敛 11 2 1 n n n 3 n3 2 收敛 12 当 n 1 n 3 1 1 n3 2 收敛 13 当n 2n 1 3n 2 3 n 收敛 14 当 n 1 2n 1 3n 2 3 n 收敛 15 当n 5 2n 1 n2 2 2 n3 收敛 16 当 n n 2 n 1 3 1 n2 收敛 17 当n 1 n n2 1 n3 n6 n2 n6 1 n 发散 18 当 n n 5 3 n 7 n2 n 3 n 7 1 n4 3 收敛 19 当n sin 1 n 1 n 发散 20 当 n 1 n1 1 n 1 n 发散 三 用比值法判别下列级数的收敛性 1 lim n an 1 an e 1 1 收敛 2 lim n an 1 an 1 3 1 收敛 3 lim n an 1 an lim n 1 n 1 0 1 时 f x x 1 x 单调递增 则an 2n 4n2 1 1 f 2n 单调递减且趋于0 收敛 5 lim n an 1 2 0 发散 6 lim n an 发散 五 判别下列级数是绝对收敛 条件收敛或发散 1 绝对收敛 比值或根值判别法 2 绝对收敛 比值判别法 3 发散 比值或根值判别法 4 条件收敛 莱布尼兹判别法 5 绝对收敛 6 发散 limn an 1 0 7 条件收敛 莱布尼兹判别法 8 绝对收敛 比值判别法 9 发散 比值判别法 10 绝对收敛 an 1 n3 11 绝对收敛 an 1 4n 12 绝对收敛 比值或根值判别法 13 绝对收敛 比值判别法 14 绝对收敛 比值或根值判别法 15 发散 an 2n 2 3 16 条件收敛 17 绝对收敛 比值判别法 18 条件收敛 19 收敛 根值判别法 20 绝对收敛 根值判别法 幂级数幂级数 一 求下列幂级数的收敛半径和收敛域 1 R 1 K 1 1 2 R 1 K 1 1 3 R 3 K 3 3 4 R 1 K 1 1 5 R K 6 R 0 K 0 7 R 1 4 K 1 4 1 4 8 R 3 K 3 3 9 R 1 K 0 2 10 R 2 K 4 0 二 求下列幂级数的和函数 1 lim n 2n 2 x2n 1 2n x2n 1 x 2 当 x2 1 时 即 x 1 时 即 x 1 级数发散 则 收敛半径R 1 当x 1或x 1 2n x2n 1 2n n 级数发散 则收敛域 K 1 1 令s x n 1 2nx2n 1 由幂级数逐项积分的性质有 对任意的 x 1 0 x s x dx n 1 0 x s x 2nx2n 1dx n 1 x2n x2 1 x2 则 s x d dx x2 1 x2 2x 1 x2 2 x 1 2 收敛半径R lim n an an 1 2 当x 2 时 为交错级数 n 1 1 n 1 2n 收敛 x 2时 级数为 n 1 1 2n 发散 则幂级数的收敛域 为K 2 2 设s x n 1 xn 1 n2n 则xs x n 1 xn n2n 由幂级数逐项求导的性质有 对任意的 x 2 d dx x s x n 1 d dx xn n2n 1 2 n 1 x 2 n 1 1 2 1 x 2 1 2 x 于是 xs x 0 x dx 2 x ln2 ln 2 x 当x 0时 s x ln2 ln 2 x x 再由幂级数和函数的连续性可知 s 0 lim x 0 ln 2 ln 2 x x 1 2 洛必达法则求极限 则和函数为 s x ln2 ln 2 x x 2 x 2且 x 0 1 2 x 0 三 将下列函数展出成幂级数 1 f x 1 1 x 1 1 x i 0 x n i 0 1 nxn x 1 2 f x 3 1 x4 3 1 1 x4 3 i 0 x4 n i 0 3x4n x 1 3 f x 1 1 9x2 1 1 9x2 i 0 9x2 n i 0 1 n9nx2n 收敛域为9x2 1 即 x 1 3 4 f x x 9 x2 x 9 1 1 x2 9 x 9 i 0 x2 9 n i 0 1 n 9n 1 x2n 1 x2 9 1 即 x 3 二重积分二重积分 一 计算下列累次积分 注意积分次序 1 10 2 116 3 3 2 4 15 4 2 二 计算下列二重积分 1 256 21 2 8 3 ln 10 ln 3 3 ln 2 2 4 e 1 2 4 1 2 e e3 4 三 计算下列二重积分 1 D x y 0 y x 0 x 1 I 1 cos1 2 2 D x y x2 y x 0 x 1 I 3 10 3 D 分成两个x区域 D1 x y 2 x y 2 0 x 1 D2 x y x 1 2 y 2 0 x 1 则I I1 I2 49 20 49 10 147 20 4 D x y 0 x 1 y2 1 x 1 I 2 15 四 画出积分区域 并交换积分次序 1 0 2 dy y2 4 f x y dx 2 0 4 dy 0 y 4 f x y dx 3 3 3 dx 0 9 x2 f x y dy 4 0 ln 2 dy e y 2 f x y dx 五 通过交换积分次序计算下列积分 1 0 3 ex 2dx 0 x 3 dy e 9 1 6 2 0 1 x3 1dx 0 x2 dx 2 9 2 2 1 3 0 9 cos x2 dx 0 x ydy sin 81 4 4 0 1 sin y3 dy 0 y x3dx 1 cos1 12 六 将积分 D f x y d 化为累次积分 其中积分区域 D 如下图所示 1 0 3 2 d 0 4 f cos sin d 2 1 1 dx 0 1 x2 f x y dy 3 1 1 dx 0 x 1 2 f x y dy 4 2 2 d 3 6 f cos sin d 七 用极坐标计算下列二重积分 1 0 2 sin cos d 0 3 3d 0 可直接利用偶倍奇零的性质 2 2 2 cos sin d 1 2 2d 14 3 3 2 2 d 0 1 e 2 d 2 e 1 4 0 4 d 1 2 d 3 64 2 八 将下列累次积分化为极坐标计算 1 0 2 d 0 1 e 2 d 4 e 1 2 2 2 d 0 a 4d 5 a5 3 0 sin2 cos2 d 0 2 5d 4 3 4 0 2 d 0 2cos 2d 16 9 三重积分三重积分 一 计算下列累次积分 1 1 2 2 1 2 二 计算下列三重积分 1 4 2 3sin1 20 三 计算下列三重积分 1 6xydV 6 0 1 x dx 0 x ydy 0 1 x y dz 6 0 1 xdx 0 x 1 x y ydy 6 0 1 x 1 2 x 1 x 1 3 x x dx 65 28 2 y dV 6 0 1 dx 0 x ydy 0 2 x y dz 1 5 3 x2e ydV 1 1 x2dx 1 1 e ydy 0 1 y2 dz 2 3 1 1 1 y2 e ydy 8 3e 其中可用分部积分的方法求出 y 2ey dy 2 2 y y2 e y C 4 x 2 y dV 0 1 dx x2 x dy 0 x x 2y dz 2 15 四 利用三重积分计算下列立体体积 1 V 0 2 dx 0 4 2 x dy 0 4 2 x y dz 16 3 2 V 0 4 dz 3 3 dx x2 9 dy 144 3 V x2 y2 9 dxdy 1 5 y dz 36 4 V y2 z2 16 dydz y2 z2 16 dx 128 五 利用柱面坐标计算下列三重积分 1 I 5 4 dz x2 y2 16 x2 y2dxdy 384 2 I 0 1 dz x2 y2 1 x 0 y 0 x3 xy2 dxdy 0 2 cos d 0 1 4d 1 5 3 I I1 I2 0 1 ezdz x2 y2 5 dxdy 1 6 ezdz z 1 x2 y2 5 dxdy e6 e 5 4 I 0 2 dz z2 4 x2 y2 1 x2dxdy 2 2 dz 0 2 cos2 d z 2 1 3d 2 5 六 利用球面坐标计算下列三重积分 1 I 0 2 d 0 sin d 0 1 r4dr 4 5 2 I 0 2 d 0 2 sin3 d 0 1 r4dr 4 15 3 I 0 2 d 0 2 sin cos d 1 2 r3dr 15 16 4 I 0