考研辅导基础班第9讲例题解答.pdf

高等数学高等数学高等数学高等数学基础基础基础基础班讲义班讲义班讲义班讲义 51 第 9 讲 微分方程 一 可分离变量的方程 例例例例 1 解析 整理原方程 得 22 1 1 dy yx dx 分离变量 得 22 1 1 ydyxdx 两端积分 得 33 11 33 yyxxC 由 2 0y 得 2 3 C 即 33 332yyxx 在原方程中令0y 求得驻点1x 对原方程继续求导 得 22 22 1 0 xy yyy 代入1x 和 1 0y 得 2 2 1 0 1 1 y y 因此 1 0y 为极小值 代入1x 和 1 0y 得 2 2 1 0 1 1 y y 因此 1 1y 为极大值 例例例例 2 解析 I 设时刻t液面的高度为y 则此时液面的面积满足 2 4yt 2 4ty II 当液面的高度为y时 则此时液体的体积满足 22 0 33 12 y uduty 2 6 yyy 6 yy 解得 6 y yCe 由 0 2 得2C 因此 6 2 y ye 二 齐次方程的解法 例例例例 3 答案 21x yxe 解析 原方程化为ln dyyy dxxx 令 y u x 则 dydu ux dxdx 代入方程并分离变量 得 ln du uxuu dx ln1 dudx uux 两端积分 得 第第第第 9 9 9 9 讲讲讲讲 微分方程微分方程微分方程微分方程 52 ln ln1lnlnuxC ln1uCx 代回 y u x 得原为分方程的通解为ln1 y Cx x 由 3 1 ye 得2C 即 21x yxe 评注 对于某些齐次方程 有时化为 dxx g dyy 进行求解可能会更简单 此时令 x u y 有 dxdu uy dydy 方程化为 dudy g uuy 这里将x看作函数 y看作自变量 试用这种方法求解方程 222 2 32 0yxy dxyxyx dy 例例例例 4 解析 I 设曲线L在点 x y的切线方程为 Yyy Xx 它在y轴上的截距是 yxy 根据题设 得到齐次方程 22 yxyxy 令 y u x 则 dydu ux dxdx 代入方程并分离变量然后两端积分 得 2 1 dudx x u 2 ln 1 lnlnuuxC 2 1 C uu x 代回 y u x 得 22 yxyC 由于曲线经过点 1 0 2 因此 1 2 C 于是曲线L的方程为 22 1 2 yxy 2 1 4 yx 评注 在解方程时应注意到 0 x II 曲线L在点 x y的切线方程 Yyy Xx 得该切线在x轴和y轴上的截距分别是 高等数学高等数学高等数学高等数学基础基础基础基础班讲义班讲义班讲义班讲义 53 22 11111 2424 xyxxx yxx 22 11 2 44 yxyxxxx 于是所求面积 2 2 1 2 2 0 1 114 224 x S xxdx x 求得 S x的驻点为 0 3 6 x 用极值的第一判别法得此驻点为 S x的最小值点 这时切点为 3 1 66 所求 切线方程为 31 33 yx 三 一阶线性方程和 Bernoulli 型方程 例例例例 5 解析 I 将 F xf x g x 对x求导 得 2222 24 x Ff gfggffgfgeF 即 F x满足的一阶线性微分方程 2 24 x FFe II 解上述一阶线性微分方程 得 22 222 4 dxdx xxx F xeCe edxCee 由 0 0 0 0fF 得1C 即 22 xx F xee 例例例例 6 解析 解一阶线性微分方程 13 2 a ffx x 得 2 33 22 dxdx xx aa f xeCxedxCxx 再利用已知条件 有 1 2 0 31 2 22 a CxxdxCa 4Ca 第第第第 9 9 9 9 讲讲讲讲 微分方程微分方程微分方程微分方程 54 因此 2 3 4 2 a f xa xx 而题设旋转体的体积 2 1 22 0 31116 4 23033 a V aa xxdxaa 上述关于a的二次函数 V a当 1 1 3 5 2 30 a 时取得最小值 例例例例 7 解析 利用极坐标变换 有 222 22 4 2 0 1 2 1 2 2 xyt t fxydxdyfr rdr 将已知方程化为 2 4 2 0 1 2 2 t t f tefr rdr 然后两端对t求导 得一阶线性微分方程 2 4 88 t fttet f t 2 4 88 t ft fte 解得 2288 424 8 4 tdttdt tt f teCteedtCte 由原积分方程知 0 1f 从而1C 即 2 24 14 t f tte 例例例例 8 答案 yx 解 方程变形为 1 3 dx xy dyy 解得 2 3 dydy yy C xeCyedyy y 而 1 1 x y 0C 求得方程的解为 yx 评注 方程 0R y dxQ yP yx dy 是导数倒代换型一阶线性微分方程 解 凑全微分 有 2 30ydxxdyy dy 3 0d xyd y 3 xyyC 而 1 1 x y 0C 求得方程的解为 yx 高等数学高等数学高等数学高等数学基础基础基础基础班讲义班讲义班讲义班讲义 55 例例例例 9 解析 设曲线l在点 x y的切线方程为 Yyy Xx 它在y轴上的截距是 yxy 根据题设 得 22 yxyxxy 22 2 xyyyx 法 化为 Bernoulli 型方程 1 1 22 x yyy x 令 2 zy 代入方程并求解 有 1 zzx x 2 dxdx xx yzeCxedxx Cx 2 yCxx 由3 2 3 2 y 得3C 即曲线l的方程为 2 3yxx 03x 法 化为齐次方程 1 2 yx y xy 令 y u x 则 dydu ux dxdx 代入方程并求解 有 2 1 2 duu ux dxu 2 2 1 ududx ux 2 ln 1 lnlnuxC 2 1 C u x 代回 y u x 得 22 xyCx 以下同法 例例例例 10 解析 原方程变形为关于函数tan y的一阶线性微分方程 2 tan tan 1 dx yyx dxx 解得 22 3 22 112 22 11 tan 1 1 3 11 xx dxdx xx C yeCxedxCxx xx 评注 方程 dy yP xyQ x dx 是函数变换型一阶线性微分方程 Bernoulli 方程为其特例 四 可降阶的高阶方程 例例例例 11 解析 根据题意 有 第第第第 9 9 9 9 讲讲讲讲 微分方程微分方程微分方程微分方程 56 3 2 2 2 1 1 1 y y y 2 1 yy 方程不含y 这是可降阶型二阶微分方程 法 视方程不含 y 令 py 则 yp 原方程化为 2 2 1 1 dpdp pdx dxp 两端积分 得 1 arctan pCx 1 tan ypCx 根据点 1 0 处的切线方程为1 xy 得 0 1y 1 4 C 即 tan 4 yx 两端再积分 得 2 ln cos 4 yxC 由 0 1y 得 2 1 1ln2 2 C 即 1 ln cos1ln2 42 yx 上述函数以 为周期 含0 x 的一支连续函数为 1 lncos1ln2 42 yx 3 44 x 当 4 x 或 3 4 x 时y 因此无极小值 由于0cos1 4 x 故极大值为 4 1 1ln2 2 x y 法 视方程不含 x 令 py 则 dp yp dy 原方程化为 2 1 dp pp dy 2 1 p dpdy p 高等数学高等数学高等数学高等数学基础基础基础基础班讲义班讲义班讲义班讲义 57 两端积分 得 2 1 1 ln 1 2 pCy 2 1 1 ln 1 2 yCy 根据点 1 0 处的切线方程为1 xy 得 0 1 1 x y y 1 1 1ln2 2 C 即 2 11 ln 1 1ln2 22 yy 22 2 1 2 21 y y y ee ye e 22 2 y y e dydx ee 两端积分 得 1 2 arcsin 2 y e xC 2 1 ln sin 1ln2 2 yxC 由 0 1y 得 2 4 C 即 1 ln sin1ln2 42 yx 以下关于函数最值的讨论与法 相同 例例例例 12 解析 曲线 xfy 上点 yxP处的切线为 Yyy Xx 它在x轴上的截距为 y x y 从而该切线与所作x轴的垂线与x轴所围成的三角形的面积 2 1 1 2 2 yy Sy xx yy 根据12 21 SS 有 2 0 1 x y y t dt y 代入1 0 y 得1 0 y 上式两端对x求导 得 22 2 2 0 yyy y y y 2 0yyy 这是可降阶型二阶微分方程 方程不含x 第第第第 9 9 9 9 讲讲讲讲 微分方程微分方程微分方程微分方程 58 法 方程不含x 令 py 则 dp yp dy 方程化为 2 0 dpdpdy ypp dypy 两端积分 得 1 lnlnlnpyC 1 pC y 11 dydy C yC dx dxy 1 2 C x yC e 代入 0 0 1yy 得 12 1CC 即 x ye 法 2 0yyy 1 12 0 C x dyy CyC e dxyy 以下同解法 例例例例 13 解析 追踪问题轨迹如图所示 设在时刻t 物体 B 的坐标为 x y 则此时物体 A 的坐标为 0 1 vt 根据题设 有 1 0 dyvty dxx 1 dy xyvt dx 对x求导 得 2 2 d ydt xv dxdx 由于 2 22 21 dxdydsdxdydx v dtdxdtdxdt 2 1 1 2 dtdy dxvdx 代入方程 得到微分方程初值问题 2 2 2 11 1 1 2 0 1 xx d ydy x dxdx yy 评注 虽然所得方程是可降阶的 方程不含y 但降阶后的一阶方程不能用初等方法求解 二 线性方程解的结构 例例例例 14 答案 A 解析 将所述已知条件代入相应的方程 有 高等数学高等数学高等数学高等数学基础基础基础基础班讲义班讲义班讲义班讲义 59 12 yy 是该方程的解 1 12 yy 是该方程对应的齐次方程的解 0 例例例例 15 解析 非齐次方程两个解的差是对应齐次方程的解 因此 13 x yye 和 2 12 xx yyee 是对应齐次方程的解 齐次方程两个解的和仍然是该齐次方程的解 因此 x e 和 2x e仍然是该齐次方程的解 所求方程对 应的齐次方程的特征方程为 2 1 2 020 齐次方程为 20yyy 于是 所求二阶线性非齐次微分方程可设为 2 yyyf x 注意到 x xe是非齐次方程的特解 代入上述方程可求得 1 2 x f xx e 因此 所求二阶线性非齐次微分方程为 2 1 2 x yyyx e 三 高阶常系数线性方程 例例例例 16 答案 2 123 cossin x yC eCxCx 解析 特征方程 32 220 特征根 12 3 2 i 原方程的通解 2 123 cossin x yC eCxCx 例例例例 17 答案 C 解析 根据初始条件 当0 x 时 有 0y x 和 0y x 因此 22 0000 ln 1 22 limlimlimlim xxxx xxx y xy xy xyx 3 0 2 lim2 x x epy xqy x 例例例例 18 答案 A 第第第第 9 9 9 9 讲讲讲讲 微分方程微分方程微分方程微分方程 60 解析 对应的齐次方程为0 yy 其特征方程为 2 10 特征根是i 非齐次方程 2 1yyx 的特解设为 2 1 yaxb 非齐次方程 sinyyx 的特解设为 2 cossin yx AxBx 根据叠加原理 原方程的特解设为 2 sincos yaxbxcx AxBx 例例例例 19 解析 求偏导数 得 sin x z fu ey x 2 22 2 sin sin xx z fu eyfu ey x cos x z fu ey y 2 22 2 cos sin xx z fu eyfu ey y 原方程化为 22 xx fu eef u 0ff 解得 12 uu f uC eC e 例例例例 20 解析 令cosxt t0 则有arccostx 且 2 1 1 dy dtdy y dt dxdt x 2 322 2 2 2 11 1 1 1 ddyxdyd y y dxdtdtxdt x x 原方程化为 2 2 0 d y y dt 解得 2 1212 cossin1yCtCtC xCx 代入 00 1 2 xx yy 得 12 2 1CC 从而 2 21yxx 例例例例 21 解析 令 t xe 则有lntx 且 1dydy dtdy dxdt dxx dt 22 2222 111d yddydyd y dxdxx dtxdtxdt 原方程化为 高等数学高等数学高等数学高等数学基础基础基础基础班讲义班讲义班讲义班讲义 61 2 2 320 d ydy y dtdt 解得 2 12 12 2 tt CC yC eC e xx 例例例例 22 分析 方程 23 0ypyf yq xy 可以通过倒代换化为 2 2