数学北师大版八年级下册认识分式（1）.doc

第三章 分式单元导航3.1分式第一课时 分式的概念目标导航-学有目标，赢在起点1、了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.2、掌握分式有意义，无意义，值为零的条件.3、重难点：了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系；掌握分式有意义，无意义，值为零的条件.教材详解-名师点拨，精讲精析知识导入观察下列代数式：这些代数式，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？知识讲解 知识点一：分式有意义、无有意义的条件例1（1）当a=1，2时，分别求分式的值 (2)当a为何值时，分式有意义？ (3) 当a为何值时，分式的值为零？ 分析 : 判断分式有意义的条件与分母有关，当分母为0时，分式无意义；反之，分式有意义.解：（1）当a=1时，=1;当a=2时，=.（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.由分母2a=0，得a=0.所以，当a取零以外的任何实数时，分式有意义.（3）分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此a的取值有两个要求：所以，当a=1时，分母不为零，分子为零，分式的值为零.点拨: 分式中的分母是含有字母的代数式，它的值是随着式中的字母取值的不同而发生变化的，字母所取的值有可能使分母的值等于零，分母的值等于零时，分式就无意义了，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含的字母不能取那些值，避免分母的值等于零.知识探究 1. 分式的概念分式的定义：整式A除以整式B,可以表示成的形式，如果初式B中含有字母，那么称为分式。其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.例2 在下列式子中,哪些是整式?哪些是分式? , , , , , , , :分析： 在判断某式是否是分式时，关键是抓住分式的定义，特别是注意分式的特征-分母中含有字母；如果分母中不含有字母，就不是分式，是整式。分母不为0是分式的重要组成部分.解: , , , , , 等几式中分母不含字母，所以是整式。, 分母中含有字母，所以是分式.点拨 : 要判断一个有理式是整式还分式，关键是正确理解与区分整式和分式的概念。分母中含有字母则为分式，若无，则为整式。 特别值得注意的是；判断是否是分式，只看形式，不能看化解后的结果. 2.分式有意义、无意义的条件分母为0, 分式无意义；分母不为0, 分式有意义 例3下列分式，对于任意的x值总有意义的是( )A.B.C.D.分析 :分式有意义无意义，只对分母而言，分母为0，分式无意义，分母不为0，分式有意义.解: A当=1时,分母为0, 分式无意义B.无论取何值，1，分式总有意义.C当=0时,分母为0, 分式无意义D当=-时,分母为0, 分式无意义.所以只有B正确.3分式值为0的条件分式值为0的含义是分子等于0并且分母不等于0例4已知分式，取什么值时，分式的值为零？分析 : 分式值为0的含义是分子等于0并且分母不等于0.解: 由题意得 即所以 当=-2时，分式的值为0.点拨 : 分式值为零时，必须满足两个条件：分子为零，分母不为零，二者缺一不可.4. 分式的值为正（或负）数的条件分式的值为正数，分子、分母同号；分式的值为负数，分子、分母异号.例5当取何值时，分式的值为负数？分析：要使分式为负数，则分子、分母异号.解：由题意，得（1）或（2）不等式组（1）无解.解不等式组（2）得.故当时，分式的值为负数.易错辨析例1下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？， ， ， ，。错解：整式有；分式有， ， ，。错因分析：中的是具体的数值而不是字母，所以是整式而不是分式.正确解：整式有，；分式有， ， ， 例2若分式的值为零，则x的取值为 .错解：x的取值为1错因分析：忽略了分母不能为零，当x=1时，分式无意义.要使分式的值为零，根据题意，得 所以x=1正确解：x的取值为 1 .融会贯通课堂训练，轻松过关1.已知分式有意义，则x的取值为( )A.x1B.x3C.x1且x3D.x1或x32.若分式的值为零，则m取值为( )A.m=1B.m=1C.m=1D.m的值不存在3当x=2时，下列分式中，值为零的是( )A.B.C.D.4下列各式：中，是分式的为_.5.当x_时，分式有意义。6.当x=_时，分式的值为1.7. 当时，分式的值是.触类旁通-知识巧用，思维拓展 例 若+=0，求代数式的值.分析：根据非负数和为0，可得，=0，再根据分式值为0的条件，可求出的值，然后代入求代数式的值.解：因为+=0，所以，=0.所以， 所以，而且当时，所以=2点拨：若几个非负数之和为零，则这几个数都为零.思维拓展练习1、已知，求分式的值.第二课时 分式的基本性质目标导航-学有目标，赢在起点1、熟练掌握分式的基本性质.2、利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形.3、了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法.4、重难点：分式的基本性质、利用分式的基本性质约分.教材详解-名师点拨，精讲精析知识导入（1）=的依据是什么？（2）你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流.知识讲解知识点一：分式的基本性质例1 ：下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）=（y0）； （2）=.分析 ： 在（1）中，观察等号两边分子和分母之可以看出，右边的分子和分母都比左边的分子和分母多了字母“y”.解： 因为y0，利用分式的基本性质，在的分子、分母中同乘以y，即可得到右边，即=；点拨 ： 题目告诉y0，因此我们可用分式的基本性质直接求得。分析 : 在（2）中，右边的分子和分母都比左边的分子和分母多了字母“x”.解: 可以分子、分母同除以x得到，即 =；“x”如果等于“0”，就不行.点拨 : 在中，x不会为“0”，如果是“0”，中分母就为“0”，分式将无意义，所以，虽然没有直接告诉我们x0，但要由得到，必须有意义，即bx0由此可得b0且x0.知识点二：分式的约分例2化简下列各式（1）; （2）分析 : 在（1）中根据分式的基本性质，分子、分母都除以ab，约去分子、分母中的公因式.解: a2bc可分解为ac（ab）、分母中也含有因式ab,因此利用分式的基本性质：=ac.点拨 : 分式中的分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可。如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂.分析 : （2）分式中的，分子、分母都是多项式，又如何化简？通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式.解: x21可分解为（x+1）（x-1），x22 x+1可分解为（x-1）（x-1）它们都含有（x-1）的项.即=，即分子、分母同时约去了整式x1.把一个分式的分子和分母的公因式约去.点拨 : 找公因式的方法：当分子、分母都是单项式时，先找出分子、分母的系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再找出分子、分母的公因式.知识探究 1最简分式（1）定义：分式的分子、分母中不含有公因式的分式叫做最简分式.（2）化简分式的方法：把分子、分母是多项式的分式化成最简分式，先分解因式，确定公因式，然后再约分.例3：写出下列等式中的分子或分母(1)=，（2）=分析 : （1）先观察等式左边分式的分子为12，而等式右边分式的分子为3，由于123=4m（n-m），显然3是由124m（n-m）得到的，由分式的基本性质，等式左边的分母也要除以4m（n-m），左边的分母是16mn（nm），所以右边的分母为4m。（2）先观察等式左边分式的分母为9-m，而等式右边分式的分母m+3显然m+3是由（9-m）（）得到的，由分式的基本性质，等式左边的分子也要除以（），所以右边的分子为2m.解：(1)=，（2）=例4 把下列各式化成最简分式或整式（1） （2） （3） （4）分析 : （1）中， 1x2=（1）（1+），而x1=（1）解: =点拨：化简分式时，先把分子、分母分解因式，提出公因式，把公因式约去.分析 : （2） 中，24 +4=（-2）2，而22 =（-2）解: = = 点拨: 约分的依据是分式的基本性质，约分时要先找出分子、分母的公因式.分析: （3）中根据分式的基本性质，分子、分母都乘以12就可以把各项的系数化为整数.解: =点拨：当一个分式的分子、分母中含有分数时，先把分式中的分子、分母化为整式，然后看有没有公因式.分析 : （4）中分子、分母同乘以100或者同乘以20都可以.解 : =点拨：若分式的分子、分母中含有小数时，先同时扩大相同的倍数，把它们化为整数，再化简.易错辨析：例1 ： 不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数；错解：错解分析：错解的分子、分母所乘的不是同一个数，而是两个不同的数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了；正解：例2：约分错解：原式=错解分析：为约分须改变分子的因式，即，故分子变为，而错解却把因式的符号也给改变了，事实上，分式仍然为负.正解：原式=融会贯通课堂训练，轻松过关1、利用方式的基本性质填空（1） ； （2）；（3）； （4）2、若把中的a 和b都扩大4倍，那么分式的值 （ ）（1）扩大4倍 （2）不变 （3）缩小4倍 （4）扩大16倍3、下列变形正确的是 （ ）（1） （2）（3） （4）4、当 时，分式无意义.5、当 时，分式有意义.触类旁通-知识巧用，思维拓展1、 已知，求的值.分析：因为根据分式的基本性质可得，而可化为，而两边同时乘方可得.解法一：解： =解法二：解：=点拨：解此题的关键是根据分式的基本性质，把高次化为低次，然后利用配方的方法，找出它们的内在联系，再把值代入可得。思维拓展练习1.如果试求的值。2.若2+5+1=0, 试求的2+值。3.2 分式的乘除法目标导航-学有目标，赢在起点1、分式乘除法的运算法则，会进行分式的乘除法的运算.2、在分式乘除法运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力.3、用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识,让学生掌握分式乘除法的法则及其应用.4、重难点：让学生掌握分式乘除法的法则及其应用.，分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算.教材详解-名师点拨，精讲精析知识导入观察下列运算：，猜一猜？ ？ 与同伴交流分数的乘除法法则与分式的乘除法法则类似吗？知识讲解知识点一 分式的乘法法则例1 ：计算（1）； （2）分析：（1）中各因式的分子、分母都是单项式，根据分式的乘法法则直接进行计算。（2）中的两个分式相乘，分子与分母都是多项式的，观察分式，第二个分式=然后按分式的乘法法则进行计算，化简为最简分式解： （1） = =（2）=点拨：两个分式相乘时，分子与分母都是单项式，可以按照分式的乘法法则计算。也可以先化简，然后按分式的乘法法则去计算；分子与分母都是多项式时，可以先分解因式，然后约分，再按照分式的乘法法则去计算.知识点二 分式的除法法则例2 ：计算下列各式（1）； （2） 3xy2； （3）分析：第（1）题的两个分式，它们的分子与分母都是单项式，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；（2）题被除式是整式，而除式是分式，将被除式当作分母是1的分式来看待，然后按照分式的除法法则进行计算；第（3）两个分式的分子、分母都是多项式，看被除式，除式中的分子、分母能分解因式的先分解因式，再按分式除法飞计算法则计算.解： （1）=（2） 3xy2= （3）=点拨 分式乘分式，用分子相乘的积作为积的分子，用分母相乘的积作分母.如果得到的不是最简分式，有关通过约分进行化简。分式除以分式，除式的分子，分母颠倒位置后与被除式相乘。分式的分子分母是多项式的要先分解因式，便于约分.知识的探究 1、分式的乘法法则两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；由绝对值与算术平方根的非负性求出所含字母的值再代入化简后的分式中进行求值，是解这类问题的一般方法.用式子表示为 即=;例3：已知+=0 求的值分析：由 且+=0得2=0 9=0即可求出、，再约分化简，最后求分式的值.解： =因为 +=0所以2=0 且9=0所以=2 、=9 所以原式=2.分式除法法则两个分数相除把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘，用式子表示为 =.例4：化简求值.，其中分析：计算分式的除法时，要先把除法转变为乘法，除式的分子、分母要调换位子.把分式的分子、分母先分解因式，再约分化简，最后求值.解：原式= = =当时，原式=+1=3. 分式乘除混合运算的应用例:5：先将化简再选取一个你认为合适的的值代入求值.分析：根据分式的乘除法的法则化简，注意所选取的的值应使原式有意义，如的值不能取-1、1、0、-2. 解： =当=6时，原式=4、分式运算在生活中的实际运用例6：东街文明村为了解决喝水问题，需要开拓一眼深井，这项工程由甲工程队的 人完成，预计需 天，现又有工程队乙加入，人数为甲工程队的2倍。求预计多少天可以完成？分析： 设总工程为整体“1”则每天每人完成总工程的所乙队加入后每天可完成解： 预计的天数为=（天）易错辨析1 、 计算错解 ： =辨析：分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，但结果却忘了约分。正解 ： =2、 计算错解：原式=辨析 ： 运算顺序出现错误，乘除法是同级运算，应按照从左往右的顺序计算.正解 ： =融会贯通课堂训练，轻松过关1.下列等式正确的是( )A.(1)0=1B.(1)1=1 C.2x2=D.x2y2=2.下列变形错误的是( )A.B.C.D.3.等于( )A. B. b2x C.D.4、= 5、= 触类旁通-知识巧用，思维拓展例：若，求的值.分析：先把的关系找出来，然后代入中可求出值.解： 可设原式=24点拨：此类问题一般是根据已知条件将用一个辅助参数表示出来，然后代入求值，也可以由“”变形为“”代入求值.拓展练习1若=，则的值等于_2. 已知=2004, =2005, =2006,且abc=6021,求的值.3.3 分式的加减法第一课时 同分母分式加减法目标导航-学有目标，赢在起点1、能进行同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.2、经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感.3、重难点：掌握同分母的分式加减法，简单的异分母的分式加减法；当分式的分子是多项式时的分式的减法.教材详解-名师点拨，精讲精析知识导入从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？想一想（1） 同分母的分数如何加减？（2） 你认为应该等于什么？（3） 猜一猜，同分母的分式应该如何加减？同分母分式加减法的法则与同分母分数加减法的法则类似吗？知识讲解知识点一 ：同分母分式的加减法例1： 计算： （1）+ （2）+分析： （1）+中分母的最小公倍数为5a；（2）+中分母的最小公倍数为x1；解： （1）+ =+ = = （2）+=+=点拨 ： 分子相加时，要把每个分子看成一个整体而加上括号，把分子相加后，所得结果如果不是最简分式，要约分.知识点二 ： 分式的通分例2 ： 通分，分析： 分母中各系数的绝对值分别为3,2,5它们的最小公倍数是30，各字母因式，的最高次幂分别是，故最简公分母是30.解： =点拨 ： 通分的关键是确定几个分式的最简公分母，通分是把分式的分子、分母都乘以同一个不等于零的整式，使分式的值不变.根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数作为它们的共同分母.知识探究 1. 同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减法，分母不变，只把分子相加减法（如），能约分的要化成最简分式或整式.例3 ： 计算：（1）+ ； （2）+分析：（1）虽然分母的形式看起来不相同，但是利用乘法的交换律变形以后，这几个分式的分母都是3；（2）分母与互为相反数，因此可以把化为变为同分母分式. 同分母分式相加减的法则与同分母分数相加减的法则类似，注意分式相加减，其运算结果要化为最简.解：（1）+= =（2）+= = =1 2、分式的通分 化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分.通分的难点是寻找最简公分母，确定最简公分母的一般方法：（1） 把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（2） 把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式；（3） 把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式.例4：通分：（1），；（2）， 分析：（1）的最简公分母是；（2）先分解因式，再确定最简公分母为.解：（1）最简公分母是，=，=，= （2）最简公分母是 = = =易错辨析： 例1： 先化简代数式（+）然后选择一个；你喜欢的数代入求值错解：原式= 当=0时，原式=0辨析：本题属于开放型题目，尽管的取值自己去选择，但字母的取值应遵循原则：使分式中各分母都不为零。所以和.正确解：原式= 当=2时，原式=2 例2： 计算：（+）错解：原式=+ =+ =+ = =辨析：错误的运用是不存在除法分配律，导致错解.正确解：原式=() = =融会贯通课堂训练，轻松过关1.分式的最简公分母是（ ）A.5abx B.15ab C.15abx D.15ab2.在分式；中分母相同的分式是（ ）A. B. C. D.3.下列算式中正确的是（ ）A.; B.; C.; D.4. ;5. ;触类旁通-知识巧用，思维拓展例：化简求值：，其中 分析：先把各分式化简后，再把代入求值.解：= = = =把代入，原式=思维拓练习1先化简，再求值：（）其中x=-2已知+（）2=0求（）（）的值 第二课时 异分母分式的加减法目标导航-学有目标，赢在起点1、掌握异分母的分式加减法的法则，能进行分式的通分.2、重难点：（1）掌握异分母的分式加减运算，理解通分的意义;（2）化异分母分式为同分母分式的过程，符号法则、去括号法则的应用.教材详解-名师点拨，精讲精析知识导入1、尝试完成下列各题（1）=_ （2）+=_（3）=_ （4）+=_知识讲解知识点一：异分母分式的加减法例1： 计算（1） （2）（3）+ ； （4）分析： 异分母分式的加减法必须转化为同母分式的加减法，然后按同母分式加减法的法则计算，转化的关键是通分.分析：（1）题的最简公分母是（2）题的最简公分母是（3）题的最简公分母是24；（4）题中+（），=（）（），因此最简公分母是2（）（）.解： （1）=（2）=（3）原式=+=（4）原式= = = =点拨：异分母分式的加减法，一定要先通分，再加减。分母是多项式的异分母分式相加减，要先将分母分解因式，确定最简公分母再通分.知识点二：分式的混合运算例2：化简分析：本题是分式的四则混合运算的应用，有括号时，要先算括号里的，再进行除法运算.解：=点拨：分式的混合运算 ，要注意运算顺序，有括号时，要先算括号里的， 计算结果的分子或分母的系数是负数时，要把 “ ”号提到分式分数线的前面，且结果要化为最简分式或整式.知识探究 1异分母分式加减的计算法则.计算法则：异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用式子表示为：例3：计算（1） （2）分析：（1）中分式的最简公分母为 （2）中先分解因式，可得最简公分母为解：（1）原式=(2)原式=2.分式加减的实际应用例4：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？分析： 问题一：根据题意可得下列线段图：（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（+）h.（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为h.但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较（+）与的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出.解：（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为h.（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为h， 当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为h；所以走第一条路花费的时间少，少用 h.例5：根据规划设计,某市工程队准备在开发区修建一条长1120m的盲道. 由于采用新的施工方式 , 实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m, 从而缩短了工期. 假设原计划每天修建盲道 x m , 那么(1) 原计划修建这条盲道需要多少天?(2) 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?分析：(1) 原计划修建这条盲道需要的时间=盲道的总长原计划每天修建盲道的速度.(2) 实际每天修建盲道的长度为（）m.此题中的等量关系为：原计划修建这条盲道所需的时间实际修建这条盲道所需的时间=缩短工期的时间（1）解：原计划修建这条盲道需要 天; 实际每天修建盲道的长度 = （）m , 实际修建这条盲道用了天 .（2）因此 , 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了=天3、求分式的值例6 ： 先化简分式。然后再从1，2中选一个你认为合适的值，代人求值.分析： 根据分式运算法则进行化简，代值时，代入的值要使原分式有意义.解析：原式= = =因为取1，原分式均无意义，故取。代人得原式=点拨： 分式化简时，若分子或分母是多项式的，则一般先将多项式分解因式;代入求值时，代入的值必须使原分式有意义.例7： 已知x=,求的值 解析: 由已知 x=，得2x=+1,2x1=.所以（2x1）2=5,x2x1=0即x2=x+1.我们利用x2=x+1可以使降次从而求出它的值.所以 =.易错辨析： 例1 ： 计算 错解：原式= = = =辨析：分式的加减法不能去掉分母，这与分数的加减法类似。如错误地将分母不变理解为去掉分母. 正确解： = = = = = =例2 ： 计算： 错解： 原式= = 辨析： 是错误的运算，应添加括号，分子是多项式时要把它看成整体，添加括号，即. 正确解：原式= = = =融会贯通课堂训练，轻松过关1、下列各式计算正确的是( )A.B.C.D.2、化简+1等于( )A. B. C. D.3、若ab=2ab，则的值为( )A. B. C.2 D.24、如果m+n=2，mn=4，那么的值为_.5、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地到乙地按每小时v千米的速度行驶，可按时到达；若每小时多行驶a千米，则可提前_小时到达(保留最简结果).触类旁通-知识巧用，思维拓展例：已知=，求A、B的值分析： 因为这是一个等式，它们有必然的联系，通过观察得出，而=.解： 因为= = = 所以，所以 解得 点拨：解答此类问题，只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较，就可得到A，B的值。这里的A，B是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就称作待定系数法。待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决。思维拓展练习1已知两个分式：A=，B=+，其中x2，下面有三个结论：A=B；AB=1；A+B=0请问哪个正确？为什么？3.4 分式方程第一课时 分式方程概念及其解法目标导航-学有目标，赢在起点1、了解分式方程的概念和，会解一元一次方程的分式方程.2、知道增根的意义，了解增根产生的原因.3、重难点：分式方程的概念、解法.教材详解-名师点拨，精讲精析知识导入有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求出这两块试验田每公顷的产量. 你能找出这一问题中的所有等量关系吗？如果设第一块实验田每公顷的产量为，那么第二块实验田每公顷的产量是 kg. 根据题意，可得方程： .从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600的普通公路，另一条是全长480的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.这一问题中有哪些等量关系？ 如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为 ，那么它由普通公路从甲地到乙地所需时间 .根据题意，可得方程：_.上面所得到的方程有什么共同特点？知识讲解知识点一：分式方程的概念例1：在方程（1），（2），（3），（4），（5）中，分式方程有（ ）A 2个 B 3个 C 4个 D5个分析：分式方程分母必须含未知数。（1），（5）两式中分母都不含未知数，所以不是分式方程.（2），（3），（4）中分母都含未知数，所以是分式方程.解：B1分式方程的概念（1）定义：分母中含未知数的方程叫分式方程.（2）特征：A、是方程；B、含分式；C、分式的分母中含未知数.同时满足这三个条件的等式才是分式方程.例2：下列各式：，其中分式方程有 ；整式方程有 分析：分母中含未知数的方程叫分式方程，判断一个方程是否是分式方程关键是看分母中是否含有未知数，若有，则是分式方程；若没有，则是整式方程。所以正确答案为分式方程有、；整式方程有、2. 分式方程的解解法解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程来解。而转化的一般方法是去分母.解分式方程的一般步骤：（1）去分母，将分式方程两边同时乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根不原方程的根，必须舍去.例3：解方程：=分析： 解分式方程的关键是去分母，因此首先要找出各分式的最简公分母x（x2），将分式方程化为整式方程.解： 方程两边同乘以x（x2）,得x（x2）=x（x2）化简，得x=3（x2） x=3需要检验：把x=3代入方程的左边=1，右边=1，左边=右边，所以x=3是原方程的解.点拨：解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去，使最简公分母不为零的根才是原方程的根；所以解分式方程必须验根.知识探究知识点二：分式方程的解法例4： 解方程：=4分析： 解题的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要找出它们的最简公分母2x，将方程两边同时乘以2x化为整式方程.解析：方程两边同乘以2x，得600480=8x解这个方程，得x=15检验：将x=15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根.知识点三：分式方程的增根在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同时乘以一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.例5：当x为何值时，关于m的分式方程会产生增根？分析：根据增根能使最简公分母为零，可以找出所有可能的增根，再利用增根满足整式方程，例出关于x的分式方程，求出x的值即可.解：方程两边都乘以，得.由最简公分母=0，得或，所以方程的增根可能是2或2.（1） 当增根为2时，把代人整式方程，得2（2+2）+=30，解得.（2） 当增根为2时，把代人整式方程，得20+=3(4)，解得.所以当或时，原方程会产生增根。易错辨析： 例1： 解分式方程：=1错解：原方程可变为=1去分母，得 解得经检验，是原方程的根。辨析：最简公分母也应与方程右边的1相乘，漏乘造成了错误.正确解：原方程可变为=1去分母，得 解得经检验，是原方程的根.融会贯通课堂训练，轻松过关1.下列各式中，是分式的是A.B. x2C.D.2.当a为任何实数时，下列分式中一定有意义的一个是A.B.C.D.3.计算：+，结果为A.1B.1C.2x+yD.x+y4.下列分式中，计算正确的是A.=B.C. =1D.5.若已知分式的值为0，则x2的值为A.或1B. 或1C.1D.16、某班组织学生参观科技馆，科技馆为支持学校开展科普活动，决定按最低标准对学生进行一次性收费，全班共计200元，开展活动时有10名学生因病未能参加，结果平均每人比计划多支出1元钱，问该班原计划有多少名同学参加？触类旁通-知识巧用，思维拓展例：如果关于x的方程1+=的解也是不等式组的一个解，求的取值范围. 分析： 这是一道关于异分母分式的方程，先用含的代数式表示的值.解：解分式方程，得 且解不等式组，得 又 综上可得点拨： 解分式方程 ，首先要注意分母不能为零，分母为零分式无意义，其次，解不等式组，要注意不等式组的解集，取其公共部分的解集.思维拓展练习1:设，当为何值时，与的值相等？2.当a为任何实数时，下列分式中一定有意义的一个是（ ）A.B.C.D.第二课时 分式方程的应用目标导航-学有目标，赢在起点1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.2、发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识;如何结合实际分析问题，列出分式方程;分析过程，得到等量关系.3、重难点：如何结合实际分析问题，列出分式方程,分析过程，得到等量关系.教材详解-名师点拨，精讲精析知识导入某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？（3）你能利用方程求出这两年每年房屋的租金各是多少吗？知识讲解知识点一：分式方程的应用解分式方程应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）根据题意列方程（4）解方程（5）检验（6）写答语例1.某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多,求该市今年居民用水的价格?分析：此题的主要等量关系是:小丽家今年7月份用水量-小丽家去年12月份用水量=水费=用水量单价解:设该市去年用水的价格为元/.根据等量关系，得解这个方程，得x=1.5.经检验x=1.5.是所列方程的根.1.5（1+）=2(元/).所以，该市今年居民用水的价格为2元/.点拨：在解分式方程的应用题时，不仅要检验所求的解是否为方程的解，还要注意所求的解是否符合实际意义. 知识探究1.列分式方程解决应用题的一般步骤：（1）根据题意设末知数；（2）分析题意，寻找等量关系，列方程；（3）解所列方程；（4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出的答案和答语.例2：如图，小刚家、李老师家、学校在同一条路上. 小刚家到李老师家路程为3 km，李老师家到学校的路程为0.5 km,由于小刚父母参加抗洪抢险，“战斗”在第一线，为了使他能按时到校，李老师每天骑自行车接小刚上学.已知李老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问李老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？ 分析：找出题目中的等量关系：（1）李老师骑车速度=李老师步行速度3;（2）李老师从家出发骑车接小刚所用的时间=平时步行上学所用时间+20分钟.解析：设李老师步行速度为x km/h，则骑自行车的速度为3x km/h.依题意，得=+解得x=5经检验x=5是原方程的根，这时3x=15答：李老师步行速度为5 km/h,骑自行车的速度为15 km/ h.易错辨析：例：某乡村相距90千米，甲骑自行车从村子出发，出发3小时后，乙骑摩托车也从村子出发到乡里，比甲早到1.5小时，已知乙的速度是甲的速度的2倍，求甲、乙两人的速度？错解：设甲的速度为千米小时，则乙的速度为2千米小时。由题意得， 解方程得 =30经检验=30是原方程的根,所以2=230=60（千米小时）。答：甲的速度为30千米小时，则乙的速度为60千米小时。错因分析：本题是利用时间例出等量关系，甲比乙早出发3小时，甲比乙多用3小时，乙早到1.5小时，则甲又比乙多用1.5小时，故等量关系为：甲用的时间=乙用的时间+3+1.5正确解：设甲的速度为千米小时，则乙的速度为2千米小时。由题意得， 解方程得 =10经检验=10是原方程的解,而且符合题意，所以2=210=20（千米小时）.答：甲的速度为10千米小时，则乙的速度为20千米小时.融会贯通课堂训练，轻松过关1、王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？ 如果设原定是人，根据题意，可得方程为（ ）A. B. C. D. 2、为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面。如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？ 3、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。问甲、乙两公司各有多少人？ 4、轮船在顺水中航行20千米与逆水中航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度？触类旁通-知识巧用，思维拓展例：某县城在道路改造过程中，需要铺设一条长1500米的管道，决定由A 、B两个工程队来完成这一任务，已知A工程队比B工程队每天多铺设20米，且A工程队铺设360米所需的天数与B工程队铺设260米的天数相同.（1）A 、B两个工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.分析：此题的关键是找好等量关系，A工程队比B工程队每天多铺设20米，且A工程队铺设360米所需的天数与B工程队铺设260米的天数相同.解：（1）设A个工程队每天能铺设米，则B工程队每天能铺设米.根据题意，得，解得。经检验是原方程的解且符合题意，。所以=52，故A 、B两个工程队每天分别能铺设72米和52米.（2）设分配给A 工程队米，则分配给B工程队（）米. 根据题意，得 解得所以分配方案有3种，方案一：分配给A工程队500米，乙工程队500米：方案二：分配给A工程队600米，乙工程队400米：方案三：分配给A工程队700米，乙工程队300米：点拨：列分式方程解应用题，关键是找出相等关系，分析出数量关系，从而恰当地设出未知数，列出分式方程，解出结果.思维拓展练习1炎炎夏日，甲安装队为A