本部20131203线性代数测验答案.pdf

第 1 页 共 3 页 本部线性代数测验参考答案110 分钟 班级 学号 姓名 一 填空题 将答案写在答题纸的相应位置 不写解答过程 每空 3 分 共 15 分 1 0 cba 2 101 022 125 1 A 3 无 4 1 5 8 5 二 单项二 单项选择题 从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案 并将其代号写在 答题纸的相应位置 答案选错或未选者 该题不得分 每小题 3 分 共 15 分 BCACB 三 三 计算题 要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果 每小题 10 分 共 20 分 1 解 第 1 5 列对换 第 2 4 列对换 D 24t 2 解 41424344 2131 1025 2345275 1242 2345 MMMMD 四 四 计算题 要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果 本题 10 分 解 AXABXBAXBBXAIAB X ABI 111 011 001 AB 111 01110 001 AB A B 可逆 111 100100 111 011 010010 011 001 001001 001 1 111 011 001 AB 11 111111123 011011012 001001001 XABAB 五 五 计算题 要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果 本题 10 分 第 2 页 共 3 页 112221122210011 201120101101011 130240011000110 211230000000000 12345 1 3R 123 2 4123 3 512 六 计算题六 计算题 本题 10 分 请写出解答过程 解 1115311115311013 25 2 1 1132230247140127 21 2 2 31188102471400000 0 51311133048142800000 0 02471402471400000 0 13451 23452 333345 444 555 13 25 2113 25 2 227 21 2227 21 2 0100 0010 0001 xxxxx xxxxx xxxXxxx xxx xxx 通解 1 2 3123123 4 5 113 25 2 227 21 2 0100 0010 0001 x x xXkkkk k kR x x 七 七 计算题 要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果 本题只做 A 或 B 一题 10 分 设 2100 1200 0001 0010 A 122 212 221 B 求 A 或 B 的特征值与特征向量 解 1 2 2100 1200211 1 3 1 0 001121 001 IA 第 3 页 共 3 页 特征值 1234 1 3 1 12 1 1100 1100 0011 0011 IA XIA XXO 121 222 24 343 444 1100110010 1100001110 0011000001 0011000001 xxx xxx Xxx xxx xxx 特征向量 X k1 1 1 0 0 T k2 0 0 1 1 T k1 k2是不全为零的实数 3 1100 1100 3 3 0031 0013 IA XIA XXO 121 222 2 33 44 110011001 110000101 0003100010 0001300000 xxx xxx Xx xx xx 特征向量 X k 1 1 0 0 T k 是不为零的实数 4 3100 1300 1 0011 0011 IA XIA XXO 11 22 4 343 444 0310010000 0130001000 001100111 001100001 xx xx Xx xxx xxx 特征向量 X k 0 0 1 1 T k 是不为零的实数 2 2 122 212 5 1 0 221 IA 特征值 123 1 5 第 4 页 共 3 页 12 1 222 222 222 IA XIA XXO 1231 22223 333 22211111 22200010 22200001 xxxx xxXxxx xxx 特征向量 X k1 1 1 0 T k2 1 0 1 T k1 k2是不全为零的实数 3 5 422 5 242 224 IA XIA XXO 131 2323 333 4221011 2420111 2240001 xxx xxXxx xxx 特征向量 X k 1 1 1 T k 是不为零的实数 八八 证明题 要求在答题纸相应位置上写出详细证明过程 本题只做其中的一题 10 分 列出 6 种题型仅供复习参考 1 设 12345 线性无关 12345 线性相关 证明 可由 12345 唯一线性表示 证明 略 参见教材 P113 定理 3 5 证明 2 证明向量组 112223334441 线线性性相相关关 证明 略 参见教材 P123 例 3 16 证明 3 证明正交向量组 12 n 线性无关 证明 略 参见教材 P139 定理 3 16 证明 4 如果向量组 1 2 线性无关 而向量组 1 2 线性相关 证明 向 量 可以由 1 2 线性表示 证明 由于向量组 1 2 线性相关 所以 存在不全为零的数 k1 k2使 1122112212 kkOkkkkO 不妨设 12 0kk 否则 若 12 kk 0 则由上式有 1122 kkO 且 12 k k不全为零 所以 12 线性相关 与向量组 12 线性无关矛盾 于是 12 0kk 所以 12 12 1212 kk kkkk 即 可由 12 线性表示 第 5 页 共 3 页 5 设秩 1212 nn RR 证明向量组 B 12 n 可 由向量组 A 12 n 线性表示 证明 设 1212 nn RR r n 则 A B 向量组的极大无关 组均由 r 个向量构成 不妨设向量组 A 12 n 的极大无关组为 C 12 r 则 C 也是 向量组 B 的一个极大无关组 所以 可由向量组 C 线性表示 即存在一组数 12 r k kk 使得 1122rr kkk 从而 可由向量组 A 线性表示 即 11221 00 rrrn kkk 显然 1 2 i in 可由向量组 A 线性表示 于是 向量组 B 可由向量组 A 线性表示 6 设 A 1278 是一个 6 维向量组 证明至少有两个向量可由其余向量 线性表示 证明 因为 A 1278 是一个 6 维向量组 由向量组秩的性质知 128 6Rr 当 r 6 时 不妨设向量组 A 的极大无关组为