2012全国各地中考数学解析汇编--第45章 开放探索型问题.doc

（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）四十五章 开放探索型问题C（2012浙江丽水12分，24题）在ABC中，ABC=45，tanACB=，如图，把ABC的一边放置在x轴上，有OB=14，OC=，AC与y轴交于点E.（1）求AC所在直线的函数解析式；（2）过点O作OGAC，垂足为G，求OEG的面积；（3）已知点F（10，0），在ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】：（1）解直角OCE求出E点坐标，再利用待定系数法求直线的解析式.（2）解直角三角形OCE，求出EG，OG，利用三角形面积公式即可求面积；（3）应分类加以讨论.【解答】解：（1）在RtOCE中，OE=OCtanOCE=，点E（0，2）.设直线AC的函数解析式为y=kx+2，有k+2=0，解得k=-，直线AC的函数解析式为y=-x+2.（2）方法1：在RtOGE中，tanEOG=tanOCE=，设EG=3t，OG=5t，OE=t，2=t，得t=2.故EG=6，OG=10.SOEG=OGEG=106=30.方法2：在RtOCE中，tanOCE=，sinOCE=.OG=OCsinOCE=10.在RtOEG中，EG=OGtanOCE=10=6，SOEG=OGEG=106=30.（3）当点Q在AC上时，点Q即为点G，如图1，作FOQ的平分线交CE于点P1，由OP1FOP1Q，则有P1Fx轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，y=-10+2=2-6.点P1（10，2-6）.当点Q在AB上时，如图2，有OQ=OF，作FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q作QHOB于点H，设OH=a，则BH=QH=14-a，在RtOQH中，a2+（14-a）2=100，解得a1=6，a2=8.Q（-6,8）或Q（-8,6），当Q（-6,8）时，连接QF交OP2于点M，则点M（2,4）.此时直线OM的函数解析式y=2x.解得点P2（，）.当Q（-8,6）时，同理可求得P3（，）.如图3，有QP4OF，QP4=OF=10，设点P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为（x-10）.yQ=yP，直线AB的函数解析式y=x+14.（x-10）+14=-x+2.解得x=，可得y=.点P4（，）.当Q在BC边上时，如图4，OQ=OF=10，点P5在E点，点P5（0，2）.综上所述，满足条件的点P的坐标为：P1（10，2-6），点P2（，），P3（，），P4（，），P5（0，2）.【点评】：本题是一道综合性大题，要注意灵活应用所有的知识点，另外在考虑问题时要全面，不要丢解.第（3）小题中，共四种情况，易出现丢解现象.（2012广州市，16， 3分）（本小题满分10分）如图10，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（）（1）当=60时，求CE的长；（2）当时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。连接CF，当取最大时，求tanDCF的值。【解析】（2）可以按照k等于1、2、3等正整数时，把EFD分为几等分，从而确定k的值是否存在。（3）找出变量BE，找出的关于自变量的函数关系式，计算出取得最大值时，得到自变量BE的值，计算tanDCF的值。【答案】解：（1）如果ABC=60，在RtABC中，CE=BCsin60=10=5（2）取BC的中点G，连接FG，CF，则AF=BG=DF=CGAFBG,FDCG四边形ABGF，四边形FGCD都是平行四边形又AB=5，BC=10，AB=BG=FG=CG=5，四边形ABGF，四边形FGCD都是菱形3=4，ABFGABFG1=2设GF交CE于M则MGBEEM=MCBECEGMCEFM垂直平分CEFE=FC2=3=4=1EFD=3AEFk=3设BE=x，则AE=5-x过点F作AB的垂线，垂足为N，则N=BEC=90AFBGNAF=BNAFEBCAN=，FN=CEEN=AE+AN=5-x+=在RtEBC中，在RtNEF中，=y=+ =-10当时，取最大值。FN=，NE=tanDCF=tanNEF=。【点评】第（2）问转化为把EFD分为k等分，证明其中的一份等于AEF的问题。确定k的值。第（3）关键是列出二次函数，计算当取得最大值时，确定BE的长，也就是确定点E的位置，把DCF放在直角三角形中求其正切值。（2012四川成都，28，l2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程解析：第（1）小题可用待定系数法进行解决；对于第（2）小题“存在”问题，若存在要指出，若不存在要说明原因。答案：(1)一次函数经过点A(，0)，则C的坐标为（0，）二次函数经过点A（-3,0）、点C（0，），且以直线x=1为对称轴则点B的坐标为（5,0）解，得二次函数为（2）存在根据题意，FEAC要使ACEF为平行四边形则CEAFE在抛物线上E是C关于直线x=1的对称点，则E点的坐标为（2，）EF（3）要使ACP的周长取得最小值，即为AP+CP最小E是C关于直线x=1对称点，连接AE交对称轴于点P，则PE=CP此时，ACP的周长取得最小值。如图所示，CE交x=1于点G，x=1交x轴于H则点P的坐标为（1,3）设过点P的直线的直线的解析式为则则=不是定值。EPM1M2点评：在本题中，第一小题考查了是知识的灵活应用能力和运算能力，第二小题是探究题，需要同学们进行细心地观察、大胆地猜测、灵活地验证。（2012四川内江，28，12分）如图14，已知点A（1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且ACB90，抛物线yax2bxc经过A、B、C三点，其顶点为M.（1）求抛物线yax2bxc的解析式；（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；（3）在抛物线上是否存在点N，使得SBCN4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由xMyOABC图14【解析】（1）根据ACB90及坐标系中的横、纵轴垂直关系，可证得AOCCOB，进而得到OC2OAOB，求出OC长得到点C的坐标（2）猜测是相切的位置关系以AB为直径的圆的圆心是AB的中点，不妨设为点E，连接EC，EM，证得EM2CE2CM2即可（3）分点N在直线BC的左下方和右上方两种情况考虑【答案】解：（1）CAOACO90，ACOBCO90，CAOBCOxMyOABC图14NEQAOCCOB90，AOCCOBOC2OAOB4OC0，OC2点C在y轴的非负半轴上，C（0，2）由题意可设抛物线的解析式为ya(x1)(x4)，2a(01)(04)ay(x1)(x4) x2x2（2）直线CM与以AB为直径的圆相切理由：设AB中点为E，则E（，0），当x时，y()22M(，)，EM，EM2，CE2(0)2(20)2，CM2(0)2(2)2xMyOABCNEQDFEM2CE2CM2CECM以AB为直径的圆与直线CM相切（3）存在点N，使得SBCN4，且这样的点有3个当N在直线BC左下方时，SBCN可以为任意正数，所以存在两个点，使SBCN4；当N在直线BC右上方时，过点N作平行于y轴的直线交BC于点Q，直线BC的解析式为yx2设点N的坐标为（t，t2t2），则点Q的坐标为（t，t2），NQt2t2(t2)t22tSBCNSNQCSNBQNQOB(t22t)4t24t(t2)24当t2时，BCN的面积最大为4存在一个点N，使得SBCN4综上，在抛物线上共存在三个点N，使得SBCN4【点评】此题综合考查了相似三角形，勾股定理，待定系数法，三角形的面积，数形结合思想等，整体难度不大，学生上手容易第（1）问是射影定理基本图，学生普遍都会第（2）问证明切线时，如下图，还可以过点C作CDEM于D，利用