北师大版必修一 §3 函数的单调性(一) 课件（37张）.ppt

3函数的单调性 一 学习目标1 了解函数单调性的概念 掌握判断简单函数单调性的方法 重点 2 能用文字语言和数学符号语言描述增函数 减函数 单调性等概念 能准确理解这些定义的本质特点 重 难点 知识点一增函数与减函数的定义1 增函数定义 在函数y f x 的定义域内的一个区间a上 如果对于任意两数x1 x2 a 当x1 x2时 都有 那么 就称函数y f x 在区间a上是增加的 有时也称函数y f x 在区间a上是递增的 图示 如图所示 f x1 f x2 2 减函数定义 在函数y f x 的定义域内的一个区间a上 如果对于任意两数x1 x2 a 当x1 x2时 都有 那么 就称函数y f x 在区间a上是减少的 有时也称函数y f x 在区间a上是递减的 图示 如图所示 f x1 f x2 预习评价 1 已知 a b 是函数y f x 的单调增区间 且x1 x2 a b 若x1f x2 d 以上都正确解析根据函数单调性的定义可得正确答案 答案a 2 函数y f x 的图像如图 根据图像函数y f x 的增区间为 减区间为 解析由图像可知函数y f x 的增区间为 1 0 1 2 减区间为 2 1 0 1 答案 1 0 1 2 2 1 0 1 知识点二函数的单调区间与单调性 1 如果y f x 在区间a上是增加的或减少的 那么称a为 2 定义 如果函数y f x 在定义域的某个子集上是 或 那么就称y f x 在这个子集上具有单调性 如果函数y f x 在 是增加的或减少的 分别称这个函数为增函数或减函数 统称为单调函数 单调区间 增加的 减少的 整个定义域内 预习评价 1 若函数f x 在定义域内的两个区间d1 d2上都是减函数 那么f x 的减区间能写成d1 d2吗 2 任何函数在定义域上都具有单调性吗 例1 1 如图所示的是定义在区间 5 5 上的函数y f x 的图像 则函数的单调递减区间是 在区间 上是增函数 题型一确定 求 函数的单调区间 解析 1 观察图像可知 y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是增函数 在区间 2 1 3 5 上是减函数 答案 1 2 1 3 5 5 2 1 3 2 1 1 例2 画出函数y x2 2 x 1的图像并写出函数的单调区间 规律方法1 作出函数的图像 利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间 但要注意图像一定要画准确 2 函数的单调区间是函数定义域的子集 在求解的过程中不要忽略了函数的定义域 3 一个函数出现两个或两个以上的单调区间时 不能用 连接两个单调区间 而要用 和 或 连接 题型二函数单调性的判定与证明 规律方法利用定义证明函数单调性的步骤如下 1 取值 设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差变形 作差f x1 f x2 并通过因式分解 通分 配方 有理化等手段 转化为易判断正负的式子 3 定号 确定f x1 f x2 的符号 4 结论 根据f x1 f x2 的符号及定义判断单调性 探究1 已知函数f x ax2 2x 2 若f x 在区间 4 上为减函数 求a的取值范围 答案 3 2 探究3 已知y f x 在定义域 1 1 上是减函数 且f 1 a f 2a 1 求a的取值范围 探究4 已知函数y f x 是定义在 0 上的增函数 对于任意的x 0 y 0 都有f xy f x f y 且满足f 2 1 1 求f 1 f 4 的值 2 求满足f 2 f x 3 2的x的取值范围 规律方法利用函数单调性求参数范围的类型及相应的技巧 1 已知函数解析式求参数 2 抽象函数求参数只需利用单调增函数f x 中f a f b a b 单调减函数f x 中f a f b a b 去掉符号 f 此时特别注意a b要在给定的单调区间内 课堂达标 答案c 2 若函数f x 在r上单调递增 且f m nb m nc m nd m n解析因为f x 在r上单调递增 且f m f n 所以m n 答案b 3 已知函数f x 的图像如图所示 则函数的单调增区间为 解析由图知单调增区间为 1 1 答案 1 1 4 设函数f x 是r上的减函数 若f m 1 f 2m 1 则实数m的取值范围是 解析由f m 1 f 2m 1 且f x 是r上的减函数 得m 10 答案 m m 0 1 对函数单调性的理解 1 单调性是与 区间 紧密相关的概念 一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性 2 单调性是函数在某一区间上的 整体 性质 因此定义中的x1 x2有以下几个特征 一是任意性 即任意取x1 x2 任意 二字绝不能丢掉 证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换 二是有大小 通常规定x1 x2 三是属于同一个单调区间 课堂小结 3 单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推 即由f x 是增 减 函数且f x1 x2 4 并不是所有函数都具有单调性 若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间 则此函数在这个区间上不存在单调性 2 单调性的证明方法证明f x 在区间d上的单调性应按以下步骤 1 设元 设x1 x2 d且x1 x2 2 作差 将函数值f x1 与f x2 作差 3 变形 将上述差式 因式分解 配方等 变形 4 判号 对上述变形的结果的正 负加以判断 5 定论 对f x 的单调性作出结论 其中变形为难点 变形一定要到位 即变形到能简单明了的判断符