2011年校级大学生非数学专业竞赛试题答案.pdf

北京交通大学北京交通大学 2011 年非数学专业大学生数学竞赛试题年非数学专业大学生数学竞赛试题 2011 年 6 月 18 日晚 7 00 9 30 学院与班级 学号 姓名 联系方式 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 3 分 满分分 满分 30 分 分 1 极限 234 lim 3 n nnn n 2 设 zf xy g x 函数f具有二阶连续偏导数 函数 g x可导且在1x 处取得极值 1 1g 则 2 1 1 x y z x y 3 函数 232 56 32f xxxxxx 的不可导点的个数为 4 4 0 1 2 3 4 x xxxxdx 5 求平面力场 F x yyx ij使质点P沿椭圆 22 22 1 xy ab 按逆时针方向运动一周所做 的功W 6 设 C 为 1 x 在0 x 处幂级数展开式中 2011 x的系数 则积分 1 0 111 1 122011 Cydy yyy 7 设 20 12 y dt x t 则 3 3 2 d ydy dxdx 8 1 2 1 ln11 lnln1 n n n n n n nn 9 求 以 22 12 x yCC xx e 其 中 12 C C为 任 意 常 数 为 通 解 的 微 分 方 程 10 设可微函数 yf x 满足方程 00 xx f t dtxtf xt dt 则 f x 二 本题满分 10 分 设函数 y x具有二阶导数 且曲线 l yy x 与直线yx 相切于 原点 记 为曲线l在点 x y外切线的倾角 若 ddy dxdx 求 y x的表达式 三 本 题 满 分10分 设 函 数 f x在 0 1 上 连 续 在 0 1 内 可 导 1 0 1 0 1 2 fff 求 证 对 任 意 的 实 数 必 存 在 0 1 使 得 1ff 四 本题满分 10 分 若 f x是实数集上无穷次可微的函数 又 2 2 1 1 n f nn 1 2 3 n 计算 0 1 2 3 k fk 的值 五 本题满分 10 分 已知函数 f x y具有二阶连续偏导数 且 1 0 1 0fyf x D f x y dxdya 其 中 01 01 Dx yxy 计 算 二 重 积 分 xy D xyfx y dxdy 六 本题满分 10 分 由曲面 22 2zxy 和 22 zxy 所围成的立体 其密度为 1 求 绕直线 l xyz 的转动惯量 七 本题满分 10 分 求函数 32 1 121 2 n nn xxx ux xxxx 0 1 2 i xin 的极值 八 本题满分 10 分 设函数 f x在闭区间 0 1 上连续 在开区间 0 1 内具有二阶导数 且 0fx 证明 1 0 1 1 n f xdxf n n为正整数 参考答案 一 1 解 记 213141 3 nnn n 则 ln24 lim 3 n n n 213141 234 limlim 1 33 n n nnn nnn nn ln24 1 3 3 lim124 n n n n n e 2 注 意 到 g x可 导 且 在1x 处 取 得 极 值 故 1 0 g 2 1 1211121111 1 1 1 1 1 x y zz f yf g xfxyfxfg xff xx y 3 令 232 56 32u xxxv xxxx 则 u x处处可导 而 v x在0 1 2处不可 导 因此 f x只可能在0 1 2处不可导 经验证 f x在2x 处可导 而 f x在0 1x 处 不可导 故应填 2 4 解 令2xt 则原式 22 22 22 2 1 1 2 1 4 0tt t ttdtt ttdt 5 解 原式 222 0 00 2 11 244 y yyy y y dy edxedye 6 解 1 x 在0 x 处幂级数展开式中 2011 x的系数为 1 2 2010 2011 C 于是 1 2 2011 1 2 2011 1 2011 2011 yyyyyy Cy 故 1 1 0 0 1 2 2011 1 2 2011 2012 12011 2011 2011 dyyyyyy I dy 7 解 将 20 12 y dt x t 对y微分得到 2 1 12 dx dy y 因此 2 12 dy y dx 2 2 2 2 2 12 d yyy y dx y 3 2 3 2 2 12 d y yy dx 简单计算可得 3 3 20 d ydy dxdx 8 解 1 222 1 1 ln11 ln 1 ln 1 ln 1 lnln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 lnln1 n n n nnn n nn n nnnnn n nn nnnn nn nn 2 111 ln 1 ln 1 2ln2 n nnnn 9 解 两边求导数 得 222 22 2 2 222 2 xxx yyCx eyyeCx e 消去 12 C C得微分方程 2 442 x yyye 10 解 令xtu 则 0 0000 xxxx x tf xt dtxu f uduxu f u duxf t dttf t dt 于是两边求导得 0 1 0 1 x x fxf x f xf t dtf xe f 二 解 由条件得 0 0 0 1y y tan dy dx 两边对x求导 有 22 222 22 sec 1tan 1 dd ydd y yyy dxdxdxdx 这是不显含x的二阶微分方程 令yp 则 dp yp dy 故 1 2 tan 1 dp dyypyC p 由 1 0 1 4 yC 于是 tan sin 44 x yyyCe 由 2 0 0 2 yC 即 2 arcsin 24 x ye 三 证明 令 G xf xx 则 G x在 0 1 上连续 又 11 1 10 0 22 GG 故由闭区间上连续函数的零点定理知 存在 1 1 2 使 得 0 Gff 令 x F xef xx 则 F x在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且 0 0FF 于 是 F x在 0 上 用 罗 尔 定 理 得 存 在 0 1 使 得 0F 即 1 0efef 注意到0e 即 1ff 四 证明 令 2 1 1 g xf x x 则 1 0 1 2 3gn n 由 g x任意阶可微 又 123 x x x 是一个使 0 1 2 3 n g xn 的严格单减于 0 的序 列 则由 Rolle 定理知 存在一个严格单减于 0 的序列 123 y yy 使其满足 1nnn xyx 且 12 12 2 n uyy y yy 令 12n Ay yy 则 1 2 1 n k k k dudy Ay 令0 k u y 得 2 10 1 2 k kn Ay 解之得唯一极值点 012 n P y yy 其中 1 1 12 2n n yyy 由实际意义可知极值存在 故当 12 1111 112211 2 2 2 2 kn nnnn kkkn xyxy xxy xx 时 函 数u取 得 极 值 1 1 1 2nun 八 证明 设 0 0 1