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3 3双曲线的简单几何性质 第2课时 1 双曲线的实轴长为 虚轴长为 焦距为 焦点坐标为 5 0 5 0 离心率为 若双曲线上点p到左焦点距离为3 则p到右焦点距离为 导 6 8 10 5 3 9 平面内点m与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数e c a 0 e 1 时 则点m的轨迹是椭圆 定点是椭圆的焦点 定直线叫做椭圆的准线 常数e是椭圆的离心率 2 椭圆的第二定义 思 1 类比椭圆的第二定义 了解双曲线的第二定义 运用第二定义解题 2 掌握准线计算公式 并且应用于解题 3 应用第二定义 求解焦半径公式 探究一 点m x y 到定点f 5 0 的距离和它到定直线l 的距离的比是常数 求点m的轨迹 解 设d是点m到直线l的距离 根据题意 f h 所求轨迹就是集合 思 由此得 将上式两边平方 并化简得 9x2 16y2 144 它是一条双曲线 即 变式1 已知点m x y 到定点f c 0 的距离和到定直线l x a2 c的距离的比等于常数c a c a 0 求点m的轨迹 解 设点m到直线l的距离为d 依题意 得 思 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 设c2 a2 b2 则b2x2 a2y2 a2b2 点m的轨迹是双曲线 思考 你能通过这个例子归纳出双曲线的第二定义吗 l 双曲线的第二定义 比值定义 平面内点m与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数e c a e 1 时 则点m的轨迹是双曲线 定点是双曲线的焦点 定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率 说明 1 符号语言 2 比值e 1的轨迹类型是双曲线3 要得到双曲线的标准型 1 f c 0 2 准线 3 离心率三者对应 准线的形式与椭圆的一样 4 双曲线的准线方程为 5 双曲线的准线方程为 x a2 c y a2 c 探究二 证明 p 说明 pf1 pf2 称为双曲线的焦半径 y f2 f1 o x 议 展 评 探究三 已知双曲线 f1 f2是它的左 右焦点 由已知 解 a 4 b 3 c 5 双曲线的右准线为l 作mn l aa1 l 垂足分别是n a1 n a1 当且仅当m是aa1与双曲线的交点时取等号 令y
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