2011-2012高等数学A第一学期试卷(参考答案).pdf

1 诚实考试吾心不虚诚实考试吾心不虚 公平竞争方显实力 公平竞争方显实力 考试失败尚有机会考试失败尚有机会 考试舞弊前功尽弃 考试舞弊前功尽弃 上海财经大学 上海财经大学 高等数学高等数学 I A 级级 课程考试卷 课程考试卷 A 闭闭 课程代码课程代码 105674 课程序号课程序号 2011 2012 学年第一学期学年第一学期 姓名姓名 学号学号 班级班级 题号题号 一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 总分总分 得分得分 一一 填空题填空题 本题共本题共 6 6 小题小题 每小题每小题 2 2 分分 满分满分 1212 分分 把答案填在各题中把答案填在各题中 横线上横线上 1 1 设常数设常数 1 2 a 则 则 21 ln 1 li 2 m n n nna na 1 12a 2 2 设设si 1 n x yx 则 则 x d y d x 3 3 若若 3 0 sin m0 6 li x xxf x x 则 则 0 2 6 lim x f x x 36 4 4 sin 2 sincos 0 x xx edx ee 4 5 5 假设假设 f x是定义在是定义在 上上的的连续函数 连续函数 0 2 x F xtx f t dt 若有若有 fxf x F xA 此处此处A为常数为常数 那么有 那么有 Fx A 6 6 4 0 1 2 3 4 x xxxxdx 0 二二 选择题 本题共选择题 本题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 2 2 分 满分分 满分 1212 分分 每小题给出的四个每小题给出的四个 选项中 只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在括号内选项中 只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在括号内 1 1 若函数若函数 f x与与 g x在在 上皆可导 且上皆可导 且 f xg x 则必有 则必有 B B A A fxgx B B 00 limlim xxxx f xg x C C f xg x D D 00 xx f t dtg t dt 2 2 设设函数函数 f x在区间在区间 内有定义 若当内有定义 若当 x 时 恒有时 恒有 2 f xx 则则 0 x 必是必是 f x的的 D D A A 不连续不连续点点 B B 连续连续但但不可导的点不可导的点 C C 可导点 且可导点 且 0 0f D D 可导点 且可导点 且 0 0f 3 3 广义广义 反常反常 积分积分 0 xx dx ee A A 得分得分 得分得分 2 A A 4 B B C C 2 D D 发散发散 4 4 若若 f x dxF xC 且且xatb 则则 f t dt B B A A F xC B B F tC C C 1 F atbC a D D F atbC 5 5 设设 1 f xxx 则则 B B A A 0 x 是是 f x的极值点 但的极值点 但 0 0 不是曲线不是曲线 yf x 的拐点的拐点 B B 0 x 是是 f x的极值点 且的极值点 且 0 0 是曲线是曲线 yf x 的拐点的拐点 C C 0 x 不是不是 f x的极值点 但的极值点 但 0 0 是曲线是曲线 yf x 的拐点的拐点 D D 0 x 不是不是 f x的极值点 的极值点 0 0 也也不是曲线不是曲线 yf x 的拐点的拐点 6 6 0 1 sin1 0 2 0 1 1 x x x x xe xf x 则则0 x是是 xf的的 C C A A 连续点连续点 B B 跳跃间断点跳跃间断点 C C 可去间断点可去间断点 D D 无穷间断点无穷间断点 三 三 计算题 本题共计算题 本题共 8 8 小题小题 每小题每小题 6 6 分分 满分满分 4848 分分 1 1 求求 12 11 2 222 lim 1 n nnn n n nnn 解 解 因为因为 1 1 lim2 1 i n n n i n 原式原式 1 lim n n 1 2 i n n i 所以所以 11 11 lim2limlim2 11 ii nn nn nnn ii n nnn 1 0 2 d x x 1 11 lim2 ln2 i n n n i n 因此由夹逼定理可知 原式因此由夹逼定理可知 原式 1 ln2 2 2 设设 2 3 01 2 1 12 x x f x x x 试试说明说明函数函数 f x在在 0 2 上是否满足拉格朗日中上是否满足拉格朗日中 值定理的条件值定理的条件 解解 f x在区间在区间 0 1 和和 1 2 内连续且可导内连续且可导 当当1x 时时 得分得分 3 2 11 3 lim lim1 2 xx x f x 11 1 lim lim1 xx f x x 1 1 lim lim 1 x x f xf xf 因此 因此 f x在在1x 处连续处连续 又又 2 2 111 3 1 1 1 2 limlimlim1 111 xxx x f xfx xxx 1 1f 111 1 1 1 1 limlimlim1 11 1 xxx f xfx x xxx x 1 1 1 ff 则则 f x在在1x 处可导处可导 因此 因此 f x在在 0 2 上满足拉格郎日中值定理的条件上满足拉格郎日中值定理的条件 3 3 求求 2 2 0 ln 1 arcta 1 1 lim n x x xxe x 4 4 求曲线求曲线 1 1 3 5 tty ttx 上与参数上与参数1 t相应的点处的切线方程相应的点处的切线方程 解 解 切点坐标为 3 1 15 13 4 2 t t dx dy 4 切线斜率为1 1 t dx dy k 因此切线方程为02 yx 5 5 设设 2 22 0 arctanln 1 x f xxtxt dt 0 x 求 求 0arcsin 0 lim sin tan x f xf xxx 解解 令令 2 xtu 则 则 22 2txudtudu 当当0t 时 时 ux 当 当 2 tx 时 时 0u 所以所以 0 0 arctanln 1 2 2arctanln 1 x x f xuuuduuuu du 故故 0 00 4 2arctanln 1 0 limlim 1 tan arcsii 2 ns n x xx uuu du f xf x x xx 0 0 32 00 2 arctanln 1 arctanln 1 limlim1 2 xx xxxxx xx 6 6 求定积分求定积分 2 0 x edx 解解 x是取整数是取整数 因为因为 2 78 e 所以 所以ln72ln8 于是于是 2ln2ln3ln72 00ln2ln6ln7 267 x edxdxdxdxdx 14ln 7 7 7 计算不定积分计算不定积分 22 d 0 xaxa 解 解 令令 22 uxa 1v 则则 22 x xa u vx 22 dxax 22 xxa 2 22 d x xa x 22 x xa 2 22 d x xa x 22 x xa 222 22 d xaa xa x 22 x xa 22 dxax 22 d2x xa a 5 原式原式 2 2222 1 ln 22 a xxaxxaC 8 8 求求函数函数 1 x e y x 的的极值极值以及由此函数所表示的曲线的以及由此函数所表示的曲线的凹向区间 拐点凹向区间 拐点和和渐近线渐近线 解解 四四 本题满分本题满分 6 6 分分 若若 f x在在 a a 上连续上连续 a 0 且且 fx 0 又又 a a g xxt f t dt 试讨论试讨论 g x 在在 a a 上的单调性上的单调性 解解 只要只要证明证明 0gx 即可即可 因为因为 xa ax g xf txt dtf t tx dt xxxx aaaa xf t dttf t dtxf t dttf t dt xx aa g xf t dtf t dt 20 g xf x 所以所以 gx在在 a b上上单调增加单调增加 得分得分 6 五五 本题满分本题满分 6 6 分分 设曲线方程为设曲线方程为 x ye 0 x 将曲线将曲线 x ye x y轴和直线轴和直线 0 xt t 所围平面图形绕所围平面图形绕x轴轴旋转一周 求所得旋转体旋转一周 求所得旋转体 体积体积 V t 并求满足 并求满足 1 lim 2 t VV tk 的常数的常数k 解解 22 00 tt x Vdxetydx 2 1 2 t e 又又 2 11 limlim 1 222 t tt V kteV 1 2 24 由由 2 1 24 k e 解得解得 1 ln2 2 k 六六 本题满分本题满分 6 6 分分 计算广义积分计算广义积分 2 22 1 111 ln 1 1 dx xxxx 解解 原式 2 12 0 1 2 11 lim 2 1 11ln x xx 0 111 3 lim ln2ln 1 2 0 1ln 1 3lim ln2 0 1 1 1 1 3lim ln22 71 2ln2 七七 本题共本题共 2 2 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 1010 分分 1 1 证明 若证明 若 f x连续且为奇函数 则其原函数必为偶函数连续且为奇函数 则其原函数必为偶函数 证明证明 设设 0 x F xf t dt 由于由于 f x连续 所以 连续 所以 F x为