北师大版选修11 抛物线及其标准方程 课件（39张）.ppt

2 1抛物线及其标准方程 第二章 2抛物线 1 掌握抛物线的定义 四种不同标准形式的抛物线方程 准线 焦点坐标及对应的几何图形 2 利用定义会求抛物线方程 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l l不过f 的的点的集合叫作 点f叫作抛物线的 定直线l叫作抛物线的 答案 距离相等 抛物线 焦点 准线 知识点二抛物线的标准方程的几种形式 答案 y2 2px p 0 y2 2px p 0 答案 x2 2py p 0 x2 2py p 0 答案焦点到准线的距离 答案不一定 当直线l经过点f时 点的轨迹是过定点f且垂直于定直线l的一条直线 l不经过点f时 点的轨迹是抛物线 思考 1 抛物线的标准方程y2 2px p 0 中p的几何意义是什么 2 平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗 返回 答案 题型探究重点突破 题型一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 焦点为 2 0 解析答案 解由于焦点在x轴的负半轴上 且p2 2 p 4 抛物线的标准方程为y2 8x 2 准线为y 1 解析答案 3 过点a 2 3 解 焦点在y轴正半轴上 且p2 1 p 2 抛物线的标准方程为x2 4y 解由题意 抛物线方程可设为y2 mx m 0 或x2 ny n 0 将点a 2 3 代入 得32 m 2或22 n 3 m 92或n 43 所求抛物线的标准方程为y2 92x或x2 43y 4 焦点到准线的距离为52 解析答案 反思与感悟 所求抛物线的标准方程为y2 5x或y2 5x或x2 5y或x2 5y 求抛物线方程 通常用待定系数法 若能确定抛物线的焦点位置 则可设出抛物线的标准方程 求出p值即可 若抛物线的焦点位置不确定 则要分情况讨论 焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2 ax a 0 焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2 ay a 0 反思与感悟 跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 4 解析答案 解方法一 点 3 4 在第四象限 设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 或x2 2p1y p1 0 把点 3 4 分别代入y2 2px和x2 2p1y 得 4 2 2p 3 32 2p1 4 解析答案 方法二 点 3 4 在第四象限 抛物线的方程可设为y2 ax a 0 或x2 by b 0 2 焦点在直线x 3y 15 0上 解析答案 解令x 0得y 5 令y 0得x 15 抛物线的焦点为 0 5 或 15 0 所求抛物线的标准方程为x2 20y或y2 60 x 题型二抛物线定义的应用例2如图 已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求此时p点坐标 解析答案 反思与感悟 解如图 作pq l于q 由定义知 抛物线上点p到焦点f的距离等于点p到准线l的距离d 由图可知 求 pa pf 的最小值的问题可转化为求 pa d的最小值的问题 将x 3代入抛物线方程y2 2x 得y 6 解析答案 反思与感悟 点p坐标为 2 2 反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用 就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化 另外要注意平面几何知识的应用 如两点之间线段最短 三角形中三边间的不等关系 点与直线上点的连线垂线段最短等 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点a 0 2 的距离与p到该抛物线的准线的距离之和的最小值为 a 172b 2c 5d 92 解析如图 由抛物线定义知 pa pq pa pf 则所求距离之和的最小值转化为求 pa pf 的最小值 则当a p f三点共线时 pa pf 取得最小值 又a 0 2 f 12 0 pa pf min af a 题型三抛物线的实际应用例3如图所示 一辆卡车高3m 宽1 6m 欲通过断面为抛物线形的隧道 已知拱口ab宽恰好是拱高cd的4倍 若拱口宽为am 求能使卡车通过的a的最小整数值 解析答案 反思与感悟 解以拱顶为原点 拱高所在直线为y轴 建立如图所示的平面直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 点b在抛物线上 反思与感悟 解得a 12 21 a取整数 a的最小整数值为13 以抛物线为数学模型的实例很多 如拱桥 隧道 喷泉等 抛物线的应用主要解题步骤 1 建立平面直角坐标系 求抛物线的方程 2 利用方程求点的坐标 反思与感悟 跟踪训练3如图所示 一隧道内设双行线公路 其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成 为保证安全 要求行驶车辆顶部 设为平顶 与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0 5米 解析答案 1 以隧道的顶点为原点o 其对称轴所在的直线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 求该抛物线的方程 解依题意 设该抛物线的方程为x2 2py p 0 如图所示 因为点c 5 5 在抛物线上 解得p 52 所以该抛物线的方程为x2 5y 解析答案 2 若行车道总宽度ab为7米 请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米 精确到0 1米 解设车辆高h米 则 db h 0 5 米 故d 3 5 h 6 5 代入方程x2 5y 解得h 4 05米 所以车辆通过隧道的限制高度为4 0米 解析答案 分类讨论思想的应用 思想方法 例4已知抛物线的顶点在原点 焦点在坐标轴上 且此抛物线上的一点a m 3 到焦点f的距离为5 求m的值及抛物线的标准方程 解后反思 返回 分析由于抛物线的开口方向不确定 因而应注意对抛物线的标准方程形式进行分类讨论 点a m 3 在x轴下方 从而抛物线的开口可以分向下 向左 向右三种情况 而焦点在x轴上的情况可以设统一形式y2 2ax a 0 当a 0时 开口向右 当a 0时 开口向左 对于a的求法可以利用定义法 也可以解方程组 解因为点 m 3 在x轴下方 所以抛物线的开口方向可以向下 向左或向右 当抛物线的开口向下时 设抛物线的标准方程为x2 2py p 0 此时准线方程为y p2 由抛物线的定义 知p2 3 5 所以p 4 解析答案 解后反思 所以抛物线的标准方程为x2 8y 将点a m 3 代入方程 得m 26 当抛物线的开口方向向左或向右时 设抛物线方程为y2 2ax a 0 由p a 知准线方程可统一成x a2的形式 解析答案 解后反思 解后反思 解后反思 由于抛物线的标准方程有四种形式 当焦点的位置不确定时 往往要分类讨论 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 抛物线y2 4x的焦点坐标是 a 0 2 b 0 1 c 2 0 d 1 0 d 1 2 3 4 5 2 过抛物线y2 8x的焦点作倾斜角为45 的直线 则被抛物线截得的弦长为 a 8b 16c 32d 61 解析答案 1 2 3 4 5 解析由y2 8x得焦点坐标为 2 0 由此直线方程为y x 2 设交点为a x1 y1 b x2 y2 由方程知x1 x2 12 弦长 ab x1 x2 p 12 4 16 答案b 1 2 3 4 5 解析答案 d 1 2 3 4 5 解析答案 4 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 则抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 a 2b 3c 115d 3716 解析易知直线l2 x 1恰为抛物线y2 4x的准线 如图所示 动点p到l2 x 1的距离可转化为pf的长度 其中f 1 0 为抛物线y2 4x的焦点 由图可知 距离和的最小值 即f到直线l1的距离 a 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点p 2 4 则该抛物线的标准方程为 解析设抛物线方程为y2 2px p 0 或x2 2py p 0 将p 2 4 代入 分别得方程为y2 8x或x2 y y2 8x或x2 y 课堂小结 1 抛物线的