命题的初步认识.doc

对“命题与定理及其证明”的初步认识重点、难点分析 重点： 找出命题的题设和结论. 因为找出一个命题的题设和结论，是对该命题深刻理解的前提，面对命题理解能力是我们今后研究数学必备的能力，也是研究其它学科能力的基础.真命题的证明步骤与格式. 命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性. 难点： 找出一个命题的题设和结论. 因为理解和掌握一个命题，一定要分清它的题设和结论、所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题. 但有些命题的题设和结论不明显. 例如，“对顶角相等”，“等角的余角相等”等，一些没有写成“如果那么”形式的命题，学生往往搞不清哪是题设，哪是结论，又没有一个通用的方法可以套用，所以分清题设和结论是学习的一个难点. 推理证明的思路和方法. 因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点.学习建议 1. 同学们从具体到抽象，结合生活熟悉的事例，来理解命题的概念、找出一个命题的题设和结论，并能判断一些简单命题的真假.2. 规范步骤，学会通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，多训练自己由几何语句正确画出几何图形的能力. 3. 加强各种推理训练，一般应先要从“模仿”教科书的形式开始训练. 首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至三、四步的推理. 在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题. 知识讲解与例题分析 一、什么是命题，如何判断是否是命题； (1)命题：能够判断真假的语句或者式子等叫做命题. 命题的定义包括两层涵义：命题必须是一个完整的句子： 这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断. 即命题是判断某一件事情的句子. 在语法上，这样的句子叫做陈述句，它由“题设结论”构成. 另外也有一些句子不是陈述句，例如，祈使句(也叫做命令句)“过直线AB外一点作该直线的平行线. ”、疑问句“A是否等于B?”、感叹句“竟然得到59的结果!”以上三个句子都不是命题. 如以下语句中； (1)对顶角相等. (2)等角的余角相等. (3)一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线一定是这个角的平分线. (4)如果a0.b0，那么a+b0 (5)当a0时，a=a. (6)小于直角的角一定是锐角.(7)a0，b0，a+b=0. (8)2与3的和是4. 除语句(7)不是命题，其它全是命题。二、命题包含的判断必须是肯定的或否定的，不肯定什么，也不否定什么就不是判断. 肯定的判断直接断定所思考的对象是什么；否定的判断直接断定所思考的对象不是什么. 因此，判断是肯定的还是否定的，表明了判断的性质，从而决定了是不是命题。任何判断都有真假的特征，符合客观现实的判断是真实的判断，不符合客观现实的判断就是虚假的判断. 从而决定了是真命题还是假命题。例如，“任何一个有理数的平方是非负数”. 及“对顶角相等”都是真实的判断，因而是真命题. 而像“-53”，与“女人都留着长发”. 就是虚假的判断，因而是假命题. 三、命题的组成 由题设和结论组合而成的命题，叫做条件命题. 这种命题常写成“如果，那么”的形式. 即：如果有A那么就有B(或若A则B). 每个命题都是由题设、结论两部分组成. 题设是已知事项：结论是由已知事项推出的事项. 命题常写成“如果，那么”的形式. 具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论；有些命题，没有写成“如果，那么，”的形式，题设和结论不明显. 对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果那么”的形式. 另外命题的题设(条件)部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述. 例如，“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等”. 又如，“若ab，cbc. ”有些命题通常不写成“如果，那么”的形式(如“对顶角相等”)，对于这样的命题，通过分析找出它的题设和结论后，也可将它们写成“如果，那么”的形式. 像“对顶角相等”这个命题可改写为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 例1. 分析命题的构成，改写命题的形式： 1. 两条直线平行，同位角相等. (1)分析此命题的构成，前一部分是后一部分成立的条件，后一部分是在前一部分条件下所得的结论. 已知事项为“题设”由已知推出的事项为“结论”. (2)改写命题的形式 由于题设是条件，可以写成“如果”的形式，结论写成“那么”的形式，所以上述命题可以改写成“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等. ”2. 请同学们将下列命题写成“如果，那么. ”的形式，例： 对顶角相等. 如果两个角是对顶角，那么它们相等. 两条直线平行，内错角相等。 如果两条直线平行，那么内错角相等.等角的补角相等. 如果两个角是等角，那么它们的补角相等. (注意不仅仅限于两个角，如果多个角相等，它们的补角也相等. )三、命题的真假 命题是一个判断. 它有真命题与假命题之分. 如果题设成立时，那么结论一定成立的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命题叫做假命题. 这就是说，命题的真假主要是看命题的题设与结论之间是否有必然联系(或存在依赖关系)，而与题设或结论本身是否是事实无关. 有时命题的题设和结论本身是假的，只要两者之间确实存在着依赖关系，这个命题就是真命题. 例如： “如果语言可以创造财富，那么夸夸其谈的人就能成富翁”. “若x20，则x2+30，则ab0. 显然当a=0时ab0不成立，所以该题是假命题，不是真命题. (2)假命题中“结论不成立”是指“不能保证结论总是正确”，如；“a的倒数一定是”，显然当a=0时命题不正确，所以也是假命题。 (3)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分. 因此就要引入真假命题，强调真假命题的大前提，首先是命题. 如：“延长直线AB”. 这本身不是命题. 也更不是假命题. 例2.请判断以下命题的真假. (1)若ab0，则a0，b0. (2)两条直线相交，只有一个交点. (3)如果n是整数，那么2n是偶数. (4)如果两个角不是对顶角，那么它们不相等. (5)直角是平角的一半. 解：(1)(4)都是假命题，(2)(3)(5)是真命题. 4. 介绍一个不辨真伪的命题. “每一个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和”?(即著名的哥德巴赫猜想)我们可以举出很多数字，说明这个结论是正确的，而且至今没有人举出一个反例，也没有一个人能证明它对一切大于4的偶数正确. 我国著名的数字家陈景润，已证明了“每一个大于4的偶数都可以表示成一个质数与两个质数之积的和”. 即已经证明了“1+2”，离“1+1”只差“一步之遥”. 所以这个命题的真假还不能做最好的判定. 四、一个命题的逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，则称这两个命题互为逆命题. 例如，“两直线平行，同位角相等”. 与“同位角相等，两直线平行. ”就是互为逆命题. 请注意：一个命题和它的逆命题不一定同为真命题(或同为假命题). 即一个真命题的逆命题不一定是真命题. 例如：“若0xl，则x3x. ”是真命题，而它的逆命题“若x3x，则0x1. ”是假命题. 五、定理. 1. 用推理的方法得到的真命题(并作为继续推理的依据)叫做定理. 2. 一个定理的逆命题若是真命题，可作为它的逆定理. 六、证明的四个注意 (1)注意：公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题： 公理可以作为判定其他命题真假的根据. (2)注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题. 这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的. (3)注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法. 只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的. 但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等. (4)注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. 论据必须是真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；论据的真实性不能依赖于论证的真实性；论据应是论题的充足理由. 例3. 证明：两直线平行，内错角相等。已知：ab,c是截线求证：1=2分析：要证1=2只要证3=2即可，因为3与1是对顶角，根据平行线的性质易得出3=2证明：ab(已知)3=2(两直线平行，同位角相等)1=3(对顶角相等)1=2(等量代换)例4. 证明：邻补角的平分线互相垂直。已知：如图，AOB+BOC=180OE平分AOB，OF平分BOC求证：OEOF分析：要证明OEOF，只要证明EOF=90，即1+2=90即可证明：OE平分AOB1=AOB，同理2=BOC1+2=(AOB+BOC)=AOC=90，OEOF(垂直定义)例5. 如图所示，已知ADBC于D，EGBC于G，1=E，求证：AD为BAC的平分线分析：要证AD为BAC的平分线，即证2=3，由ADBC，EGBC，可推得ADEG，有2=1，3=E，又已知1=E，由等量代换就可以证得2=3证明：ADBC，EGBC(已知)ADEG(平面内垂直于同一直线的两直线平行)1=2(两直线平行，内错角相等)3=E(两直线平行，同位角相等)又1=E(已知)2=3(等量代换)AD是BAC的平分线(角的平分线定义)注意：分析是证题的关键，在分析时要紧紧抓住要证的结论(即目标)，追溯能导致结论成立的条件，一步一步追溯下去，一直到这些条件都已具备为止，这时，证题思路已经基本形成。证明过程要从“已知”说起，最后推导出结论的成立。例6. 如图所示，已知：A=F，C=D，求证：BDCE分析：要证BDCE，只需证得D=CEF或D+CED=180即可，由于C=D，因此只要C=CEF或C+CED=180，这就需要有ACDF，由已知条件中的A=F，可以得出ACDF，故此题可证证明：A=F(已知)ACDF(内错角相等，两直线平行)C=CEF(两直线平行，内错角相等)又D=C(已知) D=CEF(等量代换)BDCE(同位角相等，两直线平行