全国Ⅰ卷,高考文科数学试卷.pdf

2010201020102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 全国全国 卷卷 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 2010 全国 文 1 cos300 等于 A 2 3 B 2 1 C 2 1 D 2 3 答案 C 2 2010 全国 文 2 设全集U 1 2 3 4 5 集合M 1 4 N 1 3 5 则N C UM 等 于 A 1 3 B 1 5 C 3 5 D 4 5 答案 C 3 2010 全国 文 3 若变量x y满足约束条件 22 0 1 yx yx y 则z x 2y的最大值为 A 4B 3C 2D 1 答案 B 4 2010 全国 文 4 已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1a2a3 5 a7a8a9 10 则a4a5a6 等于 A 52B 7C 6D 42 答案 A 5 2010 全国 文 5 1 x 4 1 x 3的展开式中x2的系数是 A 6B 3C 0D 3 答案 A 6 2010 全国 文 6 直三棱柱ABC A1B1C1中 若 BAC 90 AB AC AA1 则异面直线 BA1与AC1所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 7 2010 全国 文 7 已知函数f x lgx 若a b 且f a f b 则a b的取值范围是 A 1 B 1 C 2 D 2 答案 C 8 2010 全国 文 8 已知F1 F2为双曲线C x2 y2 1 的左 右焦点 点P在C上 F1PF2 60 则 PF1 PF2 等于 A 2B 4C 6D 8 答案 B 9 2010 全国 文 9 正方体ABCD A1B1C1D1中 BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A 3 2 B 3 3 C 3 2 D 3 6 答案 D 10 2010 全国 文 10 设a log 32 b ln2 c 5 2 1 则 A a b cB b c aC c a bD c b0 的解集是 答案 x 2 x2 14 2010全国 文14 已知 为第二象限的角 sin 5 3 则tan2 答案 7 24 15 2010 全国 文 15 某学校开设A类选修课 3 门 B类选修课 4 门 一位同学从中共 选 3 门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 种 用数字 作答 答案 30 16 2010 全国 文 16 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段BF的 延长线交C于点D 且BF 2FD 则C的离心率为 答案 3 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 2010 全国 文 17 记等差数列 an 的前n项和为Sn 设S3 12 且 2a1 a2 a3 1 成等比数 列 求Sn 解 设数列 an 的公差为d 依题设有 12 1 2 321 2 231 aaa aaa 即 4 0 22 1 11 2 1 da addaa 2 解得a1 1 d 3 或a1 8 d 4 因此Sn 2 1 n 3n 1 或Sn 2n 5 n 18 2010 全国 文 18 已知 ABC的内角A B及其对边a b满足a b acotA bcotB 求 内角C 解 由a b acotA bcotB及正弦定理得 sinA sinB cosA cosB sinA cosA cosB sinB 从而 sinAcos 4 cosAsin 4 cosBsin 4 sinBcos 4 sin A 4 sin 4 B 又 0 A B 故A 4 4 B A B 2 所以C 2 19 2010 全国 文 19 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初 审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初 审专家的评审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则 不予录用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0 5 复审的稿件能通过评审的概率为0 3 各专家独立评审 1 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 2 求投到该杂志的 4 篇稿件中 至少有 2 篇被录用的概率 解 1 记A表示事件 稿件能通过两位初审专家的评审 B表示事件 稿件恰能通过一位初审专家的评审 C表示事件 稿件能通过复审专家的评审 D表示事件 稿件被录用 则D A B C P A 0 5 0 5 0 25 P B 2 0 5 0 5 0 5 P C 0 3 P D P A B C P A P B C P A P B P C 0 25 0 5 0 3 0 40 2 记 0 A表示事件 4 篇稿件中没有 1 篇被录用 A1表示事件 4 篇稿件中恰有 1 篇被录用 A2表示事件 4 篇稿件中至少有 2 篇被录用 2 A 0 A A1 P 0 A 1 0 4 4 0 129 6 P A1 C1 4 0 4 1 0 4 3 0 345 6 P 2 A P 0 A A1 P 0 A P A1 0 129 6 0 345 6 0 475 2 P A2 1 P 2 A 1 0 475 2 0 524 8 20 2010 全国 文 20 如图 四棱锥S ABCD中 SD 底面ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E为棱SB上的一点 平面EDC 平面SBC A B C D E S 1 证明SE 2EB 2 求二面角A E C 的大小 解法一 1 连结BD 取DC的中点G 连结BG 由此知DG GC BG 1 即 DBC为直角三角形 故BC BD 又SD 平面ABCD 故BC SD 所以BC 平面BDS BC DE 作BK EC K为垂足 因平面EDC 平面SBC 故BK 平面EDC BK DE DE与平 面SBC内的两条相交直线BK BC都垂直 DE 平面SBC DE EC DE SB A B C D E S K G F SB 22 DBSD 6 DE SB DBSD 3 2 EB 22 DEDB 3 6 SE SB EB 3 62 所以SE 2EB 2 由SA 22 ADSD 5 AB 1 SE 2EB AB SA 知AE 22 3 2 3 1 ABSA 1 又 AD 1 故 ADE为等腰三角形 取ED中点F 连结AF 则AF DE AF 22 DFAD 3 6 连结FG 则FG EC FG DE 所以 AFG是二面角A DE C的平面角 连结AG AG 2 FG 22 DFDG 3 6 cos AFG FGAF AGFGAF 2 222 2 1 所以二面角A DE C的大小为 120 解法二 以D为坐标原点 射线DA为x轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系D xyz A B C D E S x y z F 设A 1 0 0 则B 1 1 0 C 0 2 0 S 0 0 2 1 SC 0 2 2 BC 1 1 0 设平面SBC的法向量为n n n n a b c 由n n n n SC n n n n BC得 n n n n SC 0 n n n n BC 0 故 2b 2c 0 a b 0 令a 1 则b 1 c 1 n n n n 1 1 1 又设SE EB 0 则E 1 1 1 2 DE 1 1 1 2 DC 0 2 0 设平面CDE的法向量m m m m x y z 由m m m m DE m m m m DC 得 m m m m DE 0 m m m m DC 0 故 x 1 y 1 z 1 2 0 2y 0 令x 2 则m m m m 2 0 由平面DEC 平面SBC得m m m m n n n n m m m m n n n n 0 2 0 2 故SE 2EB 2 由 1 知E 3 2 3 2 3 2 取DE中点F 则F 3 1 3 1 3 1 FA 3 2 3 1 3 1 故FA DE 0 由此得FA DE 又EC 3 2 3 4 3 2 故EC DE 0 由此得EC DE 向量FA与EC的夹角等于二面角A DE C的平面角 于是 cos FA EC ECFA ECFA 2 1 所以 二面角A DE C的大小为 120 21 2010 全国 文 21 已知函数f x 3ax4 2 3a 1 x2 4x 1 当a 6 1 时 求f x 的极值 2 若f x 在 1 1 上是增函数 求a的取值范围 解 1 f x 4 x 1 3ax2 3ax 1 当a 6 1 时 f x 2 x 2 x 1 2 f x 在 2 内单 调递减 在 2 内单调递增 在x 2 时 f x 有极小值 所以f 2 12 是f x 的极小值 2 在 1 1 上 f x 单调增加当且仅当f x 4 x 1 3ax2 3ax 1 0 即 3ax2 3ax 1 0 当a 0 时 恒成立 当a 0 时 成立 当且仅当 3a 12 3a 1 1 0 解得a 6 1 当a 0 时 成立 即 3a x 2 1 2 4 3a 1 0 成立 当且仅当 4 3a 1 0 解得a 3 4 综上 a的取值范围是 3 4 6 1 22 2010 全国 文 22 已知抛物线C y2 4x的焦点为F 过点K 1 0 的直线l与C相交 于A B两点 点A关于x轴的对称点为D 1 证明点F在直线BD上 2 设FA FB 9 8 求 BDK的内切圆M的方程 解 设A x1 y1 B x2 y2 D x1 y1 l的方程为x my 1 m 0 1 将x my 1 代入y2 4x并整理得 y2 4my 4 0 从而y1 y2 4m y1y2 4 直线BD的方程为 y y2 12 12 xx yy x x2 即y y2 12 4 yy x 4 2 2 y 令y 0 得x 4 21y y 1 所以点F 1 0 在直线BD上 2 由 知 x1 x2 my1 1 my2 1 4m2 2 x1x2 my1 1 my2 1 1 因为FA x1 1 y1 FB x2 1 y2 FA FB x1 1 x2 1 y1y2 x1x2 x1 x2 1 4 8 4m2 故 8 4m2 9 8 解得m 3 4 所以l的方程为 3x 4y 3 0 3x 4y