北京市东城区2020届高三上学期期末教学统一检测数学试题—附答案

2019 2020 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 本试卷共 4 页 共 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束 后 将答题卡一并交回 第一部分 选择题共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知集合 1 Ax x 210 Bxxx 那么AB A 12 xx B 1 1 xx C 12 xx D 11 xx 2 复数 z i i 1 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 下列函数中 是偶函数 且在区间 0 上单调递增的为 A 1 y x B lnyx C 2 x y D 1yx 4 设 a b为实数 则 0ab 是 ab 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 设 是两个不同的平面 m n是两条不同的直线 则下列结论中正确的是 A 若m mn 则 n B 若 m n 则mn C 若n m n 则m D 若 m n 则mn 6 从数字1 2 3 4 5中 取出3个数字 允许重复 组成三位数 各位数字之和等于 6 这样的三位数的个数为 A 7 B 9 C 10 D 13 7 设 是三角形的两个内角 下列结论中正确的是 A 若 2 则sinsin2 B 若 2 则coscos2 C 若 2 则sinsin1 D 若 2 则coscos1 8 用平面截圆柱面 当圆柱的轴与 所成角为锐角时 圆柱面的截线是一个椭圆 著名数学家 Dandelin 创立的双 球实验证明了上述结论 如图所示 将两个大小相同的球嵌入圆柱内 使它们分别位于 的上方和下方 并且 与圆柱面和 均相切 给出下列三个结论 两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点 若球心距 12 4OO 球的半径为3 则所得椭圆的焦距为2 当圆柱的轴与 所成的角由小变大时 所得椭圆的离心率也由小变大 其中 所有正确结论的序号是 A B C D 第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 若双曲线 2 2 1 x y m 与 22 1 32 xy 有相同的焦点 则实数m 10 已知 n a 是各项均为正的等比数列 n S为其前项和 若 1 6a 23 26aa 则公比q 4 S 11 能说明 直线0 xym 与圆 22 420 xyxy 有两个不同的交点 是真命题的一个m的值为 12 在平行四边形ABCD中 已知 uu u r uuu ruuu r uuu r AB ACAC AD 4AC uuu r 2BD uuu r 则四边形ABCD的面积是 13 已知函数 2sin 0 f xx 曲线 yf x 与直线3y 相交 若存在相邻两个交点间的距离为 6 则 的所有可能值为 14 将初始温度为0 C的物体放在室温恒定为30 C的实验室里 现等时间间隔测量物体温度 将第n次次测量得到 的物体温度记为 n t 已知 1 0 Ct 已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比 比例系数为k 给 出以下几个模型 那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 填写模型对应的序号 1 30 nn n k tt t 1 30 nnn ttkt 1 30 nn tkt 在上述模型下 设物体温度从5 C上升到10 C所需时间为mina 从 10 C上升到15 C所需时间为minb 从15 C上升到20 C所需时间为minC 那么 a b 与 b c 的大小关系是 用 或 号填 空 n 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 在 ABC中 已知sin3 cos0cAaC 求C 的大小 若 22 3bc 求 ABC的面积 16 本小题 13 分 2019 年 6 月 国内的 5G 运营牌照开始发放 从 2G 到 5G 我们国家的移动通信业务用了不到 20 年的时间 完 成了技术上的飞跃 跻身世界先进水平 为了解高校学生对 5G 的消费意愿 2019 年 8 月 从某地在校大学生中随机 抽取了 1000 人进行调查 样本中各类用户分布情况如下 用户分类 预计升级到 5G 的时段 人数 早期体验用户 2019 年 8 月至 209 年 12 月 270 人 中期跟随用户 2020 年 1 月至 20121 年 12 月 530 人 后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人 我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较 可得出下图的关系 例如早 期体验用户中愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的 40 I 从该地高校大学生中随机抽取 1 人 估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率 II 从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人 以X表示这 2 人中愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人数 求X的分布列和数学期望 III 2019 年底 从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人 这三位学生都已签约 5G 套餐 能否认为样本中早期体验用 户的人数有变化 说明理由 17 本小题 14 分 如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 1 BB 平面ABC ABBC 1 2AAABBC 求证 1 BC 平面 11 A BC 求异面直线 1 BC与 1 AB所成角的大小 点M在线段 1 BC上 且 1 1 0 1 B M BC 点N在线段 1 AB上 若MN 平面 11 A ACC 求 1 1 A N AB 的值 用含 的代数式表示 18 本小题 13 分 已知函数 32 1 3 3 f xxxax a R 若 f x在1x 时 有极值 求a的值 在直线1x 上是否存在点P 使得过点P至少有两条直线与曲线 yf x 相切 若存在 求出P点坐标 若 不存在 说明理由 19 本小题 14 分 已知椭圆 2 2 2 1 x Cy a 1a 的离心率是 2 2 求椭圆C的方程 已知 1 F 2 F分别是椭圆C的左 右焦点 过 2 F作斜率为k的直线l 交椭圆C于 A B两点 直线 11 F A FB 分别交y轴于不同的两点 MN 如果 1 MFN 为锐角 求k的取值范围 20 本小题 13 分 已知数列 n a 记集合 1 1 iij TS ij S ijaaaij ij N L 对于数列 n a 1 2 3 4 写出集合T 若2 n an 是否存在 ij N 使得 1024S ij 若存在 求出一组符合条件的 ij 若不存在 说 明理由 III 若22 n an 把集合T中的元素从小到大排列 得到的新数列为 12 m B bbb LL 若2020 m b 求 m的最大值 20201919 20202020学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 高三数学参考答案及评分标准 一 选择题 共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 一 选择题 共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 1 D 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 二 填空题 共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 二 填空题 共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 4 10 145 24 11 0 答案不唯一 12 4 13 2或10 14 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 共 13 分 解 由正弦定理可得sinsin3cos sin 0CACA 因为sin0A 所以tan3 C 又因为0C 所以 2 3 C 7 分 由正弦定理得 3 2 sin1 2 sin 22 3 bC B c 又因为0 3 B 所以 66 BABC 所以 ABC的面积 111 sin2 2 33 222 SbcA 13 分 16 共 13 分 解 由题意可知 从高校大学生中随机抽取 1 人 该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率估计为样本 中早期体验用户和中期跟随用户的频率 即 270530 0 8 10001000 3 分 II 由题意X的所有可能值为 0 1 2 记事件A为 从早期体验用户中随机抽取 1 人 该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上 事件B为 从中期跟随用户中随机抽取 1 人 该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上 由题意可知 事件 AB相互独立 且 1 40 0 6P A 1 45 0 55P B 所以 0 1 0 6 1 0 55 0 18P X P AB 1 1 1 0 61 0 551 0 6 0 55 0 49 P XP AB ABP ABP AB P AP BP A P B 0 6 0 550 33 P X 2P AB 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0 18 0 49 0 33 故X的数学期望0 0 18 1 0 492 0 331 15 E X 10 分 III 设事件D为 从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人 这三位学生都已签约 5G 套餐 那么 3 270 3 1000 0 02 C P D C 回答一 事件D虽然发生概率小 但是发生可能性为0 02 所以认为早期体验用户没有发生变化 回答二 事件D发生概率小 所以可以认为早期体验用户人数增加 13 分 17 共 14 分 解 在三棱柱 111 ABCA BC 中 由于 1 BB 平面ABC 所以 1 BB 平面 111 ABC 又 1 BB 平面 11 B BCC 所以平面 11 B BCC 平面 111 ABC 交线为 11 BC 又因为ABBC 所以 1111 A BBC 所以 11 AB 平面 11 B BCC 因为 1 BC 平面 11 B BCC 所以 111 A BBC 又因为 1 2BBBC 所以 11 B CBC 又 1 1 AB 11 BCB 所以 1 BC 平面 11 A B C 5 分 由 知 1 BB 底面ABC ABBC 如图建立空间直角坐标系Bxyz 由题意得 0 0 0 B 2 0 0 C 1 0 2 2 A 1 0 0 2 B 所以 1 2 0 2 BC uuu r 1 0 2 2 AB uuu r 所以 11 11 11 1 cos 2 A B B C A B B C BAB C uuu r uuu r uuu r uuu r uuu ruuu r 故异面直线 1 BC与 1 AB所成角的大小为 3 9 分 易知平面 11 A ACC的一个法向量为 1 1 0 n 由 1 1 B M BC 得 2 0 22 M 设 1 1 A N AB 得 0 22 22 N 则 2 22 22 MN 因为 MN平面 11 A ACC 所以 0MN n 即 2 22 22 1 1 0 0 解得1 所以 1 1 1 A N AB 14 分 18 共 13 分 解 因为 32 1 3 3 f xxxax 所以 2 23fxxxa 由 f x在1x 时 有极值得 11 230fa 解得 1a 经检验 1a 时 f x有极值 综上 1a 4 分 不妨设在直线1x 上存在一点 1 Pb 设过点P与 yf x 相切的直线为l 切点为 00 xy 则切线l方程为 322 000000 1 3 23 3 yxxaxxxa xx 又直线l过 1 Pb 有 322 000000 1 3 23 1 3 bxxaxxxax 即 32 000 2 2 230 3 xxxab 设 32 2 223 3 g xxxxab 22 2422 1 0g xxxx 所以 g x在区间 上单调递增 所以 0g x 至多有一个解 过点P与 yf x 相切的直线至多有一条 故在直线1x 上不存在点P 使得过P至少有两条直线与曲线 yf x 相切 13 分 19 共 14 分 解 由题意 2 222 2 2 1 c a b abc 解得 2 2a 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 由已知直线l的斜率不为 0 设直线l方程为 1yk x 直线l与椭圆C的交点为 1122 A x yB xy 由 2 2 1 1 2 yk x x y 得 2222 214220kxk xk 由已知 判别式0 恒成立 且 22 1212 22 422 2121 kk xxx x kk 直线 1 F A的方程为 1 1 1 1 y yx x 令0 x 则 1 1 0 1 y M x 同理可得 2 2 0 1 y N x 所以 2 12 12 11 1212 11 11 1111 kxxy y FM FN xxxx uuuu r uuu r 2222 12121212 12121212 1111 1 11 kx xkxxkkx xxx x xxxx xxx 将 代入并化简 得 2 11 2 71 81 k FM FN k uuuu r uuu r 依题意 1 MFN 我锐角 所以 11 0FM FN 即 2 11 2 71 0 81 k FM FN k uuuu r uuu r 解得 2 1 7 k 或 2 1 8 k 综上 直线l斜率的取值范围是 7227 0 0 7447 UUU 14 分 20 共 13 分 解 3 5 6 7 9 10T 3 分 假设存在ij N 使得 1024S ij 则