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第一章 4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 4 3单位圆与正弦函数 余弦函数的基本性质 学习目标1 会利用单位圆研究正弦 余弦函数的基本性质 2 能利用正弦 余弦函数的基本性质解决相关的问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点正弦 余弦函数的性质 正弦函数 余弦函数的最大值 最小值分别是多少 答案 答案设任意角x的终边与单位圆交于点p cosx sinx 当自变量x变化时 点p的横坐标是cosx cosx 1 纵坐标是sinx sinx 1 所以正弦函数 余弦函数的最大值为1 最小值为 1 思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的 答案 答案不能 右半圆可以表示无数个区间 只能说正弦函数在每一个区间 k z 上是增加的 正弦 余弦函数的性质 梳理 2 题型探究 例1求下列函数的定义域 解答 类型一正弦余数 余弦函数的定义域 解答 则不等式组的解的集合如图 阴影部分 所示 1 求函数的定义域 就是求使解析式有意义的自变量的取值范围 一般通过解不等式或不等式组求得 对于三角函数的定义域问题 还要考虑三角函数自身定义域的限制 2 要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时 可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集 反思与感悟 则必须满足2sinx 1 0 跟踪训练1函数y 的定义域为 答案 解析 类型二正 余弦函数的值域与最值 解答 当x 0时 ymax 1 2 已知函数y asinx 1的最大值为3 求它的最小值 解答 解当a 0时 ymax a 1 1 3 得a 2 当sinx 1时 ymin 2 1 1 1 当a 0时 ymax a 1 1 3 得a 2 当sinx 1时 ymin 2 1 1 1 它的最小值为 1 1 求正 余弦函数的值域或最值时应注意定义域 解题时可借助图像结合正 余弦函数的单调性进行分析 2 对于含有参数的值域或最值 应注意对参数讨论 反思与感悟 跟踪训练2函数y 2 cosx 的值域为 答案 解析 例3函数y cosx的一个递增区间为 类型三正 余弦函数的单调性 解析 y cosx的递增区间为 2k 2k k z 令k 1得 2 即为y cosx的一个递增区间 而 2 2 故选d 答案 解析 利用单位圆有助于理解记忆正弦 余弦函数的单调区间 特别注意不连贯的单调区间不能并 反思与感悟 跟踪训练3求下列函数的单调区间 1 y sinx x 解答 2 y cosx x 解y cosx在x 上的递增区间为 0 递减区间为 0 当堂训练 1 函数y sinx 的最大值和最小值分别是 2 3 4 1 答案 2 不等式sinx 1 0的解集为 答案 2 3 4 1 解析 3 函数y 的定义域为 2 3 4 1 答案 4 求y 2sinx x 的值域 2 3 4 1 解答 y 2 1 规律与方法 利用单位圆来研究
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