促进课程改革展示首都特色——2007年高考数学北京卷对.pdf

2 0 0 7 年第4 6 卷第1 2 期数学通报 促进课程改革展示首都特色 2 0 0 7 年高考数学北京卷对高中教学的导向述评 连春兴李振雷郑新春 北京教育学院丰台分院1 0 0 0 7 3 北京1 2 中1 0 0 0 7 1 丰台 二中1 0 0 0 7 1 随着北京市2 0 0 7 年秋季高中课程改革的实 施 许多教师都对新课程 模块化的教学内容 全新 的教学理念及目 标要求 能否应对当前的高考 表 现出深深的疑虑 在巨大的高考压力面前 甚至有 人发出这样的感慨 高考不改革 课程改革无异于 带着镣铐跳舞 高考对于中学教学具有权威的导向作用 这是 广大教育界同仁不争的事实 难道 高考 一定要成 为制约课程改革的镣铐 难道 高考 必然制约着教 师教学理念与行为的转变 难道 高考 就不能发挥 强有力的素质教育导向作用 进而成为课程改革深 人发展的助推剂 这一系列困惑 昭示着研究高考命题导向作用 的意义所在 正是基于这样的思考 笔者对 2 0 0 7 年 全国高考北京数学理科卷 以下称试卷 的若干导 向进行了深人研究 并草拟成文 谈谈一孔之见 不 妥之处 敬请同行指正 导向之一完整地把握中学数学 高考中出一些基本上用初中所学过的知识 方 法就可解答的题目 并注重在不同知识单元交汇处 命题 通篇试卷就会给人一种浑然一体 融会贯通 的感觉 这对中学生从知识结构上完整地把握中学 数学 具有极强的导向作用 试题的命制者在这方 面 可谓匠心独具 图所示 1 2 3活动次数 例如 1 1 在 A B C中 若t a n A 1 5 0 0 B C 1 则A B I 求合唱团学生参加活动的人均次数 n 从合唱团中任选两名学生 求他们参加活 动次数恰好相等的概率 lu 从合唱团中任选两名学生 用z 表示这两 人参加活动次数之差的绝对值 求随机变量e 的分 布列及数学期望E 本题把统计知识中柱状图表达数据的方法与 概率问题有机地结合起来 使统计与概率的知识从 初中到高中一脉相承 并着意考查了学生面对崭新 的情境 捕捉隐含信息的能力 若学生能把柱状图 转化为 1 0 0 名学生中 参加1 次活动的有1 0 人 参 加2 次活动的有5 0 人 参加3 次活动的有4 0 人 问 题便迎刃而解 u a s 二 1 曰 了 而 二二丫 此题若由t a n A 告得S 1 n A共芳 再由正弦 分 一 一3 一1 0 J J 月 定理得月 刀稍繁 若由初中知识 过B作A C垂线 与 A C延长线交于点D 则在 R t AB C D R t AA B D顺 次求B D A B更易 又如 1 8 某中学号召学生在今年春节期间至 少参加一次社会公益活动 以下简称活动 该校合 唱团共有1 0 0 名学生 他们参加活动的次数统计如 再如 1 9 如图 有一块 半椭圆形钢板 其长半轴长 为2 r 短半轴长为r 计划将 此钢板切割成等腰梯形的形 下底A B是半椭圆的短 上底 刀的端点在椭圆 D I 4 2r B 记 I 2 x 梯形面积为s 状轴上 I 求面积 其定义域 n 求面积 s以x为自 变量的函数式 并写出 5的最大值 万方数据 数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第1 2 期 该题通过 m在椭圆内平行移动 引发x 在 0 r 内变化 使中学数学中两大主干内容 函数 与 解析几何 结合得天衣无缝 朴实无华 毫无人为 做作之瑕 导向之二优化知识的学习过程 一个中学生优化的知识学习过程 应该是既关 注知识的发生 又关注知识的应用 但长期以来 无 论是高考还是应试备考 我们都非常关注公式 定 理 概念的应用过程 而忽视其发生过程 这就造成 了学生数学学习过程的不完整 试卷着意矫正此类 偏差 在知识发生处命题 就是对中学生优化知识 学习过程的很好导向 例如考查均值定理 过去的考法通常是运用它 求某变量的最大 最小值或取值范围 在学生掌握 了求导方法后 利用均值定理求最值的作用有所降 低 但仍不失均值定理作为重要不等式模型的地 位 所以 试卷在均值不等式的知识发生处命题 考 查等号成立的条件 并兼顾知识的应用 例如 7 如果正数a b c d 满足a b c d 4 那么 A a b 簇c d 且等号成立时a b c d的取值唯一 B a b 十d 且等号成立时a b c d的取值唯一 C a b 簇c d 且等 号 成 立 时a b e d 的 取 值 不唯 一 D a b 十d 且等号成立时a b c d 的取值不唯一 此题由a b 4 之2 杯 丽得出a b 压4 再由 d 之2 V c d 4 即 得a b 兰4 二c d 当 且仅当a 二b 二d二2 时等号成立 故选A 又如 1 5 数列 a 中 a 2 a 二a c n c 是常数 n 1 2 3 且a l a z a 成公比不为1 的 等比数列 I 求 的值 II 求 a 的通项公式 该题的 II 考查了推导等差数列通项公式的 基本方法 叠加 若在教学中只关注等差数列通项 公式的应用 此题将变得束手无策 导向之三强化理解性学习 美籍华人数学大师陈省身教授有一句名言 数 学就是理解 真正意义的学习要把 理解 放在第一 位 而不是表面的 模仿 并在不断学习的过程中 持续提高理解的层次 但遗憾的是 许多学生学不好数学的原因 恰 恰在于忽视对数学本原意义的理解 长期在机械记 忆与模仿层面上徘徊 就大的方面而言 这类学生 的思维缺陷 往往表现为把常量数学中孤立 静止 看问题的 思维习惯迁移到高中学习变量数学中来 所以高考试题如能引导学生认识到运动 变化是变 量数学的灵魂 认识到数学中的运动 变化比比皆 是 函数的定义域 值域 某个量的取值范围 无不 与运动 变化有关 最后形成连续 变化看问题的思 维方式 并认识到事物发展从量变到质变的辩证规 律 以促进学生数学的理解性学习 这对中学教学 而言 可谓功莫大焉 试卷中 6 1 2 1 6 1 9 就是此类题目 例如 6 若不等式组 x 一y 0 2 x y 镇 2 y 0 x y簇 a 表示的平 面区域是一个三角形 则a 的取值范围是 A 音 C 镇 音 在线性规划的问题中 顶点逐个带人目标函数 a0 a 1 二 4 D 1 或 言 确有学生只关注把区域 再筛选其解的程序性操 作 而忽视目 标函数所确定的直线在可行域的约束 下平移 视其y 轴上截距变化获最优解的过程 本题 对症下药 突显斜率为一1 的直线x y a 在第一 象限从左至右的连续平移变化 带来平面区域形状 变化的考查方式 这使单纯依靠机械记忆 模仿操 作的同学不得分 使重视意义理解的同学能迅速判 知直线A B x y a 平移至点C 点D之间时不合 题意 得到答案D而不失分 这是绝好的教学导向 又 如 1 6 如 图 在 R tA O 1 B 中 Z Q 4 B 一 晋 斜边A B 4 R t AA O C可以通过R t AA O B以直线 A O为轴旋转得到 且二面角 角 动点D在斜边A B上 B 一A 一C是直二面 血 B A l eeeeee卜叼Vl 工 求证 平面C o l 土平面 II 当D为A B的中点 时 求异面直线A C 与C D所 成角的大小 m 求 刀与平面A O B 所成角的最大值 此题在题干中有运动 说 明R t AA O C L R t AA O B 在 题 F 0 因而函数 对命题丙不成立 故选 D 又如 1 4 已知函数f x g x 分别由下表给 归纳 操作确认提供了机会 学生只要列出f 1 1 f 2 3 f 3 l g D 3 g 2 2 g 3 1 一切迎刃而解 再如 2 0 已知集合A a i a 2 a k k 之 2 其中a E Z i 1 2 k 由A中的元素构成 两个相应的集合 S a b I a E A b E A a 十b EA T a b aEA b EA a 一b EAl x123 f x 131 x123 g x 321 则兀g 1 的值为 满足兀g x g l f x J 的x 的值是 此题一反解析式表达函数的习惯 用表格列出 对应值的方法确定两函数f x g x 给学生枚举 其中 a b 是有序数对 集合S 和T中的元素个 数分别为m和n 若对于任意的a EA 总有一a 诺A 则称集合 A具有性质尸 I 检验集合 0 1 2 3 与 一1 2 3 是否具 有性质尸 并对其中具有性质尸的集合 写出相应的 集 合S 和T II 对任何具有性质 P的集合A 证明n S k k 一 1 2 班 判断m和n的大小关系 并证明你的结 论 该题的 I 根据题干信息 不难判定集合 一1 2 3 具有性质P 进而可用枚举的方法 写出 相应的 集 合S 和T 该题的 II 只 要弄 懂 具 有性质 P的集合A 一定有 a a 任T故而n丛嵘 k k 一1 2 一 题 m 则是把基础知识与创新思维有机融合 的典范 而创新思维的表现就在于运用归纳推理的 方法 建立两有限集S T之间的映射 来判断其元 素的多寡 我们可以试想 m n 是两个抽象集合S T 元素的个数 无从 数 起 如何解决 万般无奈之 际 从集合S T的定义所提供的信息出发 作探索 性分析又成解题的关键 如设 a b E S 则由aE A b EA a b EA 立得 a 十b 一b EA 于是 a 十 b b T 即得S中任意元素 a b 在T中有唯一 的像 a b b 与之对应 这就有归纳的意味了 进 一步 映射 f a b 卜 a b b 会不会 多对一 呢 这还离不开枚举的方法 如设 a b 1 C a t 乓 是S 中两个不同的元素 易知T 中的像 a b l b a 2 b 2 b 2 也不同 反过来 T 中的元素在S中都有 原像吗 类比 上述推证 可得肯定的 结论 于是 f 为 一一映射 即 有m二n 导向之五 关注基础 回归课本 试卷选择题 填空题关注基础 回归课本 平和 清新 绝大部分题目 都能在大纲教材 人教社版 中 万方数据 数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第1 2 期 找到出处 见下表 题号大纲教材 人教版 中的位置 备注 1 第一册 下 P 2 2 习题4 3 第 9 题 相同 2 第一册 上 第6 2 页表格改编 3 第二册 下A 习题9 5 的第 8 题 改编 4 第一册 下 第1 6 1 页复习参 考题五的B组第6 题 改编 5 第二册 下A 第1 2 4 页参考 例题 简单改编 6 第二册 上 第8 7 页复习参 考题七B组第1 1 题 简单改编 7 第二册 上 第2 6 页小结与 复习中的参考例题1 极为类似 9 是对学生复数四则运算的 基本要求 教材中比比皆是 1 0 第一册 上 第1 3 5 页复习参 考题三中B组第2 题 简化 1 1 是解斜三角形的基本题目 教材中俯拾可见 1 2 第一册 上 第4 3 页复习参 考题一B组第3 题 简化 如此导向 对中学数学教学中事实存在的 重 教辅 轻教材 的倾向 无疑是绝好的矫正 导向之六z a 氏 难度 规避题型 遏制 题海战术 试卷解答题简洁明快 难度降低 淡化技巧 规 避题型 它首先破除了三角题作为解答题之首的惯 例 而把长期以来经常放置压轴地位的数列题降低 难度后作为解答题的第一题 1 5 解析几何一反涉 及直线与圆锥曲线关系一道大题的惯例 出了两道 较为简单的题 其中一道以直线型题干 1 7 为基 础 另一道则是 前面提及的 1 9 利用导数求半个 椭圆的内接等腰梯形面积最大值的题目 而对大家 关注的也是过去常考的利用导数研究三次函数图 像与性质的题目 予以回避 也许正是因为把去年高 考中六大知识板块匹配六道综合题的模式破的无 影无踪 才被多数考生诙谐地称之为 不按套路出 牌 笔者曾走访过部分考生 他们有人甚至谈到考 前几个月的解题训练 对提高成绩作用不大 这是 一个很有意思的话题 试想我们最后的几个月 所 有的高三学生都在进行解题的强化训练 它的作用 竟受到质疑 难道我们长期青睐的 题海战术 真的 受到遏制 就 题海 战 禾 的 本质而言 它追求对知识点 技能点的全面覆盖 追求对各种题型的解题技巧 方法乃至从中总结出来的各种解题原则 能够准确 记忆与熟练应用 这些对学生学好数学固然重要 但它容易导致学生在学习数学的过程中 重视技能 的熟练应用 而忽视学科思想的全面掌握 重视结 论的运用过程 而忽视知识的发生与意义的理解过 程 就试卷的风格而言 它不追求对知识的全面覆 盖 而追求重点知识重点考查 如函数与解析几 何 它不追求对已形成套路的人为技巧的熟练运 用 如根系关系 而加强对基础知识 通性通法的 考查 追求崭新的题干情境 灵活的表述方式 如理 1 4 1 8 着意考查学生面对现实的问题 捕捉 隐含信息 并以研究者的心态分析 解决问题的能 力 如理 2 0 这些考风的变化无疑遏制了 题海 战术 优长之处的发挥 造成部分考生面对 生面孔 的容易题 束手无策的尴尬 这一点从今年考题大 大易于去年 但市平均分仅比去年高 2 分的事实可 以佐证 难怪学生发出 考前几个月的解题训练 对提高成绩作用不大