高等数学课后习题答案--第一章.pdf

1 高等数学 习题参考资料 第一篇 一元函数微积分 第一章 极限与连续 1 函 数 习 题 1 确定下列初等函数的定义域 1 2 1 2 xx x xf 2 4 2 xxf 3 2 1 arcsin x xf 4 2 5lg x x xf 5 4lg 5lg 2 xxxf 6 xxxfcossin 1 答案 1 2 2 1 1 xxD 2 2 2 xxD 3 3 1 xxD 4 5 0 0 xxD 5 4 1 xxD 6 U k kkxxD 4 5 2 4 1 2 2 作出下列函数的图象 1 sin sin xxxf 2 1 2 xxf 3 1 1 2 1 x x x xf 12 21 1 0 则ts 即 tfsf 即 xf在 0 a 单调增加的 8 判断下列函数在给定区间上是否有界 1 4 2 2 2 x x x xf 2 0 sin 2 xxxxf 3 1 0 1 sin 1 x xx xf 4 1 sin xxxxf 8 答案 1 无界 2 无界 3 无界 4 无界 4 9 设 2 2x xgxxf 求ggfffggfoooo 9 答案 x gf 2 2 o 2 2xfg o 4 xff o x gg 2 2 o 10 下列函数分别是由哪几个较简单的函数复合而成 1 53 xxf 2 xxflg 3 1sin lg 2 xxf 10 答案 1 uf 53 xu 2 uf vulg xv 3 ufsin vulg 1 2 xv 11 求下列函数的反函数 并指出反函数的定义域 1 xxf3sin2 2 1 x x a a xf 3 2 xx aa xf 4 1 0 1arcsin4 2 fDxxf 11 答案 1 2 arcsin 3 1x y 22 xD 2 x x y a 1 log 1 0 D 3 1 log 2 xxy a D 4 4 cos2 x y 2 0 D 2 数列的极限 习 题 1 证明 数列LL 1 3 1 2 1 1 n 为无穷小量 5 1 答案 对于任意给定的0 n 于是取 2 1 N 当 Nn 时 成立 总存在整数0 N 当Nn 时 都有 由于aaaa nn 于是当Nn 时 都有 aan 因此 n a收敛于 a 但反之不一定成立 例如 n n a 1 3 求下列极限 1 n lim nn n 2 2 13 2 n lim 11 22 n n n n 3 n lim nn nn 3 1 3 2 4 n lim 1 sin 2 n nn 5 n lim n n bbb aaa L L 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 10 1 a a a 4 下列命题是否正确 正确的请给予证明 不正确的请举出反例 1 若 n a 收敛 n b 发散 则 n a n b 与 n a n b 均发散 2 若 n a n b 均发散 则 n a n b n a n b 也均发散 4 答案 1 nn ba 发散 用反证法证明 n a不收敛于零时 nnb a发散 用 反证法证明 当 n a收敛于零时 不一定 例 n an 1 n n b 1 则 nnb a收敛 但 6 2 1 nb n n 时 nnb a发散 2 不一定 5 设 n a n n 2 12 4 3 2 1 L 证明 n a 12 1 n 并求出 n lim n a 5 提示 12 2 43 12 12 31 222 222 2 nn nn an L L 12 1 2 12 12 4 53 2 31 222 nn nn L 12 1 n 6 证明 n lim0 2 2 2 1 1 333 n n nn L 6 提示 利用 333 2 1 n n kn k n nk 2 1K 根据夹逼性即得 7 利用 单调有界数列必有极限 证明下列数列 n x 收敛 并求出它们的极 限 1 2 1 2 2 11 L nxxx nn 2 2 1 2 2 11 L nxxx nn 3 2 1 1 1 1 11 L n x x xx n n n 7 提示 1 n x是单调增加的 且2 1 2u 设 1 nn uu 成立 则 1 2 nn uu 1 2 nn uu 也成立 因此数列是单调增加的 其次 证明它有上界 仍用归纳法来证明 对于2 1 u 12 设对于n成立 n u12 则 2 1 222122 21 21 21 nn uu 因此由归纳假设可知 对一切n 有 n u 21 这样数列 n u 有上界 因此 数列收敛 注意 在此题有界性的证明中 归纳假设的界不是唯一的 可以假 设1 kan 其中k是任意大于 2 的正数 这种不唯一性也给初学者带来困惑 3 提示 显然 2 n x 归纳法证明数列单调增加 利用 11 1 11 11 1 1 nnnn nn nnnn xxxx xx xxxx 即可 8 利用Cauchy收敛准则 证明以下数列 n x 的收敛性 1 n n n x 2 sin 2 2sin 2 1sin 2 L 7 2 1 cos 32 2cos 21 1cos nn n xnL 3 222 1 3 1 2 1 1 n xn L 提示 n 2时 nnn 1 1 11 2 1 mnn nm aa 2 1 2 1 2 1 1 L n 2 1 n 2 nm aa 1 1 2 1 1 1 1 mmnnnn L nmn 111 n 3 nm aa 222 1 2 1 1 1 mnn L 222 1 1 1 1 1 1 nnn L 2 1 n n n 1 n 3 函数的极限 习 题 1 验证下列极限 1 3 lim x 21 x 2 0 lim x 2 1 x e 0 1 解 1 对于任意给定的 0 21 x 21 3 x x 2 3 x 取 2 1min 则当x 适合不等式 3 0 x时 21 x 因此 21lim 3 x x 2 假定10 取 ln 5 0min 1 则当x 适合不等式 0 x 时 2 1 x e Axf ax 则对于任意给定的 0 存在0 1 当 10 0 xx时 当 20 0 A xf 取 min 21 则当x 适合不等式 01 01 x x xf 在0 x 3 正确 反证法 不然fgfg 应该连续 4 不正确 例 01 01 x x xf x 因此本函数的定义域 2 1 x 因此不考 虑点 2 1 x 12 3 如果 0 lim xx f x 0 0 lim xx g x 也存在 证明 0 lim xx f x xg 0 lim xx f x lim 0 xg xx 3 答案 利用 x ey 及xyln 的连续性 ln xfxgxg exf lim lim 00 xg xx xg xx xfxf ln lim 0 xfxg xx e lnlim lim 00 xfxg xxxx e limln lim 00 xfxg xxxx e lim 0 0 lim xg xx xx xf 4 利用上题结果 求极限 1 n lim 1 4 tan n n 2 x lim x x 1 1 2 4 答案 1 2 e 2 1 5 求极限 1 3 lim x 3 21 x x 2 2 lim x 2 2 33 x x 3 x lim 33 2 2 1 x xx 4 x lim 11 22 xx 5 xlim 22 22 xxxx 6 0 lim x x x cot sin1 7 xlim ln 2 ln xxx 8 x lim bax bxax bax bxax 2 9 0 lim x x x cot 4 tan 10 x lim x xx 1 cos 1 sin 5 答案 1 4 1 2 3 2 6 1 3 1 4 0 5 2 6 e 7 2 8 ba e 9 2 e 10 e 10 的计算过程 x x xx 1 cos 1 sinlim t t tt 1 0 cossinlim t t tt 1 0 tan1 coslim t t t t tt 1 0 1 0 tan1limcoslim 0 2 sin21 lim coslim 1 2 0 1 0 t t t t t t ett t t t t t t tan tan 1 0 1 0 tan1 lim tan1 lim 于是 x x xx 1 cos 1 sinlime 13 6 利用等价无穷小替代的方法计算 1 0 lim x 4 cosln 1 1 x xx x 2 2 lim x sin1 sin1 sin1 xx x 其中0 0 提示 令 1sintx 6 答案 1 2 1 1 1 x x1 1ln xx e 2 1ln xxx 2 sin21ln ln cos 2x x 2 2 x 4 0 cosln11 lim x xx x x 2 1 2 1 lim 4 4 0 x x x 2 xx 2 cossin 记tx 2 于是txcossin xx x x sin1sin1 sin1 lim 2 tt t t cos1cos1 cos1 lim 0 而x k cos1 2 2 sin11 k t 2 2 t k 于是 tt t t cos1cos1 cos1 lim 0 22 2 0 22 2 lim tt t t 7 当0 x时 用x的幂函数表示下列函数的等价无穷小量 1 64 532 xxx 2 32 xx 3 3121 3 xx 4 1ln 1ln xx 5 xxsin 6 xxsin1tan1 7 答案 1 2 4x 2 3 1 x 3 2 2 1 x 事实上 3 3121xx 131121 3 xx 13131 3 121 2 33 2 xx x x x 13131 3 121 2 33 2 xx x x 12113131 1213131312 33 2 33 2 xxx xxx x 12113131 12131311312 33 2 33 2 xxx xxx x 14 而 x xxx x 12131311312 lim 33 2 0 x x x xx xx 1213 lim 13121312 lim 0 33 2 0 3 于是 2 3 0 2 1 3121 lim x xx x 12113131 12131311312 2lim 33 2 33 2 0 xxxx xxx x 1 6 32 因此 23 2 1 3121xxx 4 1ln 1ln xx x x 1 1 ln x x 1 2 1ln x x 1 2 x2 5 x 6 xxsin1tan1 xx xx sin1tan1 sin1tan1 xx xx sin1tan1 sintan xx x x sin1tan1 1 cos 1 sin xxx xx cos sin1tan1 cos1 sin xxx x x cos sin1tan1 2 sin2sin 2 3 4 1 x 8 设f在 上连续 且 x limf x A 试证明f在 上有界 8 答案 本题给出了判别函数在 上有界的一个准则 其证明需运用 极限的分析定义 因为 limAxf x 取1 0 则存在0 X 当Xx 时 1 0 Axf 即1 1 AxfA 所以1 M 使 0 Mxf 因此对一切 x 1max 0 MAxf 函数有界 9 证明方程0153 x x 在 0 1 内有实根 9 提示 令153 xxf x 在区间 1 0 内运用零点存在定理 10 证明方程在014 3 xx在 0 1 内有且仅有一个实根 10 提示 令14 3 xxxF 分别在区间 0 3 1 0 3 1 内运用零点存在定 理 而 xF是三次多项式 因此最多三个零点 11 设f是 0 2a 上的连续函数 f 0 f 2a 证明 存在 0 a 使得 15 aff 11 提示 令 axfxfxF 在 0 a内对 xF运用零点存在定理 12 设f是 0 1 上的连续函数 且0 f x 1 对一切 1 0 x成立 证明 至少 存在一点 1 0 使得 f 满足这个关系式的 称为f的不动点 12 提示 令xxfxF 先讨论在0 1 xx的情况 再在区间 1 0 内运 用零点存在定理 13 设a 0 b 0 证明 方程 bxax sin 至少有一个不超过a b的正根 13 提示 令bxaxF sin 先讨论在bax 和0 x的情况 再在区间 0 ba 内运用零点存在定理 14 设f是 ba上的连续函数 且 0 baxxf 证明f x 在 ba上恒正或 恒负 解 反证法